十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何多选、填空
目录
题型一：直线的方程..............................................................................1
题型二：圆的方程..................................................................................2
题型三：直线与圆的综合.......................................................................3
题型四：椭圆..........................................................................................4
题型五：双曲线......................................................................................6
题型六：抛物线......................................................................................9
题型七：圆锥曲线的综合应用.............................................................11
题型一：直线的方程
1．(2020 北京高考·第15 题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放
未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量
与时间的关系为
，用
的大
小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时
间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在
这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在
时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在
时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在
这三段时间中，在
的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
2．(2014 高考数学四川理科·第14 题)设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的最大值是 ．
3．(2017 年高考数学上海(文理科)·第16 题)如图,用35 个单位正方形拼成一个矩形,点
1P 、
2P 、
3P 、
4P
以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合
1
2
3
4
{ ,
,
,
}
P P P P
,点P,过P 作直线Pl ,
使得不在
Pl 上的“”的点分布在
Pl 的两侧． 用
1( )
P
D l
和
2( )
P
D l
分别表示
Pl 一侧和另一侧的
“”的点到Pl 的距离之和．若过P 的直线Pl 中有且只有一条满足
1
2
( )
( )
P
P
D l
D l
,则中所有这样
的P 为________．
4．(2016 高考数学上海理科·第10 题)设
，若关于
的方程组
无解，则
的
取值范围是____________．
5．(2016 高考数学上海理科·第3 题)已知平行直线
，则
与
的距离
是_______________．
题型二：圆的方程
一、多选题
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第11 题)已知点
在圆
上，点
、
，则
( )
A．点
到直线
的距离小于
B．点
到直线
的距离大于
C．当
最小时，
D．当
最大时，
二、填空题
1．(2022 新高考全国I 卷·第14 题)写出与圆
和
都相切的一条直线的方
程________________．
2．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第14 题)过四点
中的三点的一个圆的方程为
____________．
3．(2020 江苏高考·第14 题)在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是圆
上的两个动点，满足
，则
面积的最大值是__________．
4．若半径为1 的圆分别与
轴的正半轴和射线
相切，则这个圆的方程为 ．
5．(2014 高考数学陕西理科·第12 题)若圆
的半径为1，其圆心与点
关于直线
对称，则圆
的标准方程为______．
6．(2015 高考数学湖北理科·第14 题)如图，圆
与
轴相切于点
，与
轴正半轴交于两点
(
B 在A 的上方)，且
．
(Ⅰ)圆
的标准方程为 ；
(Ⅱ)过点
任作一条直线与圆
相交于
两点，下列三个结论：
①
； ②
； ③
．
其中正确结论的序号是 ．(写出所有正确结论的序号)
题型三：直线与圆的综合
一、多选题
1．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第11 题)已知直线
与圆
，点
，则下列
说法正确的是
( )
A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C．若点A
圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
二、填空题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第15 题)设直线
，圆
，
，若直线与
，
都相切，则
_______；b=______．
2．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第14 题)若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________．
3．(2022 新高考全国II 卷·第15 题)设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是________．
