十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计多选、填空题
目录
题型一：计数原理与排列组合...............................................................1
题型二：二项式定理..............................................................................3
题型三：简单的随机抽样.....................................................................11
题型四：用样本数字特征估计总体......................................................11
题型五：相关关系与回归分析.............................................................15
题型六：独立性检验............................................................................15
题型七：事件与概率............................................................................15
题型八：随机变量的分布列.................................................................22
题型一：计数原理与排列组合
一、填空题
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第13 题)某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这
8 门课中选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有________种(用数
字作答)．
【答案】64
解析：(1)当从8 门课中选修2 门，则不同的选课方案共有
种；
(2)当从8 门课中选修3 门，
①若体育类选修课1 门，则不同的选课方案共有
种；
②若体育类选修课2 门，则不同的选课方案共有
种；
综上所述：不同的选课方案共有
种．
故答案为：64．
2．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第14 题)4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个
小区，每个小区至少安排1 名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
解析：
4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1
名同学
先取2 名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3 组同学分配到3 个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法
种
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查
了分析能力和计算能力，属于中档题．
3．(2018 年高考数学浙江卷·第16 题)从1，3，5，7，9 中任取2 个数字，从0，2，4，6 中任取2 个数字，
一共可以组成 个
没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【答案】1260
解析：解法1：分类讨论
四位数中有数字0 的有
种，无数字0 的有
种，
则共可以组成
个没有重复数字的四位数．
解法2：正难则反
无限制四位数有
种，其中数字0 在首位的有
种，
则共可以组成
个没有重复数字的四位数．
4．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15 题)从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1
位女生入选，则不同的选法共有 种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1 女2 男，有
，2 女1 男，有
根据分类计数原理可得，共有12+4=16 种，
方法二，间接法：
种．
5．用数字0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2 相邻的偶数有 个(用数字作
答)．
【答案】24
解：用数字0、1、2、3、4 组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2 相邻的偶数。可以分情况讨论：
① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1 个数字，共可以组成
个五位数；② 若末位数字为2，则1 与它相邻，其余3 个数字排列，且0 不是首位数字，
则有
个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1 个
数字，且0 不是首位数字，则有
=8 个五位数，所以全部合理的五位数共有24 个。
6．(2014 高考数学北京理科·第13 题)把5 件不同产品摆成一排, 若产品A 与产品B 相邻, 且产品A 与产
品C 不相邻, 则不同的摆法有 种．
【答案】36
解析： 先将A、B 捆绑在一起当做一个元素，和D、E 排列，再考虑A、B 可以交换位置，这4 个元素
共有
种排法，最后插入C，由于C 不能够和A 相邻，有
种插法。故共有
种
方法
7．(2015 高考数学广东理科·第12 题)某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留
言，那么全班共写了 条毕业留言。(用数字做答)
【答案】1560
解析：依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了
条毕业留言，故应填入1560．
