十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—立体几何填空、多选
目录
题型一：立体几何结构特征...................................................................1
题型二：立体几何三视图.......................................................................6
题型三：立体几何的表面积与体积........................................................8
题型四：立体几何中的球的问题..........................................................21
题型五：立体几何线面位置关系..........................................................22
题型六：立体几何中的角度与距离......................................................26
题型一：立体几何结构特征
1．(2023 年全国甲卷理科·第15 题) 在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，以
EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
【答案】12
解析：不妨设正方体棱长为2，
中点为
，取
，
中点
，侧面
的中心为
，连
接
，如图，
由题意可知，
为球心，在正方体中，
，
即
，
则球心
到
的距离为
，
所以球
与棱
相切，球面与棱
只有1 个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1 个交点，
所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
故答案为：12
2．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第15 题) 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的
球的体积为_________．
【答案】
解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
，且点M 为BC 边上的中点，
设内切圆的圆心为
，
由于
，故
，
设内切圆半径为
，则：
，
解得：
，其体积：
．
故答案为：
．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的
位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中
心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于
球的直径．
3．(2019·全国Ⅱ·理·第16 题) 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为
长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” (图)．半正多面体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图
是一个棱数为
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为
．则该半正多面体共有
个面，其棱长为 (本题第一空
分，第二空
分).
【答案】
共有
个面；
棱长为
.
【解析】由图可知第一层与第三层各有
个面，计
个面，第二层共有
个面，所以该半正多面体共有
个面．如图，设该半正多面体的棱长为
，则
，延长
与
交于点
，延长
交正方体棱于
，由半正多面体对称性可知，
为等腰直角三角形，∵
，
∴
，∴
，即该半正多面体棱长为
．
【点评】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．
本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求
胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．
4．(2017 年高考数学上海（文理科）·第11 题) 如图,以长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的顶点D 为坐标原点,
过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若
1
DB
的坐标为(4,3,2) ,则
1
AC
的坐标为
________．
【答案】
1
( 4,3,2)
AC
【解析】
(4,0,0)
A
,
1(0,3,2)
C
,则
1
( 4,3,2)
AC
．
5．(2015 高考数学江苏文理·第9 题) 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4 的圆锥和底面半径为2、高
为8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一
个，则新的底面半径为_______．
【答案】
解析：由体积相等得：
考点：圆柱及圆锥体积
二、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第12 题)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容
器壁厚度忽略不计)内的有
( )
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
【答案】ABD
解析：对于选项A：因为
，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为
，且
，
所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为
，且
，
所以不能够被整体放入正方体内，故C 不正确；
对于选项D：因为
，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过
的中点
作
，设
，
可知
，则
，
即
，解得
，
且
，即
，
故以
为轴可能对称放置底面直径为
圆柱，
若底面直径为
的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心
，与正方体的下底面的
切点为
，
可知：
，则
，
即
，解得
，
根据对称性可知圆柱的高为
，
所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；
故选：ABD
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第12 题)在正三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，
，则
( )
A．当
时，
的周长为定值
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，有且仅有一个点
，使得
D．当
时，有且仅有一个点
，使得
平面
【答案】BD
解析:
易知，点
在矩形
内部(含边界)．
对于A，当
时，
，即此时
线段
，
周长不是定值，故A
错误；
对于B，当
时，
，故此时
点轨迹为线段
，而
，
平面
，则有
到平面
