专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
目 录
01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线......................................................................................................................2
02 蒙日圆...................................................................................................................................................... 4
03 阿基米德三角形......................................................................................................................................6
04 仿射变换问题........................................................................................................................................10
05 圆锥曲线第二定义................................................................................................................................12
06 焦半径问题............................................................................................................................................16
07 圆锥曲线第三定义................................................................................................................................19
08 定比点差法与点差法............................................................................................................................21
09 切线问题................................................................................................................................................ 25
10 焦点三角形问题....................................................................................................................................28
11 焦点弦问题.............................................................................................................................................30
12 圆锥曲线与张角问题............................................................................................................................32
13 圆锥曲线与角平分线问题....................................................................................................................34
14 圆锥曲线与通径问题............................................................................................................................38
15 圆锥曲线的光学性质问题....................................................................................................................40
16 圆锥曲线与四心问题............................................................................................................................43
01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历
山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：
已知动点M 与两定点A，B 的距离之比为
，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
已知在平面直角坐标系中，圆
、点
和点
，M 为圆O 上的动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，令
，则
，
由题知圆
是关于点A、C 的阿波罗尼斯圆，且
，
设点
，则
，
整理得：
，
比较两方程可得：
，
，
，即
，
，点
，
当点M 位于图中
的位置时，
的值最大，最大为
.
故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点，及动点，若
（
且
），则点
的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知
，
，直线
，直线
，若为，的交点，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知
过定点
，
过定点
，
因为
，
，所以
，即
，
所以点的轨迹是以
为直径的圆，除去
点，故圆心为
，半径为3，
则的轨迹方程为
，即
，易知O、Q 在该圆内，
又
，
即
，
取
，则
，又
，
所以
，
所以
的最小值为
.
故选：A.
3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山
大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
的距离之比为定值
，且
的点的
轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系
中，
，点满足
.
设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当
三点不共线时，则
C．在C 上存在点M，使得
D．若
，则
的最小值为
【答案】C
【解析】设
，由
，得
，化简得
，故A 正确；
当
三点不共线时，
，所以
是
的角平分线，所以
，故B 正
确；
设
,则
，化简得
，因为
，
所以C 上不存在点M，使得
，故C 错
误；
因为
，所以
，所以
，当且仅当在线段
上时，等号成立，故D 正确.
故选：C.
02 蒙日圆
4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发
现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙
日圆．若椭圆：
（
）的蒙日圆为
，则椭圆Γ 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，
分别与椭圆相切，显然
.
所以点
在蒙日圆
上，
所以
，所以
，即
，
所以椭圆的离心率
.
故选：D
5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上
两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：
的离心率为，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：
的离心率为，则
，解得
，即椭圆的方程为
，
于是椭圆的上顶点
，右顶点
，经过
两点的椭圆切线方程分别为
，
，
则两条切线的交点坐标为
，显然这两条切线互相垂直，因此点
在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径
，
所以椭圆的蒙日圆方程为
.
故选：B
6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线
的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以
坐标原点为圆心，
为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为
，是直线
上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于
、
两点，是坐标原点，连接
，
当
为直角时，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】根据蒙日圆定义，圆方程为
，
因为直线与圆交于、两点，联立
，可得
或
，
即点
、
，
当点与点或重合时，
为直角，且
，
，
所以，直线
的斜率为
或.
故选：D.
03 阿基米德三角形
7．（2024·陕西铜川·统考）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆
的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为
，离心率为
，
，
是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆的标准方程可以为
②若
，则
③存在点，使得
④
的最小值为
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
【答案】D
【解析】对于①：由
，解得
，
则椭圆的标准方程为
，故①正确；
对于②：由定义可知
，
由余弦定理可得：
，整理得
，
则
，故②错误；
对于③：设
，
，
，由于
，
，
则不存在点，使得
，故③错误；
对于④：
，
当且仅当
，
即
时，等号成立，故④正确；
故选：D
8．（2024·河北·校联考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数
学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛
物线
，过焦点的弦
的两个端点的切线相交于点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
点必在直线
上，且以
为直径的圆过
点
B．
点必在直线
上，但以
为直径的圆不过
点
C．
点必在直线
上，但以
为直径的圆不过
点
D．
点必在直线
上，且以
为直径的圆过
点
【答案】D
【解析】设
为抛物线
上一点，
当
时，由
得：
，在
处的切线方程为：
，
即
，
；
同理可得：当
时，在
处的切线方程切线方程为
；
经检验，当
，
时，切线方程为
，满足
，
过抛物线
上一点
的切线方程为：
；
设
，
则抛物线在
处的切线方程为
和
，
，
点
满足直线方程：
，又直线
过焦点
，
，解得：
，
点必在直线
上；AC 错误；
由题意知：
，
，
，
，
；
设直线
方程为：
，
由
得：
，
，
，即
，
以
为直径的圆过
点；B 错误，D 正确.