8．(2017 年高考数学天津理科·第14 题)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字
是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个．(用数字作答)
【答案】1080
【解析】依题意按分类计数原理操作:(1)当没有一个数字是偶数时,从1,3,5,7,9 这五个数字中任取四
个得无重复数字的四位数有
4
5
120
A
个(或
4
4
5
4
120
C A
个);(2)当仅有一个数字是偶数时,先从
2,4,6,8 中任取一个,再从1,3,5,7,9 中任取三个,然后进行全排列得到无重复数字的四位数有
1
3
4
4
5
4
960
C C A
;故由分类计数原理得这样的四位数共有
120
960
1080
N
个．
9．(2017 年高考数学上海(文理科)·第6 题)若排列数
6
6 5 4
m
P
,则m ________．
【答案】 3
【解析】
3
6
6 5 4
P
,则
3
m
．
10．(2015 高考数学上海理科·第8 题)在报名的3 名男教师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要
求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示)．
【答案】
解析：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3 和男3、女4
所以有
．
11．(2014 高考数学浙江理科·第14 题)在8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5 张无奖．将这8 张
奖券分配给4 个人，每人2 张，不同的获奖情况有_____种(用数字作答)．
【答案】
解析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有
种；一、二、三等奖，有1 人获得2
张，1 人获得1 张，共有
种，共有
种．故答案为：60．
12．(2017 年高考数学浙江文理科·第16 题)从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人,副队长1 人,普通队员
2 人组成4 人服务队,要求服务队中至少有1 名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)
【答案】660
【解析】(间接法)
应用乘法原理分2 步完成:
第一步,8 名学生中选4 人(至少有1 名女生)即8 名学生中任选4 人去掉全是男生的情况有
4
4
8
6
C
C
种
选法;
第二步分配职务,4 人里选2 人担任队长和副队长有
2
4
A 种选法．
所以,共有
4
4
2
8
6
4
(70 15) 12
660
C
C
A
种选法．
(直接法)
应用乘法原理分2 步完成:
第一步,8 名学生中选4 人(至少有1 名女生),其中1 女3 男有
1
3
2
6
C C 种选法和2 女2 男有
2
2
2
6
C C 种选法;
第二步分配职务,4 人里选2 人担任队长和副队长有
2
4
A 种选法．
所以,共有
1
3
2
2
2
2
6
2
6
4
(
)
(2 20 1 15) 12
660
C C
C C
A
种选法．
【考点】计数原理,排列组合
题型二：二项式定理
一、填空题
1．(2023 年天津卷·第11 题)在
的展开式中，
项的系数为_________．
【答案】
解析：展开式的通项公式
，
令
可得，
，
则
项的系数为
．
故答案为：60．
2．(2021 年高考浙江卷·第13 题)已知多项式
，则
___________，
___________
【答案】(1)．
; (2)．
．
解析:
，
，
所以
，
，
所以
故答案为
．
3．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第14 题)
的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
解析：
其二项式展开通项：
当
，解得
的展开式中常数项是：
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握
的
展开通项公式
，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
4．(2020 年浙江省高考数学试卷·第12 题)设
，则
a5=________；a1+a2 + a3=________．
【答案】(1)．80 (2)．122
解析：
的通项为
，令
，则
，
；
5．(2022 新高考全国I 卷·第13 题)
展开式中
的系数为________________(用数字
作答)．
【答案】-28
解析：因为
，
所以
的展开式中含
的项为
，
的展开式中
的系数为-28
故答案为：-28
6．(2021 高考天津·第11 题)在
的展开式中，
的系数是__________．
【答案】160
解析：
的展开式的通项为
，
令
，解得
， 所以
的系数是
．
故答案
：160．
7．(2021 高考北京·第11 题)在
的展开式中，常数项为__________．
【答案】
解析：
的展开式的通项
令
，解得
， 故常数项为
．
8．(2020 天津高考·第11 题)在
的展开式中，
的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为
的展开式的通项公式为
，令
，解得
．所以
的系数为
．故答案为：
．
9．(2019·浙江·第13 题)在二项式
的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的
个数是 ．
【答案】
，
【解析】
展开式的通项为
，当
时，可得二项式
展开式的常数项是
．若系数为有理数，则
为偶数即可，故
可取
1,3,4,5,7,9，即
共5 项．
10．(2019·天津·理·第10 题)
的展开式中的常数项为 ．
【答案】28
解析：
的展开式中的常数项为
．
11．(2019·上海·第4 题)已知二项式
，则展开式中含
项的系数为________.
【答案】40
【解析】
令
，则
，
系数为
.