的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．
对于C，当
时，
，取
，
中点分别为
，
，则
，所
以
点轨迹为线段
，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，
，
，
，则
，
，
，所以
或
．故
均
满足，故C 错误；
对于D，当
时，
，取
，
中点为
．
，所以
点轨
迹为线段
．设
，因为
，所以
，
，所
以
，此时
与
重合，故D 正确,故选BD．
题型二：立体几何三视图
1．(2021 年高考全国乙卷理科·第16 题) 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯
视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案
即可)．
【答案】③④
解析：选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体
中，
，
分别为棱
的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥
．
故答案为：③④．
【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关
系．
2．(2019·北京·理·第11 题) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果
网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
【答案】
．
【解析】如图所示，在棱长为4 的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱
之后余下的几何体，该几何体的体积
．
3．(2017 年高考数学上海（文理科）·第8 题) 已知球的体积为36,则该球主视图的面积等于________．
【答案】 9
【解析】
3
4
36
3
9
3
r
r
S
．
4．(2017 年高考数学山东理科·第13 题) 由一个长方体和两个
1
4 圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则
该几何体的体积为__________．
【答案】
2
2
【解析】该几何体的体积为
2
1
1
1 2
2 1 1
2
4
2
V
．
题型三：立体几何的表面积与体积
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第14 题) 在正四棱台
中，
，
则该棱台的体积为________．
【答案】
解析：如图，过
作
，垂足为
，易知
为四棱台
的高，
因为
，
则
，
故
，则
，
所以所求体积为
．
故答案
：
．
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第14 题) 底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
【答案】
解析：方法一：由于
，而截去的正四棱锥的高为
，所以原正四棱锥的高为
，
所以正四棱锥的体积为
，
截去的正四棱锥的体积为
，
所以棱台的体积为
．
方法二：棱台的体积为
．
故答案为：
．
3．(2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第15 题) 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面
如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC
的切点，四边形DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=
，
，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到
直线DE 和EF 的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
解析：设
，由题意
，
，所以
，
因为
,所以
，
因为
，所以
，
因为
与圆弧
相切于
点，所以
，
即
为等腰直角三角形；
在直角
中，
，
，
因为
，所以
，
解得
；
等腰直角
的面积为
；
扇形
的面积
，
所以阴影部分的面积为
．
故答案为：
．
4．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第13 题) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N 分别为
BB1、AB 的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________
【答案】
解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N 分别为BB1、AB 的中点
所以
故答案为：
5．(2020 天津高考·第15 题) 如图，在四边形
中，
，
，且
，则实数
的值为_________，若
是线段
上的动点，且
，则
的最小值为_________．
【答案】 (1)．
(2)．
【解析】
，
，
，
，解得
，
以点
为坐标原点，
所在直线为
轴建立如下图所示的平面直角坐标系
，
,
，
的坐标为
,
又
,则
，设
，则
(其中
)，
，
，
，
所以，当
时，
取得最小值
．故答案为：
；
．
6．(2020 江苏高考·第9 题) 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的
底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0．5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm．
【答案】
【解析】正六棱柱体积为
,圆柱体积为
所求几何体体积为
,故答案为：
7．(2019·天津·理·第11 题) 已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
．若圆柱的一
个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为
．
【答案】
解析：如图，正四棱锥
，
，则
，
四棱锥的高
，
圆柱的高为
，
，
圆柱的底面半径
，
所以圆柱的体积
．
8．(2019·全国Ⅲ·理·第16 题) 学生到工厂劳动实践，利用
D 打印技术制作模型．如图，该模型为长
方体
挖去四棱锥
后所得的几何体，其中
为长方体的中心，
分
别为所在棱的中点
，
打印所用原料密度为
，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为___________
．
G
F
H
E
O
A1
C1
B1
D
A
B
D1
C
【答案】118.8
【解析】由题意得，四棱锥
的底面积为
，其高为点
到底面
P
A
B
C
D
O
E
H
F
G
的距离为
，则此四棱锥的体积为
．又长方体
的体
积为
，所以该模型体积为
，其质量为
．
【点评】此题牵涉到的是3D 打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何
体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
9．(2019·江苏·第9 题) 如图，长方体
的体积是
，
是
的中点，则三棱椎
的体积是______.
【答案】10
【解析】因为
所以
.