故选：D.
9．（2024·青海西宁·统考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．
阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定
值．设抛物线
，弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
且
，直线
，联立
，
整理得
，则
．
设过点的切线方程为
，联立
，
整理得
，由
，可得
，
则过A 的切线为：
，即
，即
，即
，
同理可得过点的切线斜率为
，过点B 的切线方程为：
，
联立两切线
，则
，
所以两条切线的交点在准线上，则
，
两式相减得
，
，可得
，
，
又因为直线
的斜率为
，
（
也成立），
如图，设准线与轴的交点为
，
的面积
，
当
轴时，
最短（最短为
），
也最短（最短为
），
此时
的面积取最小值
．
故选：B
04 仿射变换问题
10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆
，
分别为椭圆左右焦点，过
作
两条互相平行的弦，分别与椭圆交于
四点，若当两条弦垂直于轴时，点
所形
成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】作仿射变换，令
，可得仿射坐标系
，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆
，点
坐标分别为
，过
作两条平行的弦分别与圆交于
四
点.
由平行四边形性质易知，三角形
的面积为
四点所形成的平行四边形面积的，故只需
令三角形
面积的最大值在弦
与轴垂直时取到即可.当
时，三角形
面积的最大
值在弦
与轴垂直时取到.
故此题离心率的取值范围为
.
故答案为：
.
11．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆
左顶点为，
为椭圆上两动点，直线
交
于，直线
交
于
，直线
的斜率分别为
且
，
（
是非零实数），求
.
【答案】1
【解析】解法1：可得点
，设
，则
，
由
可得
，即有
，
，
，两边同乘以，可得
，
解得
，将
代入椭圆方程可得
，由
可得
，可得
；
故答案为：．
解法2：作变换
之后椭圆变为圆，方程为
，
，
设
，则
，
，
∴
，
，
∴
.
故答案为：．
12．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆
交于
两点，且
在直线的上方，则△
内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【答案】
【解析】如图，作仿射变换：
，椭圆变为
，直线
的斜率变为直线
的斜率，
变为
，
由垂径定理
平分
，其方程为
，
平分
，
△
内切圆的圆心所在的定直线方程为
．
故答案为：
05 圆锥曲线第二定义
13．（2024·四川眉山·校考模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，过
且斜率
为
的直线交于、两点，若
，则的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设双曲线
的右准线为，
过、分别作
于
，
于
，
于
，
如图所示：
因为直线
的斜率为
，
所以直线
的倾斜角为
，
∴
，
，
由双曲线的第二定义得：
，
又∵
，
∴
，
∴
故选：B
14．（2024·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知以F 为焦点的抛物线
上的两点
A，B，满足
，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】解法1：抛物线
的焦点坐标为
，准线方程为
，
设
，
，则∵
，由抛物线定义可知
，∴
，又
因为
，所以
即
，由①②可得：
所以
.∵
，
当
时，
，当
时，
，
∴
，则弦AB 的中点到C 的准线的距离
，d 最大值是.
∴弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB 的中点到C 的准线的距离
，根据结论
，
，
，
故选：B.
15．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆
=1 内有一点P（1，-1），F 为椭圆的右焦点，在椭圆上
有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M 坐标为（ ）
A．
B．
，
C．
D．
，
【答案】A
【解析】因为椭圆方程为
=1，所以椭圆得离心率
，
设点M 到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：
，所以
，所以
表示椭圆上一点M 到椭圆内定点P 和到椭圆右准线的距离之和，
当
垂直于右准线时，
取得最小值.此时
的纵
坐标为-1，代入椭圆方程
=1，求得
的横坐标为
.