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12．(2018 年高考数学浙江卷·第14 题)二项式
的展开式的常数项是 ．
【答案】7
解析：
，令
，得
，
，故二项式
的展开式的常数项是7．
13．(2018 年高考数学上海·第3 题)在
的二项展开式中，
项的系数为 ．
【答案】21
解析：由
得
， 所以
项的系数为
．
14．(2018 年高考数学天津(理)·第10 题)在
的展开式中，
的系数为 ．
【答案】
解析：展开式的通项
，令
，得
，所以展
开式中
的系数为
．
15．
的二项展开式中
的系数是 (用数字作答)．
【答案】35
解：
的二项式展开式中
项为
，x 项的系数是35．
16．(2014 高考数学山东理科·第14 题)若
的展开式中
项的系数为
，则
的最小值
为 ．
【答案】
解析：
的展开通项为
，令
，得
，
所以
，
，
．
17．(2014 高考数学课标2 理科·第13 题)
10
x
a
的展开式中，
的系数为15，则
=________．(用数
字填写答案)
【答案】
解析：
故
18．(2014 高考数学课标1 理科·第13 题)
8
(
)(
)
x
y x
y
的展开式中
的系数为________．(用数字填
写答案)
【答案】 20
解析:
8
(
)
x
y
展开式的通项为
8
1
8
(
0,1,
,8)
r
r
r
rT
C x
y
r
,
∴
7
7
7
8
8
8
T
C xy
xy
,
6
2
6
2
6
7
8
28
T
C x y
x y
∴
8
(
)(
)
x
y x
y
的展开式中
2
7
x y 的项为
7
2
6
2
7
8
28
20
x
xy
y
x y
x y
,故系数为20．
19．(2014 高考数学大纲理科·第13 题)
的展开式中
的系数为 ．
【答案】70
解析：根据二项展开式可得展开式的通项为
，
令
，所以
，所求的系数为
．
20 ．(2014 高考数学安徽理科· 第13 题) 设
，
是大于
的自然数，
的展开式为
．若点
(
)的位置如图所示，则
．
【答案】3
解析：根据点A1和A2可得
，解之得{a=3¿¿¿¿．
21．(2015 高考数学重庆理科·第12 题)
的展开式中
的系数是________(用数字作答)．
【答案】
解析：二项展开式通项为
，令
，解得
，因
此
的系数为
．
22．(2015 高考数学新课标2 理科·第15 题)
的展开式中
的奇数次幂项的系数之和为32，
则
__________．
【答案】
分析：由已知得
，故
的展开式中x 的奇数次幂项分别
为
，
，
，
，
，其系数之和为
，解得
．
23．(2015 高考数学天津理科·第12 题)在
6
1
4
x
x
的展开式中，
2x 的系数为 ．
【答案】
15
16
解析：
6
1
4
x
x
展开式的通项为
6
6 2
1
6
6
1
1
4
4
r
r
r
r
r
r
rT
C x
C x
x
，由6
2
2
r
得
2
r
，
所以
2
2
2
2
3
6
1
15
4
16
T
C x
x
，所以该项系数为
15
16 ．
24．(2015 高考数学四川理科·第11 题)在
的展开式中，含
的项的系数是________(用数字填
写答案)
【答案】
．
解析：
，所以
的系数为
．
25．(2015 高考数学上海理科·第11 题) 在
的展开式中，
项的系数为 ．(结果
用数值表示)
【答案】
解析：在
中要得到
项的系数，肯定不能含有
项，
故只有
，而对于
，
项的系数为
．
26．(2015 高考数学广东理科·第9 题)在(√x−1)4
的展开式中，x 的系数为 ．
【答案】6
解析：由题可知
，令
解得
，所以展开式中
的
系数为
，故应填入6 ．
27．(2015 高考数学福建理科·第11 题)
的展开式中，
的系数等于 ．(用数字作
答)
【答案】
解析：
的展开式中
项为
，所以
的系数等于
．
28．(2015 高考数学北京理科·第9 题)在
的展开式中，
的系数为 ．(用数字作答)
【答案】40
解析：利用通项公式，
，令
，得出
的系数为
．
29．(2015 高考数学安徽理科·第11 题)
的展开式中
的系数是 ．(用数字填写答案)
【答案】
解析：由题意，二项式
展开的通项
，令
，得
，则
的系数是
．
30
．
(2017
年
高
考
数
学
浙
江
文
理
科
·
第
13
题
)
已
知
多
项
式
3
2
5
4
3
2
1
2
3
4
5
(
1) (
2)
x
x
x
a x
a x
a x
a x
a
,则
4a _____,
5a _______．
【答案】16,2
【解析】
3
2
3
2
2
(
1) (
2)
(
3
3
1)(
4
4)
x
x
x
x
x
x
x
,所以
4
12
4
16
a
,
5
4
a
．
31．(2017 年高考数学山东理科·第11 题)已知
1
3
n
x
的展开式中含有
2x
项的系数是
54
,则
n
__________．
【答案】4
【解析】
1
C
3
C
3
r
r
r
r
r
r
n
n
T
x
x
,令
2
r
得:
2
2
C
3
54
n
,解得
4
n
．
32．(2016 高考数学天津理科·第10 题)
的展开式中
的系数为_____________．(用数字作答)
【答案】
解析：因为
所以
，所以展开式中
的系数
为
33．(2016 高考数学上海理科·第8 题)在
的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常
数项等于_________．
【答案】112
解析：因为二项式所有项的二项系数之和为
，所以
，所以
，二项式展开式的通项为
，令
，得
，所以
．
34．(2016 高考数学山东理科·第12 题)若
的展开式中
的系数是
，则实数
_______．
【答案】
【解析】因为
所以由
，因此
35．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第14 题)
的展开式中，
的系数是 ．(用数字填
写答案)
【答案】10
【解析】设展开式的第
项为
，
∴
．
当
时，
，即
．故答案为10．
36．(2016 高考数学北京理科·第10 题)在
的展开式中，
的系数为__________________．(用
数字作答)
【答案】
解析：由二项式定理得含
的项为
．
二、多选题
1．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第12 题)设正整数
，其中
，
记
．则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
解析: 对于A 选项，
，
，所以，
，A 选项正确；
对于B 选项，取
，
，
，而
，则
，
即
，B 选项错误；
对于C 选项，
，
所以，
，
，
所以，
，因此，
，C 选项正确；
对于D 选项，
，故
，D 选项正确．
故选ACD．
题型三：简单的随机抽样
1．(2014 高考数学天津理科·第9 题)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分
层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为
的样本进行调查．已知该校一年级、二
年级、三年级、四年级的本科生人数之比为
,则应从一年级本科生中抽取_________名学生．
【答案】
解析:设应从一年级本科生中抽取
名,则
,解得
．
2．(2017 年高考数学江苏文理科·第3 题)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为
200,400,300,100 件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检