10．(2018 年高考数学江苏卷·第10 题) 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面
体的体积为 ．
【答案】
解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于
，
所以该多面体的体积为
．
11．(2018 年高考数学天津（理）·第11 题) 已知正方体
的棱长为1，除面
外，
该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥
的体积为 ．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
E
F
G
H
【答案】
解析：过平面
的截面如图所示，因为正方体的棱长为1，所以正方形
的面积
，
顶点
到平面
的距离
，所以
．
E
F
G
H
12．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16 题) 已知圆锥的顶点为
，母线
，
所成角的余弦值为
，
与圆锥底面所成角为45°，若
的面积为
，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
解析：因为母线
、
所成角的余弦值为
，所以母线
、
所成角的正弦值为
．设母线长为，
则
的面积为
，解得
，又
与圆锥底面所成角为45°，可得底面半径
，所以该圆锥的侧面积是
．
13．如图，在正三棱柱
中，
．若二面角
的大小为
，则点
到直线
的距离为 ．
【答案】√3
解：如图，在正三棱柱
中，
若二面角
的大小为
过C 作CD⊥AB，D 为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=
√3
2 ，
则C1D=√3 ，所以点C1到直线
的距离为√3 。
14．(2014 高考数学天津理科·第10 题) 已知一个几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积
为_________
．
【答案】
解析: 该几何体是一个组合体, 上半部分是一个圆锥, 下半部分是一个圆柱．因为
,
,故该组合体体积
．
15．(2014 高考数学山东理科·第13 题) 三棱锥
中，
，
分别为
，
的中点，记三棱
锥
的体积为
，
的体积为
，则
．
【答案】
解析：设点
到平面
的距离为
，则点
到平面
的距离为
，
又
，所以得
．
16．(2014 高考数学江苏·第8 题) 设甲、乙两个圆柱的底面分别为
,
，体积分别为
,
，若它们
的侧面积相等，且
，则
的值是 ．
【答案】
解析：设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为
、
，
、
，则
，
，
又
，所以
，则
．
17．(2015 高考数学天津理科·第10 题) 一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为
3
m ．
【答案】
8
3
解析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为2 的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆
锥，所以该几何体的体积
2
2
1
8
1
2
2
1
1
3
3
V
．
18．(2015 高考数学上海理科·第4 题) 若正三棱柱的所有棱长均为
，且其体积为
，则
．
【答案】
解析：根据正三棱柱的体积计算公式
．
19．(2017 年高考数学江苏文理科·第6 题) 如图,在圆柱
1
2
,
O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母
线均相切．记圆柱
1
2
,
O O 的体积为
1
V ,球O 的体积为
2
V ,则
1
2
V
V 的值是_______．
【答案】
3
2
(第6 题)
O2
O1
O
解析:设球半径为r ,则
2
1
3
2
2
3
4
2
3
V
r
r
V
r
．故答案为
3
2 ．
20．(2016 高考数学浙江理科·第14 题) 如图，在
中，
．若平面
外
的点
和线段
上的点
，满足
，则四面体
的体积的最大值是 ．
【答案】
【命题意图】本题考查空间几何体及其体积的求法等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、推理论证
能力和运算求解能力．
解析：由
可得
，要求四面体
的体积，关键是寻找底面三角形
的面积
和点
到平面
的距离
，易知
．设
，
，其中
，且
，所以
，当且仅当
，即
时取等号．四面体
的体积的最
大值是
．
21．(2016 高考数学浙江理科·第11 题) 某几何体的三视图如图所示(单位：
)，则该几何体的表面积
是
，体积是
．
(第6 题)
O2
O1
O
【答案】
【命题意图】本题主要考查三视图、几何体的体积、表面积的计算等基础知识，意在考查学生的空间想象
能力和运算求解能力．
解析：将三视图还原成直观图如图所示，它由2 个长方体组合而成，其体积
，表面积为
．
22．(2016 高考数学天津理科·第11 题) 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所