所以点M 坐标为
，故B，C，D 错误.
故选：A.
16．（2024·山东济宁·统考）过抛物线
焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依
次为A，B，C.若
，则线段BC 的中点到准线的距离为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】由抛物线的方程可得焦点
，渐近线的方程为：
，
由
，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作
垂直于准线于，
准线交x 轴与N,则
,
故
，故
,
而
x 轴，故
,
所以直线
的倾斜角为
，
所以直线
的方程为
，
设
，
，
，
，
联立
，整理可得：
，
可得
，
所以
的中点的横坐标为3，
则线段
的中点到准线的距离为
，
故选：B．
06 焦半径问题
17．（2024·安徽·高二统考期末）过抛物线
(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段
PF 与FQ 的长分别为p、q，则
等于（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】抛物线
转化成标准方程：
，
焦点
坐标
，准线方程为
，
设过
的
直线方程为
，
，整理得
．
设
，
，
，
由韦达定理可知：
，
，
，
，
根据抛物线性质可知，
，
，
，
的值为
，
故选：C．
18．（2024·全国·高三专题练习）长为11 的线段AB 的两端点都在双曲线
的右支上，则AB 中点
M 的横坐标的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由双曲线
可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB 中点M 的横坐标为m，
，
则
，
，
，当且仅当F、
A、B 共线且
不垂直轴时，m 取得最小值，此时
．
检验: 如图，当F、A、B 共线且
轴时，
为双曲线的通径，则根据通径公式得
,所以
轴不满足题意.
综上，当F、A、B 共线且
不垂直轴时，m 取得最小值，此时
．
故选：B．
19．（2024·全国·高三专题练习）抛物线
的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关
系是（ ）
A．m＋n＝mn
B．m＋n＝4
C．mn＝4
D．无法确定
【答案】A
【解析】抛物线的焦点
，准线x＝－1，
设
，把它代入
得
，
设
，
，则
，由抛物线定义可得
，
，
∴
，
，
∴m＋n＝mn．
故选:A
20．已知
为抛物线
的焦点，
是该抛物线上的两点，
，则线段
的中点到轴的
距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线为
，过
作准线的垂线，垂足为
，
的中点为
，过
作准线的
垂线，垂足为
，
因为
是该抛物线上的两点，故
，
所以
，
又
为梯形的中位线，所以
，故
到轴的距离为
，故选C.
07 圆锥曲线第三定义
21．（2024·贵州贵阳·高三统考期末）过抛物线
的焦点的直线与抛物线交于A，B 两点，若
的中
点的纵坐标为2，则
等于（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设
直线AB 的方程为：
(m 为常数),与抛物线方程联立消去,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公
式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度.抛物线
的焦点坐标
F(1,0),准线方程
,
设AB 的中点为M,过A,B,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN 为梯形ABDC 的中位线，
,
∵直线AB 过抛物线的焦点F,∴可设直线AB 的方程为：
(m 为常数),
代入抛物线的方程消去x 并整理得：
,
设A,B 的纵坐标分别为
,线段AB 中点
,
则
,
,
∴直线AB 的方程为
,
,
，
故选：C.
22．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）过椭圆
上一点作圆
的切线，且切线的斜率小于，切点为
，交椭圆另一点，若
是线段
的中点，则
直线
的斜率（ ）
A．为定值
B．为定值
C．为定值
D．随变化而变化
【答案】C
【解析】设
,
,则
,化简可得
.因为
是线段
的中点,故
.
代入化简可得
的斜率
.
又直线
与
垂直,故
,解得
,代入圆
可得
.故直线
的斜率为
为定值.
故选：C
23．（2024·陕西咸阳·统考）已知双曲线
上存在两点，关于直线
对称，
且线段
的中点坐标为
，则双曲线的离心率为（ ）．
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】设
，
，根据线段
的中点坐标为
，且，关于直线
对称，，
在双曲线上，整理可得
，进而可得到离心率.设
，
，
且线段
的中点坐标为
，
则
，
又，关于直线
对称，
所以
，
且，在双曲线上，
，
，
相减可得
，即
，
故
，即
，
离心率为
，
故选：B.