验,则应从丙种型号的产品中抽取____________件．
【答案】 18
解析:所求人数为
300
60
18
10000
,故答案为18．
题型四：用样本数字特征估计总体
1．(2020 江苏高考·第3 题)已知一组数据
的平均数为4，则
的值是_____．
【答案】2
【解析】
数据
的平均数为4,
，即
．故答案为：2．
2．(2019·全国Ⅱ·理·第13 题)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有
个车次的正点率为
，有
个车次的正点率为
，有
个车次的正点率为
，则经停该
站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
【答案】
.
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为
，其中高
铁个数为
，所以该站所有高铁平均正点率约为
．
【点评】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．本题考点为概率
统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值
不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
3．(2019·江苏·第5 题)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .
【答案】
【解析】由
所以
．
4．(2018 年高考数学江苏卷·第3 题)已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5
位裁判打出的分数的平均数为________．
【答案】90
解析：由茎叶图可知，5 位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为所求人数为
．
5．(2014 高考数学江苏·第6 题) 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周
长(单位cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，
有 株树木的底部周长小于100cm．
【答案】24
解析：由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0．015+0．025)
10
60=24．
6．(2015 高考数学湖南理科·第12 题)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如
图所示，若将运动员按成绩由好到差编为
号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在
区间
上的运动员人数是 ．
【答案】4 ．
解析：由茎叶图可知，在区间[139,151]的人数为20 ，再由系统抽样的性质可知人数为
20× 7
35 =4
人．
7．(2015 高考数学江苏文理·第2 题)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，那么这组数据的平均数为_______．
【答案】6
解析：
8．(2016 高考数学上海理科·第4 题)某次体检，6 位同学的身高(单位：米)分别为
，
，
，
，
，
则这组数据的中位数是_________(米)．
【答案】
解析：将这6 位同学的身高按照从低到高排列为：
，
，
，
，
，这六个数的中
位数是
与
的平均数，显然为
．
9．(2016 高考数学江苏文理科·第4 题)已知一组数据4．7，4．8，5．1，5．4，5．5，则该组数据的方
差是 ．
【答案】
．
解析：
，
．
二、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第9 题)有一组样本数据
，其中
是最小值，
是最大值，则
( )
A．
的平均数等于
的平均数
（第6 题）
底部周长/cm
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
130
120
110
90
80
100
频率
组距
B．
的中位数等于
的中位数
C．
的标准差不小于
的标准差
D．
的极差不大于
的极差
【答案】BD
解析：对于选项A：设
的平均数为
，
的平均数为
，
则
，
因为没有确定
的大小关系，所以无法判断
的大小，
例如：
，可得
；
例如
，可得
；
例如
，可得
；故A 错误；
对于选项B：不妨设
，
可知
的中位数等于
的中位数均为
，故B 正确；
对于选项C：因为
是最小值，
是最大值，
则
的波动性不大于
的波动性，即
的标准差不大于
的
标准差，
例如：
，则平均数
，
标准差
，
，则平均数
，
标准差
，
显然
，即
；故C 错误；
对于选项D：不妨设
，
则
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；
故选：BD．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第9 题)有一组样本数据
，
，…，
，由这组数据得到新样本数据
，
，
…，
，其中
(
为非零常数，则
( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据
样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样数据的样本极差相同
【答案】CD
解析:A：
且
，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为
，则第二组的中位数为
，显然不相同，错误；
C：
，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为
，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；
故选CD．
3．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第9 题)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，
下面是某地连续11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
( )
A．这11 天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3 天至第11 天复工复产指数均超过80%;
D．第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
解析：由图可知，第1 天到第2 天复工指数减少，第7 天到第8 天复工指数减少，第10 天到第11 复
工指数减少，第8 天到第9 天复产指数减少，故A 错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11 天的复产指标与复工指标的差，所以这11 天
期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误;
由图可知，第3 天至第11 天复工复产指数均超过80%，故C 正确;
由图可知，第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;
题型五：相关关系与回归分析
题型六：独立性检验
题型七：事件与概率
