十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何多选、填空
目录
题型一：直线的方程..............................................................................1
题型二：圆的方程..................................................................................4
题型三：直线与圆的综合.......................................................................8
题型四：椭圆........................................................................................13
题型五：双曲线....................................................................................23
题型六：抛物线....................................................................................34
题型七：圆锥曲线的综合应用.............................................................43
题型一：直线的方程
1．(2020 北京高考·第15 题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放
未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量
与时间的关系为
，用
的大
小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时
间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在
这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在
时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在
时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在
这三段时间中，在
的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】
表示区间端点连线斜率的负数，
在
这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能
力比乙企业强；①正确；
甲企业在
这三段时间中，甲企业在
这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在
的污水治理能力最强．④错误；
在
时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比
乙企业强；②正确；
在
时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：
①②③
2．(2014 高考数学四川理科·第14 题)设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的最大值是 ．
【答案】
解析：
，
，因为
，所以
故
(当且仅当
时取“
”)
3．(2017 年高考数学上海(文理科)·第16 题)如图,用35 个单位正方形拼成一个矩形,点
1P 、
2P 、
3P 、
4P
以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合
1
2
3
4
{ ,
,
,
}
P P P P
,点P,过P 作直线Pl ,
使得不在
Pl 上的“”的点分布在
Pl 的两侧． 用
1( )
P
D l
和
2( )
P
D l
分别表示
Pl 一侧和另一侧的
“”的点到Pl 的距离之和．若过P 的直线Pl 中有且只有一条满足
1
2
( )
( )
P
P
D l
D l
,则中所有这样
的P 为________．
【答案】
1P 、
3P ．
【解析】设记为“”的四个点为
, ,
,
A B C D ,线段
,
,
,
AB BC CD DA 的中点分别为
,
,
,
E F G H ,易知
EFGH 为平行四边形,且记点
, ,
,
A B C D 到直线Pl 的距离为( )
h A , ( )
h B , ( )
h C , (
)
h D ,根据题意,四
个点不在Pl 的同侧,那么就有两种可能:
(1)若Pl 的两侧分别有两个点,如图2,点
,
A B 和
,
C D 分别在Pl 的两侧,若( )
( )
( )
(
)
h A
h B
h C
h D
,
则有( )
( )
h E
h G
,即( )
h E 和( )
h G 所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线
Pl 必过EG 的中点．
若点
,
A C 和
,
B D 分别在直线Pl 的两侧,同理可知直线Pl 必过FH 的中点．
于是,直线Pl 必过平行四边形EFGH 的对角线的交点M ．
(2) 若
Pl 的一侧有三个点, 另一侧有一个点, 如图3, 点
, ,
B A D 和C 分别在
Pl 的两侧, 若
( )
( )
(
)
( )
h A
h B
h D
h C
,
即
( )
(
)
( )
( )
h A
h D
h C
h B
,
由
平
面
几
何
知
识
有
,
( )
(
)
2 (
)
h A
h D
h H
,且( )
( )
2 ( )
h C
h B
h F
,则有(
)
( )
h H
h F
,即(
)
h H 和( )
h F 所在的线段平