08 定比点差法与点差法
24．（2024·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）如图，P 为椭圆
上的一动点，
过点P 作椭圆
的两条切线PA，PB，斜率分别为，
.若
为定值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
则过的直线方程为
将直线方程与椭圆
联立可得
化简可得
因为相切,所以判别式
展开得
同时除以
可得
合并可得
同除以
,得
展开化简成关于的方程可得
因为有两条直线,所以有两个不等的实数根.
因为
为定值,可设
由韦达定理,
化简得
又因为
在椭圆上,代入可得
化简可得
则
,化简可得
解得
故选:C
25．（2024·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）已知斜率为的直线与椭圆
交于，
两点，线段
的中点为
（
），那么的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，或
【答案】A
【解析】先设
，
，再由点差法求出
，再由点
，
在椭圆内，求出
的范围即可得解.设
，
，
又点，在椭圆
上，
则
，
，
两式相减可得：
，
又
，
则
，
又点
，
在椭圆内，
则
，
则
，
所以
，
故选：A.
26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知椭圆
内有一定点
，
过点P 的两条直线，分别与椭圆交于A、C 和B、D 两点，且满足
，
，若变化
时，直线CD 的斜率总为
，则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
因为
，且
，所以
，同
理
.将
两点坐标代入椭圆方程并化简得
，即
，同理
，由于
，
，所以
，即
，即
，两式相
加得
，即
，所以
，所以
，故选A.
27．（2024·全国·高三专题练习）设
、
分别为椭圆
的左、右焦点，点A、在椭圆上，若
，则点A 的坐标是 ．
【答案】
，
或
，
【解析】椭圆
中，
，
，
则左焦点
，
，右焦点
，
，设
，
，
，
．
则
，
，
则有
， 解得
由点，在椭圆上，则有
解之得
，或
故有
或
即
，
或
，
故答案为：
，
或
，
09 切线问题
28．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O 为坐标原点，点P 在标准单位圆上，过点P 作
圆C：
的切线，切点为Q，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】圆C 的圆心为
，半径
，标准单位圆的圆心为
，半径
，
因为
，
可知圆C 与标准单位圆外离，即点P 在圆C 外，
由题意可知：
，
且
，当且仅当在线段
上时，等号成立，
所以
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
29．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，直线
为：
，设点为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线
，其中
为切点，
则
的最小值为 ．
【答案】/4.5
【解析】设切点为
，
，
，即
，
，
则
，整理得到
，
恒成立.
设
，
，则
，
是方程
的两个根，
，
，则
，
当
时，
的最小值为.
故答案为：.
30．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）在平面直角坐标系
中，抛物线：
的焦点为
，
过上一点
（异于原点）作的切线，与轴交于点．若
，
，则
．
【答案】1
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，抛物线：
即
，焦点
，设
，
因为
，所以抛物线在M 处的切线方程为
，
（另法：设抛物线在M 处的切线方程为
与
联立消去y，得到：
，利用
亦可求出
）.
令
，得
，即
，
由题
，
，
解得
.
故答案为：.
31．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆
上一动点分别向圆
：
和圆
：
作切线，切点分别为
，
，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】
，
，
，易知
、
为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义
，
设
，则
，即
，
则
，
当
时，
取到最小值
．
当
时，
取到最大值
．
故
的取值范围为：
.
故答案为：
.
10 焦点三角形问题
32．（2024·河北张家口·高二张家口市第四中学校考阶段练习）已知
是双曲线
的一个焦点，
点在上，为坐标原点，若
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，因为
再结合双曲线方程可解出
，再利用三角形面积公式可求出结果.