1．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第13 题)从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、
乙都入选的概率为____________．
【答案】
解析：从5 名同学中随机选3 名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为
，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
2．(2021 高考天津·第14 题)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，
则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
和
，且每次
活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
____________，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为______________．
【答案】①．
②．
解析：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为
；
则在3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为
．
故答案为：
；
．
3．(2020 天津高考·第13 题)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
和
．假定两球是否落入盒子互不
影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
_________．
【答案】 (1)．
(2)．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为
，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子
概率为
，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为
，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
．故答案为：
；
．
4．(2023 年天津卷·第13 题)甲乙丙三个盒子中装有一定数量
黑球和白球，其总数之比为
．这
三个盒子中黑球占总数的比例分别为
．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球
都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】①．
②．
##
解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为
，所以总数为
，
所以甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件
，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件
，
黑球总共有
个，白球共有
个，
所以，
．
故答案为：
；
．
5．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第15 题)从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面
的概率为________．
【答案】
．
【解析】从正方体的
个顶点中任取
个，有
个结果，这
个点在同一个平面的有
个，故所求概率
．
故答案为：
．
6．(2020 江苏高考·第4 题)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5
的概率是_____．
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为
个．
点数和为5 的基本事件有
，
，
，
共4 个．
∴出现向上的点数和为5 的概率为
．故答案为：
．
7．(2019·上海·第10 题)某三位数密码锁，每位数字在
数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率
是_______.
【答案】
【解析】法一：
(分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字)
法二：
(分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同)
8．(2019·江苏·第6 题)从3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学
中至少有1 名女同学的概率是 .
【答案】
【解析】从5 名学生中抽取2 名学生，共有10 种方法，其中不含女生的方法有3 种，因此所求概率为
．
9．(2018 年高考数学江苏卷·第6 题)某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，
则恰好选中2 名女生的概率为 ．
【答案】
解析：从5 名学生中抽取2 名学生，共有10 种方法，其中恰好选中2 名女生的方法有3 种，因此所求
概率为
．
10．(2018 年高考数学上海·第9 题)有编号互不相同的五个砝码，其中5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克
砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是 ．
【答案】
解析：因为9 为奇数．所以拿取砝码的情况有：
①三个砝码中有2 个偶数克(2 克)，一个奇数克(5 克)；
②三个砝码中没有偶数，三个全为奇数克，即5 克、3 克、1 克砝码全部取出．
所以所求概率为
．
11．(2014 高考数学上海理科·第10 题)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随即选择3 天进
行紧急疏散演练，则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是_____________(结果用最简分数表示)．
【答案】
解析:设连续10 天依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,则连续3 天可有1、2、3;2、3、4;3、4、
5;4、5、6;5、6、7;6、7、8;7、8、9;8、9、10 共8 种情况,则
．
12．(2014 高考数学辽宁理科·第14 题)正方形的四个顶点
分别在抛物
线
和
上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的
概率是 ．
1
1
2
1
y
y = x2
y = x2
-1
-1
O
1
D
C
B
A
x
【答案】
解析：∵A(﹣1，﹣1)，B(1，﹣1)，C(1，1)，D(﹣1，1)，
∴正方体的ABCD 的面积S=2×2=4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积
，则由几何槪型的概率公式可得质点
落在图中阴影区域的概率是
．
13．(2014 高考数学江西理科·第13 题)10 件产品中有7 件正品,3 件次品,从中任取4 件,则恰好取到1 件
次品的概率是________．
【答案】
1
2
分析:从10 件产品中任取4 件,共有
4
10
C 种基本事件,恰好取到1 件次品就是取到1 件次品且取到3 件正
品,共有
1
3
3
7
C C ,因此所求概率为
1
3
3
7
4
10
1.