示(单位：
)，则该四棱锥的体积为_____________
．
1
1
1
1
3
正视图
侧视图
俯视图
【答案】
解析：
3
2
1
23．(2016 高考数学四川理科·第13 题) 已知三棱锥的四个面都是腰长为
的等腰三角形，该三棱锥的正
视图如图所示，则三棱锥的体积为_______．
【答案】
【解析】三棱锥每个面都是腰为2 的等腰三角形，
由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为
则面积
．
二、多选题
1．(2022 新高考全国II 卷·第11 题)如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，
则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
解析：
设
，因为
平面
，
，则
，
，连接
交
于点
，连接
，易得
，
又
平面
，
平面
，则
，又
，
平面
，则
平面
，
又
，过
作
于
，易得四边形
为矩形，则
，
则
，
，
，则
，
，
，
则
，则
，
，
，故A、B 错误；
C、D 正确． 故选：CD．
题型四：立体几何中的球的问题
1．(2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第16 题) 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．
以
为球心，
为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】
．
解析：如图：
取
的中点为
，
的中点为
，
的中点为
，
因为
60°，直四棱柱
的棱长均为2，所以△
为等边三角形，所以
，
，
又四棱柱
为直四棱柱，所以
平面A1B1C1D1，所以
，
因为
，所以
侧面
，
设
为侧面
与球面的交线上的点，则
，
因为球的半径为
，
，所以
，
所以侧面
与球面的交线上的点到
的距离为
，
因为
，所以侧面
与球面的交线是扇形
的弧
，
因为
，所以
，
所以根据弧长公式可得
2．(2017 年高考数学天津理科·第10 题) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面
积为18 ,则这个球的体积为____________ ．
【答案】
9 π
2
【解析】设正方体边长为a , 则
2
2
6
18
3
a
a
, 外接球直径为2
3
3
R
a
,
3
4
4
27
9
π
π
π
3
3
8
2
V
R
．
题型五：立体几何线面位置关系
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第16 题) 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①
②
③
④
【答案】①③④
解析：对于命题
，可设
与
相交，这两条直线确定的平面为
；
若
与
相交，则交点
在平面
内，
同理，
与
的交点
也在平面
内，
所以，
，即
，命题
为真命题；
对于命题
，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题
为假命题；
对于命题
，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题
为假命题；
对于命题
，若直线
平面
，
则
垂直于平面
内所有直线，
直线
平面
，
直线
直线，
命题
为真命题．
综上可知，
，
为真命题，
，
为假命题，
真命题，
为假命题，
为真命题，
为真命题．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，
属于中等题．
2．(2019·北京·理·第12 题) 已知l，m 是平面
外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①
；②
∥
；③
．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m．(答案不唯一)
【解析】将所给论断分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
(1)如果l⊥α，m∥α，则l⊥m． 正确；
(2)如果l⊥α，l⊥m，则m∥α． 正确；
(3)如果l⊥m，m∥α，则l⊥α．不正确，有可能l 与α 斜交或l∥α．
3．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第14 题)
是两个平面，
是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果
，
，
，那么
．
(2)如果
，
，那么
．
(3)如果
，
，那么
．
(4)如果
，
，那么
与
所成的角和
与
所成的角相等．
其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号)
【答案】②③④
【解析】利用正方体模型可得：①错误，②正确，③正确，④正确，命题正确的有②③④．
二、多选题