4．(2021 高考天津·第12 题)若斜率为
的直线与
轴交于点
，与圆
相切于点
，
则
____________．
5．(2020 天津高考·第12 题)已知直线
和圆
相交于
两点．若
，
则
的值为_________．
6．(2019·浙江·第12 题)已知圆
的圆心坐标是
，半径长是
．若直线
与圆
相切于
点
，则
，
．
7．(2018 年高考数学江苏卷·第12 题)在平面直角坐标系
中，A 为直线
上在第一象限内的点，
，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D．若
，则点A 的横坐标为 ．
8．(2018 年高考数学天津(理)·第12 题)已知圆
的圆心为C，直线
( 为
参数)与该圆相交于A，B 两点，则
的面积为 ．
9．(2014 高考数学重庆理科·第14 题)过圆外一点P 作圆的切线
( A 为切点)，再作割线
，
分
别交圆于
，若
，
，
，则
________．
10．(2014 高考数学重庆理科·第13 题)已知直线
与圆心为C 的圆
相
交于
两点，且
为等边三角形，则实数
_________．
11．(2014 高考数学上海理科·第14 题)已知曲线
直线
．若对于点
存
在
上的点
和上的点
使得
,则
的取值范围为________________．
12．(2014 高考数学课标2 理科·第16 题)设点M(
,1)，若在圆O:
上存在点N，使得
∠OMN=45°，则
的取值范围是________．
13．(2014 高考数学湖北理科·第12 题)直线
和
将单位圆DP =BQ =λ(0<λ<2)分成长
度相等的四段弧，则λ=1 ．
14 ．(2014 高考数学江苏· 第9 题) 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2 y−3=0被圆
( x−2)2+( y+1)2=4 截得的弦长为 ．
15．(2014 高考数学大纲理科·第15 题)直线
和
是圆
的两条切线，若
与
的交点为
(1,3)，则
与
的夹角的正切值等于 ．
16．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第16 题)已知直线:
与圆
交于
两点, 过
分别作
的垂线与x 轴交于
两点, 若
, 则
________________.
17．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第15 题)已知直线
与
交于A，B 两
点，写出满足“
面积为
”的m 的一个值______．
题型四：椭圆
一、填空题
1．(2021 年高考浙江卷·第16 题)已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且
轴，则该直线的斜率
是___________，椭圆的离心率是___________．
2．(2021 年高考全国甲卷理科·第15 题)已知
为椭圆C：
的两个焦点，P，Q 为C 上关
于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为________．
3．(2022 新高考全国II 卷·第16 题)已知直线l 与椭圆
在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y
轴分别交于M，N 两点，且
，则l 的方程为___________．
4．(2022 新高考全国I 卷·第16 题)已知椭圆
，C 的上顶点为A，两个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂直于
的直线与C 交于D，E 两点，
，则
的周长是
________________．
5．(2021 高考天津·第18 题)已知椭圆
右焦点为
，上顶点为
，离心率
为
，且
．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点
，与
轴的正半轴交于点
，过
与
垂直的直线交
轴于 点
．若
，求直线的方程．
6．(2019·浙江·第15 题)已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方．若线段
的中点在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则直线
的斜率是 ．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第15 题)设
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一
象限．若
为等腰三角形，则
的坐标为___________．
8．(2018 年高考数学浙江卷·第17 题)已知点
，椭圆
上两点
满足
，则当
时，点
横坐标的绝对值最大．
9．(2014 高考数学辽宁理科·第15 题)已知椭圆C：
，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C
的焦点的对称点分别为A，B，线段MN 的中点在C 上，则
．
10 ．(2014 高考数学江西理科· 第16 题) 过点
(1,1)
M
作斜率为
1
2
的直线与椭圆C :
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交于
,
A B ,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为______
11．(2014 高考数学安徽理科·第14 题)设
分别是椭圆
：
(
)的左、右焦点，过
点
的直线交椭圆
于
两点．若
，
轴，则椭圆
的方程为 ．
12 ．(2016 高考数学江苏文理科· 第10 题) 如图，在平面直角坐标系
中，
是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于
两点，且
，则该椭圆的
离心率是 ．
F
C
B
O
y
x
题型五：双曲线
一、填空题
1．(2023 年北京卷·第12 题)已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
____________．
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第16 题)已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第13 题)已知双曲线