设点
，则
①．
又
，
②．
由①②得
，
即
，
，
故选B．
33．（2024·全国·高三专题练习）已知
在双曲线
上，其左、右焦点分别为
、
，
三角形
的内切圆切x 轴于点M，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在双曲线
上，可得
，∴
、
，
如图，设
，内切圆与x 轴的切点是点M，
、
与内切圆的切点分别为N、H，
∵由双曲线的定义可得
，由圆的切线长定理知，
，
故
，即
，设内切圆的圆心横坐标为x，
则点M 的横坐标为x，故
，∴
，
∴
，
故选：C．
34．（2024·江西宜春·上高二中校考模拟预测）已知双曲线
(
)的左､右焦点分别为
为双曲线上的一点，为
的内心，且
，则的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图示，延长
到且
，延长
到且
，
所以
，即
，
故是△
的重心，即
，又
，
所以
，而是
的内心，则
，
由
，则
，故
，即
.
故选：D
11 焦点弦问题
35．（2024·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）椭圆
的左、右焦点分别为
，过点
的直线交椭圆于
两点，交轴于点
，若
，是线段
的三等分点，
的周
长为
，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，得
，
的周长
，所以
，
所以椭圆
.
不妨令点C 是
的中点，点A 在第一象限，因为
，
所以点A 的横坐标为c，所以
，可得
，所以
，
由中点坐标公式可得
，把点B 的坐标代入椭圆E 的方程，得
，
，化简得
，又
，
所以
，得
，所以
.
所以，椭圆的方程为
.
故选：A.
36．（2024·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期末）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
点P 在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若
为直角三角形，则
的周长是
B．若
为直角三角形，则
的面积是6
C．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
D．若
为钝角三角形，则
的取值范围是
【答案】C
【解析】因为双曲线
，所以
，
不妨设点P 在第一象限，则
，
若
为直角三角形，
当
时，则
，
又
，即
，
所以
，
，
所以
，
所以
的周长是
，
的面积是
；
当
时，设
，
代入方程解得
（负值舍去），所以
，
故
，所以
，
所以
的周长是
，
的面积是6，
综上所述，若
为直角三角形，
则
的周长是
或8，
的面积是3 或6，
故A、B 错误；
若
为锐角三角形，根据上述，则
的取值范围是
，故C 正确；
若
为钝角三角形，根据上述，则
的取值范围是
，故D 错误.
故选：C.
12 圆锥曲线与张角问题
37．（2024·山东枣庄·统考）设
、
是椭圆：
的两个焦点，若上存在点
满足
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】 要使得椭圆上存在点
满足
，则
，即
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
，
所以实数
的取值范围是
，故选A.
38．（2024·辽宁朝阳·高二统考期末）设
分别为椭圆
的左､右焦点，点
是椭圆上异
于顶点的两点，
，则
，若点还满足
，则
的面积为
.
【答案】
1
【解析】由
知
，由椭圆的对称性得
关于原点对称，所以
-1.若
，则四边形
为矩形，所以
故答案为：
，1.
39．（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考阶段练习）已知O 为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别是
，过点
且斜率为k 的直线与圆
交于A，B 两点
（点B 在x 轴上方），线段
与椭圆交于点M，
延长线与椭圆交于点N，且
，则椭圆的离心率为 ，直线
的斜率为 ．
【答案】
【解析】过原点作
于点
,则
为
的中点，
又∵
, ∴
, 即
的中点，
∴
∥
, ∴
,
连接
, 设
，则
，
，
，
在
△
中，
，解得
，
在
△
中，
，整理得
，
解得
，
.
故答案为：
；.
13 圆锥曲线与角平分线问题
40．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知抛物线
上横坐标为4 的点到抛物
线焦点
的距离为，点是抛物线上的点，为坐标原点，
的平分线交抛物线于点，且
，
都在轴的上方，则直线
的斜率为 .
【答案】
/
【解析】由抛物线
上横坐标为4 的点到抛物线焦点
的距离为，
根据抛物线的定义，可得
，解得
，所以
，
如图所示，因为
，可得
，所以直线
的斜率为
，
可得直线
的方程为
，
联立方程组
，整理得
，解得
或
（舍去），
因为都在轴的上方，所以点
，
又由
的平分线交抛物线于点，可得
，
所以直线
的斜率为
，所以直线
的方程为
联立方程组
，整理得
，解得
或
（舍去），
因为都在轴的上方，所以点
，
所以
的斜率为
.