2
C C
C
14．(2014 高考数学广东理科·第11 题)从
中任取七个不同的数，则这七个数的中位
数是6 的概率为
【答案】
．
解析：基本事件
种，包括6 且6 为中位数的，前3 个数从0—5 六个数中选3 个，后三
个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有
种，从而概率为
．本题主要分析准确6 为7 个
数的中位数这个条件就可以很快做出来．
15．(2014 高考数学江苏·第4 题) 从1，2，3，6 这4 个数中一次随机地取2 个数，则所取2 个数的乘积
为6 的概率是 ．
【答案】
解析：从1，2，3，6 这4 个数中任取2 个数共有
种取法，其中乘积为6 的有
和
两种取法，
因此所求概率为
．
16．(2014 高考数学福建理科·第14 题)如图，在边长为的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分
的概率为________．
【答案】
．
解析：由题意，
与
关于
对称，
∴阴影部分的面积为
，
∵边长为
(
为自然对数的底数)的正方形的面积为
，
∴落到阴影部分的概率为
．故答案为：
．
17．(2015 高考数学福建理科·第13 题)如图，点
的坐标为
，点
的坐标为
，函数
，若在矩形
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】
解析：由已知得阴影部分面积为
．所以此点取自阴影部分的概率等于
．
18．(2015 高考数学江苏文理·第5 题)袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球，1 只红球，2 只
黄球．从中一次随机摸出2 只球，则这2 只球颜色不同的概率为_______．
【答案】
解析：从4 只球中一次随机摸出2 只，共有6 种摸法，其中两只球颜色相同的只有1 种，不同的共有5
种，所以其概率为
19．(2017 年高考数学上海(文理科)·第13 题)已知四个函数:①y
x
;②
1
y
x
;③
3
y
x
;④
1
2
y
x
．从中任选2 个,则事件“所选2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________．
【答案】
1
3
【解析】①③、①④的图像有一个公共点,∴概率为
2
4
2
1
3
C
．
20．(2017 年高考数学江苏文理科·第7 题)记函数
2
( )
6
f x
x
x
的定义域为D ．在区间[ 4,5]
上随机
取一个数x ,则x
D
的概率是________．
【答案】
5
9
解析:由
2
6
0
x
x
≥,得2
3
x
≤≤,根据几何概型的概率计算公式得x
D
的概率是
3
( 2)
5
5
( 4)
9
．
21．(2016 高考数学上海理科·第14 题)如图，在平面直角坐标系
中，O 为正八边形
的中
心，
．任取不同的两点
，点
满足
，则点
落在第一象限的概率
是 ．
O
A3
A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
x
y
【答案】
解析：共有
种基本事件，其中使点P 落在第一象限共有
种基本事件，故概率为
．
22．(2016 高考数学山东理科·第14 题)在
上随机地取一个数
，则事件“直线
与圆
相交”发生的概率为 ．
【答案】
【解析】直线
与圆
相交，需满足圆心到直线的距离小于半径，即
,解得
,而
,所以所求概率
．
23．(2016 高考数学江苏文理科·第7 题)将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有
个点
为正方体玩具)先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 ．
【答案】
．
解析：将先后两次点数记为
，则共有
个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10
有
六种，则点数之和小于10 共有30 种，概率为
．
二、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第12 题)在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，收到1
的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的
概率为
．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次
传输是指每个信号重复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即
为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为
1)．
( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为
D．当
时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0
的概率
【答案】ABD
解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的事件是发送1 接收1、发送0 接收0、发送1
接收1 的3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
，A 正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1 的事件，
是发送1 接收1、发送1 接收0、发送1 接收1 的3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
，B 正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1 的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1 和1，1，1 的
事件和，
它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为
，C 错误；
对于D，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0 的概率
，
单次传输发送0，则译码为0 的概率
，而
，
因此
，即
，D 正确．
故选：ABD
题型八：随机变量的分布列
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第16 题)一个盒子里有1 个红1 个绿2 个黄四个相同的球，每次拿一个，
不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为
，则