的离心率为2，则该双曲线的渐
近线方程为_______________
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第13 题)已知双曲线
的一条渐近线为
，则C 的焦距为_________．
5．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第15 题)已知F 为双曲线
的右焦点，A 为C 的右
顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________．
6．(2022 高考北京卷·第12 题)已知双曲线
的渐近线方程为
，则
__________．
7．(2022 年浙江省高考数学试题·第16 题)已知双曲线
的左焦点为F，过F 且斜率
为
的直线交双曲线于点
，交双曲线的渐近线于点
且
．若
，则双曲线的离心率是_________．
8．(2020 江苏高考·第6 题)在平面直角坐标系
中，若双曲线
的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率是____．
9．(2020 北京高考·第12 题)已知双曲线
，则
的右焦点的坐标为_________；
的焦点到
其渐近线的距离是_________．
10．(2019·上海·第11 题)已知数列
满足
(
)，
在双曲线
上，
则
_______.
11．(2019·全国Ⅰ·理·第16 题)已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
过
的直线与
的两条渐近线分别交于
两点．若
，
，则
的离心率为
．
12．(2019·江苏·第7 题)在平面直角坐标系
中，若双曲线
经过点
，则该双曲
线的渐近线方程是 .
13．(2018 年高考数学江苏卷·第8 题)在平面直角坐标系
中，若双曲线
的右焦
点
到一条渐近线的距离为
，则其离心率的值是 ．
14．(2018 年高考数学上海·第2 题)双曲线
的渐近线方程为 ．
15 ．(2018 年高考数学北京( 理)· 第14 题) 已知椭圆
，双曲线
．若双曲线
的两条渐近线与椭圆
的四个交点及椭圆
的两个焦点恰为一个正
六边形的顶点，则椭圆
的离心率为__________；双曲线
的离心率为__________．
16．(2014 高考数学浙江理科·第16 题)设直线M (a),m(a) 与双曲线M(a)−m(a)(
0
a
b
)两
条渐近线分别交于点b∈R,，若点[f (x)+b]
2≤4满足x∈[−1,1],则该双曲线的离心率是__________
17．(2014 高考数学北京理科·第11 题)设双曲线C 经过点(2 , 2), 且与BC
具有相同渐进线, 则
C 的方程为 ；
渐进线方程为 ．
18．(2015 高考数学浙江理科·第9 题)双曲线
的焦距是 ，渐近线方程是 ．
19．(2015 高考数学上海理科·第9 题)已知点
和
的横坐标相同，
的纵坐标是
的纵坐标的2 倍，
和
的轨迹分别为双曲线
和
，若
的渐近线方程为
，则
的渐近线方程为
．
20．(2015 高考数学山东理科·第15 题)平面直角坐标系
中，双曲线
的
渐近线与抛物线
交于点
．若
的垂心为
的焦点，则
的离心率为
．
21．(2015 高考数学湖南理科·第13 题)设
是双曲线
：
的一个焦点，若
上存在点
，
使线段
的中点恰为其虚轴的一个端点，则
的离心率为 ．
22．(2015 高考数学北京理科·第10 题)已知双曲线
的一条渐近线为
，则
．
23．(2015 高考数学江苏文理·第12 题)在平面直角坐标系
中，
为双曲线
右支上的一个
动点，若点
到直线
的距离大于
恒成立，则实数
的最大值为_______．
24．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第15 题)已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右顶点为A ,以
A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于
,
M N 两点．若
60
MAN
,则C
的离心率为__________．
25．(2017 年高考数学上海(文理科)·第10 题)设双曲线
2
2
2
1
9
x
y
b
(
0)
b
的焦点为
1F 、
2
F , P 为该双
曲线上的一点,若
1
|
| 5
PF
,
则
2
|
|
PF ________．
26．(2017 年高考数学山东理科·第14 题)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右支
与焦点为F 的抛物线
2
2
0
x
px p
交于
,
A B 两点,若
4
AF
BF
OF
,则该双曲线的渐近线方程为
__________．
27．(2017 年高考数学江苏文理科·第8 题)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线
2
2
1
3
x
y
的右准线与它的
两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是
1
2
,
F F ,则四边形
1
2
F PF Q 的面积是______．
28．(2017 年高考数学北京理科·第9 题)若双曲线
2
2
1
y
x
m
的离心率为3 ,则实数m _________．
29．(2016 高考数学山东理科·第13 题)已知双曲线
：
(
，
)，若矩形
的
四个顶点在
上，
，
的中点为E 的两个焦点，且
，则
的离心率是_______．
30．(2016 高考数学江苏文理科·第3 题)在平面直角坐标系
中，双曲线
的焦距是
．
31．(2016 高考数学北京理科·第13 题)双曲线
的渐近线为正方形
的边
所在的直线，点
为该双曲线的焦点．若正方形
的边长为2，则
_______________．
题型六：抛物线