故答案为：
.
41．（2024·重庆万州·统考模拟预测）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，P 是C 在第一象限上的一点，且直线
的斜率为
，
的平分线交x 轴于点A，点B 满足
，
，则双曲线C 的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】过作
，
由点满足
，
则
在
方向上的投影与
在
方向上的投影长度相等,
即
，则
,
即
，即
为
的平分线,
则为
的内心，
连接
，又点满足
,
,
,
又
，则
,
又直线
的斜率为
，
,
在
中结合余弦定理
，
可得
，
化简得
，则
，
即
，即双曲线的渐近线方程为
.
故答案为：
.
42．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，离心率为，点是双曲线上的任意一点，满足
，
的平分线与
相交于点，则
分
所得的两个三角形的面积之比
.
【答案】或
【解析】如下图所示：
因为双曲线的离心率为
，则
，所以，
，
若点在右支上，且
，则
，解得
，
因为
的平分线与
相交于点，由角平分线的性质可知，点到直线
、
的距离相等，
此时，
；
若点在左支上，同理可求得
，则
.
综上所述，
或.
故答案为：或.
43．（2024·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，离心率为，点是椭圆上的任意一点，满足
的平分线与
相交于点，则
分
所得的两个三角形的面积之比
.
【答案】或
【解析】
设
，因为
所以
，
在Rt
中，由勾股定理，得
，①
又因为
，所以由椭圆的定义得
，②
联立①②并化简得：
，显然点不在坐标轴上，
若点在第一或第四象限，
则
，因为
是
的平分线，所以
；
若点在第二或第三象限，
则
，因为
是
的平分线，所以
.
故答案为：或
44．（2024·全国·高三专题练习）已知点
是椭圆：
上异于顶点的动点，
，
分别为椭圆
的左、右焦点，为坐标原点，为
的中点，
的平分线与直线
交于点，则四边形
的
面积的最大值为 .
【答案】2
【解析】由椭圆的方程可得
，
，所以
，
故
，
，又
平分
，则到
、
的距离相等，设为，
则
，
设
，则
，
，
由
是
的中位线，易得
，
即
，由椭圆性质易知，存在点
为椭圆上异于顶点的动点，使
，此时
最
大，且为.
故答案为：
14 圆锥曲线与通径问题
45．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于
两点，
为的准线上一
点，则
的面积为（ ）
A．18
B．24
C．36
D．48
【答案】C
【解析】设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（
，0），对称轴为x 轴，准线为x=-
∵直线l 经过抛物线的焦点，A、B 是l 与C 的交点，
又∵AB⊥x 轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P 在准线上
∴DP=（
+|-
|）=p=6
∴S△ABP= （DP•AB）= ×6×12=36
故选:C．
46．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为
，
可得
，解得
，所以抛物线方程为
；
当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为
，
可得
，解得
，所以抛物线方程为
，
所以所求抛物线的方程为
.
故选：C.
47．（2024·贵州黔东南·统考）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双
曲线的通径，其长等于
( 、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线
（
）的左、右焦点分别为
、
，若点
是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过
第二、四象限的渐近线，
于点，且
的最小值为3，则双曲线的通径为 .
【答案】
【解析】
如图所示，连接
，由双曲线的定义知
，当
且仅当
三点共线时取得最小值，此时，由
到直线
的距离
，
，由定义知通径等于
，
故答案为：.
15 圆锥曲线的光学性质问题
48．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的
光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线
的焦点为
，一条平行于轴的光线从点
射出，经过抛物线上的点反射后，
再经抛物线上的另一点射出，则
．
【答案】
【解析】如图，由题意可知
轴，
，
将
代入
中得
，即
,
又
，则
，故
的方程为
，联立
，
可得
，解得
，或
（此时C 与B 关于x 轴对称，不合题意），
则
，故
，
故答案为：
.
49．（2024·山东青岛·统考）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线
与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为
.由椭圆的光学性质知，
、、
三点共线.若
，
，则
.
【答案】/
【解析】如下图所示：
因为点关于的对称点为
，则
，
因为
，且
，
所以，
，所以，
，
可得
，则
，
所以，
，故
.