1．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第10 题)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为
正方体的顶点．则满足
的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
解析:设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接
，则
，
故
(或其补角)为异面直线
所成的角，在直角三角形
，
，
，故
，故
不成立，故A 错误．
对于B，如图(2)所示，取
的中点为
，连接
，
，则
，
，
由正方体
可得
平面
，而
平面
，故
，而
，故
平面
，又
平面
，
，而
，
所以
平面
，而
平面
，故
，故B 正确．
对于C，如图(3)，连接
，则
，由B 的判断可得
，故
，故C 正确．
对于D，如图(4)，取
的中点
，
的中点
，连接
，则
，
因为
，故
，故
，所以
或其补角为异面直线
所成的角，
因为正方体的棱长为2，故
，
，
，
，故
不是直角，故
不垂直，故D 错
误．故选BC
题型六：立体几何中的角度与距离
1．(2014 高考数学上海理科·第6 题) 若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面角的大小为
_____________．(结果用反三角函数值表示)
【答案】
解析:设圆锥的底面半径为
,母线长为,母线与底面所成角为
．由已知得:
,则
,所以
．
2 ．(2015
高考数学浙江理科· 第
13
题) 如图，三棱锥
中，
，点
分别是
的中点，则异面直线
，
所成
的角的余弦值是 ．
【答案】
7
8 ．
解析：
如下图，连结
，取
中点
，连结
，
，则可知∠PMC 即为异面直
线AN ，CM 所成角(或其补角)易得
PM =1
2 AN =√2
，
PC =√PN 2+CN 2=√2+1=√3 ，CM =√AC 2−AM 2=2√2 ，
∴
cos∠PMC =
8+2−3
2×2√2×√2
=7
8 ，即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为
7
8 ．
3．(2015 高考数学四川理科·第14 题) 如图，四边形
和
均为正方形，它们所在的平面相
互垂直，动点
在线段
上，
分别为
,
中点，设异面直线
与
所成的角为
，则
的最大值为________
【答案】
解析：
建立坐标系如图所示．设
，则
．设
，则
，
由
于
异
面
直
线
所
成
角
的
范
围
为
，
所
以
．
，令
，则
，
当
时
取
等
号
．
所
以
，当
时，取得最大值．
z
y
x
F
M
E
Q
P
D
C
B
A
4．(2015 高考数学上海理科·第6 题) 若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为
，则其母线与轴的
夹角的大小为 ．
【答案】
解析：设这个圆锥的母线长为
，底面半径为
，母线与轴的夹角为
，所以
，而过轴的截面
是
一
个
三
角
形
，
故
，
有
，
所
以
，
，
．
5．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16 题)
,a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC
的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角；
②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45；
④直线AB 与a 所成角的最大值为60．
其中正确的是 ．(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】法一:由题意, AB 是以AC 为轴, BC 为底面半径的圆锥的母线,由
,
AC
a AC
b
,又AC
圆锥底面,在底面内可以过点B ,作BD
a
,交底面圆C 于点D ,如图所示,连结DE ,则DE
BD
,
DE
b
,连结AD ,等腰
ABD
中,
2
AB
AD
,当直线AB 与a 成60角时,
60
ABD
,故
2
BD
,又在
BDE
Rt△
中,
2,
2
BE
DE
,过点B 作
/ /
BF
DE ,交圆C 于点F ,连结AF ,由
圆的对称性可知
2
BF
DE
,
ABF
△
为等边三角形,
60
ABF
,即AB 与b 成60角,②正
确,①错误．
由最小角定理可知③正确;
很明显,可以满足平面ABC 直线a ,直线AB 与a 所成的最大角为90,④错误．
正确的说法为②③．
法二:斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,可得一个圆锥,其中AB 相当于母线,并将,a b 平移到
,
a b
,
,
a b
经过点C ,依题意易知
,
a b
在圆锥的底面上,如下图
直线AB 不动,让
,
a b
绕点C 旋转,设直线CD 与直线AB 所成的角为,直线CD 与直线BC 所成角为,
则由三余弦公式可得cos
cos45 cos
,所以
2
2
cos
cos
2
2
45