一、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第10 题)设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则
( )．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
2．(2022 新高考全国II 卷·第10 题)已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直线与C
交于A．B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则
( )
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
3．(2022 新高考全国I 卷·第11 题)已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两点，则
( )
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
二、填空题
1．(2023 年全国乙卷理科·第13 题)已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为
______．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第14 题)已知
为坐标原点，抛物线
：
(
)的焦点为
，
为
上一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
，若
，则
的准线方程为______．
3．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13 题)斜率为
的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于
A，B 两点，则
=________．
4．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14 题)斜率为
直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交
于A，B 两点，则
=________．
5．(2021 高考北京·第12 题)已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，
垂直
轴与于点
．若
，则点
的横坐标为_______；
的面积为_______．
6．(2019·上海·第9 题)过
的焦点
并垂直于
轴的直线分别与
交于
，
在
上方，
为抛物线上一点，
，则
______.
7．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第16 题)已知点
和抛物线
，过
的焦点且斜率
为
的直线与
交于
两点，若
，则
．
8．(2014 高考数学上海理科·第3 题)若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则抛
物线的准线方程为___．
9．(2014 高考数学湖南理科·第15 题)如下图,正方形
和正方形
的边长分别为
,
原点
为
的中点,抛物线
经过
两点,则
_________．
10．(2015 高考数学上海理科·第5 题)抛物线
上的动点
到焦点的距离的最小值为1，则
．
11．(2015 高考数学陕西理科·第14 题)若抛物线
的准线经过双曲线
的一个
焦点，则
．
12．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16 题)已知F是抛物线C:
2
8
y
x
的焦点，是C 上一点，
F的延长线交y 轴于点．若为F的中点，则F ．
13．(2016 高考数学浙江理科·第9 题)若抛物线
上的点
到焦点的距离为10，则
到
轴的距
离是 ．
14．(2016 高考数学天津理科·第14 题)设抛物线
( 为参数，
)的焦点
，准线为．过
抛物线上一点
作的垂线，垂足为
．设
与
相交于点
．若
，且
的面积为
，则
的值为_____________．
题型七：圆锥曲线的综合应用
一、多选题
1.（2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第9 题)已知曲线
．
( )
A．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则C 是圆，其半径为
C．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C 是两条直线
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第10 题)已知曲线
．
( )
A．若m>n>0，则C
椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则C 是圆，其半径为
C．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C 是两条直线
二、填空题
1．(2023 年天津卷·第12 题)过原点的一条直线与圆
相切，交曲线
于点
，若
，则
的值为_________．
2．(2015 高考数学新课标1 理科·第14 题)一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在
轴的正半
轴上，则该圆的标准方程为 。
3．(2016 高考数学四川理科·第15 题)在平面直角坐标系中，当
不是原点时，定义
的“伴随
点”为
，当
是原点时，定义“伴随点”为它自身，平面曲线
上所有点的
“伴随点”所构成的曲线的
“伴随曲线”，现有下列命题：
(1)若点
的“伴随点”是点
，则点
的“伴随点”是点
；
(2)单元圆的“伴随曲线”是它本身；
(3)若曲线
关于
轴对称，则他们的“伴随曲线”关于
轴对称；
(4)一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是 ．