故答案为：.
50．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦
点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆
的左、右
焦点为
,
，P 为椭圆上不与顶点重合的任一点，I 为
的内心，记直线OP，PI（O 为坐标原点）
的斜率分别为，
，若
，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
/
【解析】不妨设点在第二象限，
的内切圆与各边的切点分别为
,设
,
则
，
故
，
，
，
由于点在第二象限，
，所以
，故
，
，因此
，
，
当
代入得
（负值舍去），
故答案为：
16 圆锥曲线与四心问题
51．（2024·海南海口·校考模拟预测）已知
、
是椭圆
的左右焦点，点
为上一
动点，且
，若为
的内心，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由椭圆的方程可得
，
，
，
设内切圆的半径为，则
，
可得
，
而
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，即
．
故选：C．
52．（2024·江西·校联考模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，为椭圆上异于长轴
端点的动点，
，分别为
的重心和内心，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】
由椭圆
可得
，
，
如图，设
的内切圆与三边分别相切与，，，
，分别为
的重心和内心．
则
，
，
，
所以
，
所以
故选：D
53．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知
的三个顶点
均在抛物线
上，则下列
命题正确的有（ ）
A．若直线BC 过点
，则存在点A 使
为直角三角形；
B．若直线BC 过点
，则存在
使抛物线
的焦点恰为
的重心；
C．存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心；
D．若边AC 的中线
轴，
，则
的面积为
【答案】AB
【解析】设
三点坐标分别为
，
A 选项，直线BC 过点
，设BC 方程为
，
联立
，消去x 得，
，
，
，
，
所以
，而点O 在抛物线上，故A 正确；
B 选项，直线BC 过点
，设BC 方程为
，
联立
，消去x，得
，
，
抛物线
的焦点恰为
的重心，
，
，
将A 点坐标代入抛物线方程，则
，所以
，
当
时，
，故B 正确；
C 选项，设以抛物线焦点
为圆心的圆半径为r，
其方程为
，与抛物线方程联立得：
，
，
方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，
不存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心，故C 不正确；
D 选项，AC 的方程为
，代入抛物线方程得，
，
，
设AC 中点
轴，
，
，代入抛物线方程得
，
，
，
故D 不正确.
故选：AB.
54．（多选题）（2024·福建三明·统考）瑞士著名数学家欧拉在1765 年证明了定理“三角形的外心、重心、
垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉
线”.直线与轴及双曲线
的两条渐近线的三个不同交点构成集合
，且
恰为
某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】设
，
由
，得
，得
，
由
，得
，得
，
由
，得
，得
，
，
，
，
若为重心、为外心、为垂心，则
，
所以
，化简得
，此时双曲线的离心率
，
若为重心、为垂心、为外心，则
，
所以
，化简得
不成立；
若为重心、为垂心、为外心，则
，
所以
，化简得
，此时双曲线的离心率
，
若为重心，为垂心、为外心，则
，
，化简得
，此时双曲线的离心率
；
若为重心、为垂心、为外心，则
，
所以
，化简得
或
，
此时双曲线的离心率
或
，
若为重心，为垂心、为外心，则
，
所以
，化简得
或
都不成立.
综上所述：
或
或
或
.
故选：ABD
55．（多选题）（2024·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线：
的左、右焦点分别为
，
，
右顶点为，过
的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设
，
分别为
，
的内心，则（ ）
A．点
的横坐标为2
B．当
时，
C．当
时，
内切圆的半径为
D．
【答案】BCD
【解析】由双曲线方程知：
，令圆
在x 轴上的切点横坐标为
，
结合双曲线定义及圆切线性质有
，即
，
所以圆
在x 轴上的切点与右顶点为重合，又
轴，则
的横坐标为1，A 错；
由
，则
，故
，
而
，所以
，故
，得
，
所以
，B 对；
若
为
内切圆圆心且
知：以直角边切点和
为顶点的四边形为正方形，
结合双曲线定义：内切圆半径
由B 分析知：
，C 对；
由
分别是
的角平分线，又
，
所以
，结合A 分析易知
，
在
中
，D 对.
故选：BCD