_______；
______．
【答案】(1)．
(2)．
解析：因为
对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以
，
随机变量
，
，
，
所以
．
2．(2022 年浙江省高考数学试题·第15 题)现有7 张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7
张卡片中随机抽取3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为
，则
__________，
_________．
【答案】 ①．
， ②．
##
解析:从写有数字1,2,2,3,4,5,6 的7 张卡片中任取3 张共有
种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2 的取法有
种，所以
，
由已知可得
的取值有1，2，3，4，
，
，
，
所以
,
故答案为：
，
．
3 ．(2015 高考数学广东理科· 第13 题) 已知随机变量
服从二项分布
．若
，
，则
．
【答案】
解析：依题可得
且
，解得
，故应填入
．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第15 题)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，
该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队
主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1 获胜的概率
是 ．
【答案】
解析：因为甲队以4：1 获胜，故一共进行5 场比赛，且第5 场为甲胜，前面4 场比赛甲输一场，
若第1 场或第2 场输1 场，则
，
若第3 场或第4 场输1 场，则
，
所以甲以4：1 获胜的概率是
．
5．(2021 年高考浙江卷·第15 题)袋中有4 个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红
球数为
，若取出的两个球都是红球的概率为
，一红一黄的概率为
，则
___________，
___________．
【答案】 (1)． 1 (2)．
解析:
，所以
，
, 所以
, 则
．
由于
．故答案为1；
．
6．(2022 新高考全国II 卷·第13 题)．已知随机变量X 服从正态分布
，且
，则
____________．
【答案】
解
析
：
因
为
，
所
以
，
因
此
． 故答案为：
．
7．(2014 高考数学浙江理科·第12 题)随机变量
f(x)=x
3
+3|x−a|(a∈R).的取值为0,1,2，若f ( x ) ，[−1,1] ，则
M(a),m(a)________．
【答案】
解析：
设
则由已知得
，
解得
，
，
所以
．故答案为：
8．(2014 高考数学上海理科·第13 题)某游戏的得分为
，随机变量
表示小白玩该游戏的得分．
若
，则小白得5 分的概率至少为_____________．
【答案】
解析: 设小白得1,2,3,5 分的概率分别为
则
当
时等号成立．
另解：注意到
．要使得得5 分的概率最少，则小白得1,2,3 分的概率为0，设小白
得5 分的概率为
，则
9．(2015 高考数学上海理科·第12 题)赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5 的
卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，
将两张卡片上数字之差的绝对值的1．4 倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量
和
分别表示赌客
在每一局赌博中的赌金与奖金，则
(元)．
【答案】
解析：由题可知，
所以，
和
的分布列分别为：
1
2
3
4
5
，
，即有
．
10．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第13 题)一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一
件，有放回地抽取100 次，表示抽到的二等品件数，则D ．
【答案】1.96
【命题意图】本题考查二项分布概念及其数字特征，意在考查学生的运算求解能力．
【解析】随机变量
100,0.02
B
X
，
1
1.96
D X
np
p
11．(2016 高考数学四川理科·第12 题)同时抛掷两枚质地均匀的两枚硬币，当至少一枚硬币正面向上时，
就说明实验成功，则在
次实验中成功次数
的均值是______．
【答案】
【解析】法一：由题意可知每次实验成功的概率为
，不成功的概率为
，
在
次实验中成功次数
可能的取值为
则
所以在
次实验中成功次数
的分别列为
所以在
次实验中成功次数
的均值(即期望)为
法二：次实验满足二项分分布，所以在
次实验中成功次数
的均值(即期望)为
．
二、多选题
1．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第9 题)下列统计量中，能度量样本
的离散程度的是
( )
A．样本
的标准差
B．样本
的中位数
C．样本
的极差
D．样本
的平均数
【答案】AC
解析:由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的
是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均
数考查的是数据的集中趋势,故选AC．
2．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第12 题)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能
的取值为
，且
，定义X 的信息熵
．
( )
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着
的增大而增大
C．若
，则H(X)随着n 的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y 所有可能的取值为
，且
，则
H(X)≤H(Y)
【答案】AC
解析：对于A 选项，若
，则
，所以
，所以A 选项正确．
对于B 选项，若
，则
，
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
两者相等，所以B 选项错误．
对于C 选项，若
，则
，
则
随着
增大而增大，所以C 选项正确．
对于D 选项，若
，随机变量
的所有可能的取值为
，且
(
)．
．
由于
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，所以D 选项错误． 故选：AC