90
,即直线AB 与
直线a 所成角的最小值为45, 最大值为90, 故③正确,④不正确; 当
60
时, 有
cos60
cos45 cos
2
cos
2
45
,此时直线b即CE 与直线BC 所成的角也为45,设
直线CE 与AB 所成的角为,则有
1
cos
cos45 cos45
2
,所以
60
即AB 与b 成60角,故②
正确;综上可知选②③．
法三:由题意知,a
b
AC
、、
三条直线两两相互垂直,画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1,故|
| 1
AC
,
2
AB
,
斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,则A 点保持不变, B 点的运动轨迹是以C 为圆心,1 为半径的圆．
以C 为坐标原点,以CD
为x 轴的正方向,CB
为y 轴的正方向,CA
为z 轴的正方向建立空间直角坐标系
则
(1,0,0)
D
,
(0,0,1)
A
,直线a 的方向单位向量
(0,1,0)
a
,|
| 1
a ．B 点起始坐标为(0,1,0) ,
直线b 的方向单位向量
(1,0,0)
b
,|
| 1
b
．
设B 点在运动过程中的坐标
(cos ,sin ,0)
B
,
其中为B C
与CD 的夹角,
[0,2π)
．
那么
'
AB 在运动过程中的向量
( cos , sin ,1)
AB
,|
|
2
AB
．
设AB
与a 所成夹角为
π
[0,
]
2
,
则
( cos , sin ,1) (0,1,0)
2
2
cos
| sin
| [0,
]
2
2
a AB
．
故
π π
[
,
]
4 2
,所以③正确,④错误．
设AB
与b 所成夹角为
π
[0,
]
2
,
cos
( cos ,sin ,1) (1,0,0)
2 | cos
|
2
AB b
b AB
b AB
．
当AB
与a 夹角为60时,即
π
3
,
1
2
sin
2 cos
2 cos
2
3
2
2
．
∵
2
2
cos
sin
1
,
∴
2
| cos
|
2
．
∴
2
1
cos
| cos
|
2
2
．
∵
π
[0,
]
2
．
∴
π
= 3
,此时AB
与b 夹角为60．
∴②正确,①错误．
改进一下法三:由题意知,a
b
AC
、、
三条直线两两相互垂直,如下图,设CD 为a 直线,CE 为b 直线,不妨
设
1
AC
CD
CE
则
1,0,0
CD
,
0,1,0
CE
,
0,0,1
A
,依题意可设
, ,0
B x y
则有
2
2
1
x
y
,
, , 1
AB
x y
,设直线AB 与a 成角,直线AB 与b 成角
则有
cos
cos
,
2
x
CD AB
,
cos
cos
,
2
y
CE AB
当直线AB 与a 成60角时,有
1
2
2
2
2
x
x
,由
2
2
1
x
y
,可得
2
2
y
,此时
1
cos
2
所以AB 与b 成60角,故②正确;
由
cos
cos
,
2
x
CD AB
,而
1
x ,故
2
cos
0, 2
,所以
45 ,90
所以③正确,④错误
综上可知选②③．
6．(2016 高考数学上海理科·第6 题) 如图，在正四棱柱
中，底面
的边长为
3，
与底面所成角的大小为
，则该正四棱柱的高等于____________．
【答案】
解析：由题意得
．
二、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第9 题)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则
( )．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
【答案】AC
解析：依题意，
，
，所以
，
A 选项，圆锥的体积为
，A 选项正确；
B 选项，圆锥
侧面积为
，B 选项错误；
C 选项，设
是
的中点，连接
，
则
，所以
是二面角
的平面角，
则
，所以
，
故
，则
，C 选项正确；
D 选项，
，所以
，D 选项错误．
故选：AC．
2．(2022 新高考全国I 卷·第9 题)已知正方体
，则
( )
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成
角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
【答案】ABD
解析： 如图，连接
、
，因为
，所以直线
与
所成的角即为直线
与
所成的角， 因为四边形
为正方形，则
，故直线
与
所成的角为
，
A 正确；
连接
，因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故B 正确；
连接
，设
，连接
，
因为
平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1，则
，
因为
，
，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
所成的角，
设正方体棱长为，则
，
，
，
所以，直线
与平面
所成的角为
，故C 错误；
因为
平面
，所以
为直线
与平面
所成的角，易得
，故
D 正确． 故选：ABD