行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线Pl 必过FH 的中点．
若点
,
,
A D C 和B 分别在直线Pl 的两侧,同理可知直线Pl 必过EG 的中点．
于是,直线Pl 必过平行四边形EFGH 的对角线的交点M ．
综上,满足已知条件的直线肯定要经过EG 和FH 的交点．
4．(2016 高考数学上海理科·第10 题)设
，若关于
的方程组
无解，则
的
取值范围是____________．
【答案】
解析：将方程组中上面的式子化简得
，代入下面的式子整理得
，方程组无
解应该满足
且
，所以
且
，所以由基本不等式得
，即
的取值范围是
．
5．(2016 高考数学上海理科·第3 题)已知平行直线
，则
与
的距离
是_______________．
【答案】
解析：利用两平行线间距离公式得
．
考点：两平行线间距离公式．
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即
的系数应该分别相同，本题
较为容易，主要考查考生的基本运算能力．
题型二：圆的方程
一、多选题
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第11 题)已知点
在圆
上，点
、
，则
( )
A．点
到直线
的距离小于
B．点
到直线
的距离大于
C．当
最小时，
D．当
最大时，
【答案】ACD
解析:圆
的圆心为
，半径为
，
直线
的方程为
，即
，
圆心
到直线
的距离为
，
所以，点
到直线
的距离的最小值为
，最大值为
，A 选项正确，B 选项
错误；
如下图所示：
当
最大或最小时，
与圆
相切，连接
、
，可知
，
，
，由勾股定理可得
，CD 选项正
确,故选ACD．
二、填空题
1．(2022 新高考全国I 卷·第14 题)写出与圆
和
都相切的一条直线的方
程________________．
【答案】
或
或
解析：圆
的圆心为
，半径为，圆
的圆心
为
，半
径为
，
两圆圆心距为
，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l 时，因为
，所以
，设方程为
O 到l 的距离
，解得
，所以l 的方程为
，
当切线为m 时，设直线方程为
，其中
，
，
由题意
，解得
，
当切线为n 时，易知切线方程为
，
故答案为：
或
或
．
2．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第14 题)过四点
中的三点的一个圆的方程为
____________．
【
答
案
】
或
或
或
；
解析：依题意设圆的方程为
，
若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
；
3．(2020 江苏高考·第14 题)在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是圆
上的两个动点，满足
，则
面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心
到直线
距离为
，则
所以
令
(负值舍去)
当
时，
；当
时，
，因此当
时，
取最大值，即
取最大值为
，
故答案为：
4．若半径为1 的圆分别与
轴的正半轴和射线
相切，则这个圆的方程为 ．
【答案】
解：若半径为1 的圆分别与
轴的正半轴和射线
相切，则圆心在直线y=√3 x 上，且
圆心的横坐标为1，所以纵坐标为√3 ，这个圆的方程为
。
5．(2014 高考数学陕西理科·第12 题)若圆
的半径为1，其圆心与点
关于直线
对称，则圆
的标准方程为______．
【答案】
解析: 点
与点
关于直线
对称,可得
．又圆
的半径为1，所以圆
的标准方程为
．
6．(2015 高考数学湖北理科·第14 题)如图，圆
与
轴相切于点
，与
轴正半轴交于两点
(
B 在A 的上方)，且
．
(Ⅰ)圆
的标准方程为 ；
(Ⅱ)过点
任作一条直线与圆
相交于
两点，下列三个结论：
①
； ②
； ③
．
其中正确结论的序号是 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)①②③
解析：(Ⅰ)依题意，设C(1,r)(r 为圆的半径)，因为|AB |=2，所以r=√12+12=√2，所以圆心
C(1,√2)，故圆的标准方程为( x−1)2+( y−√2)2=2．
(Ⅱ)联立方程组{x=0 ¿ ¿¿¿
，解得{x=0¿¿¿¿
或{x=0¿¿¿¿
，因为B 在A 的上方，
所以A(0,√2−1)，B(0,√2+1)，
令直线MN 的方程为x=0 ，此时M M (0,−1)，N (0,1)，
所以|MA|=√2 ，|MB |=2+√2 ，|NA|=2−√2，|NB |=√2
因为
|NA|
|NB |=2−√2
2
=1−√2
2 ，
|MA|
|MB |= √2
2+√2=√2−1
，所以
．
所以
，
，
正确结论的序号是①②③．
题型三：直线与圆的综合
一、多选题
1．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第11 题)已知直线
与圆
，点
，则下列
说法正确的是
( )
A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C．若点A
圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
【答案】ABD
解析: 圆心
到直线l 的距离
，若点
在圆C 上，则
，所以
，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；
若点
在圆C 内，则
，所以
，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；
若点
在圆C 外，则
，所以
，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；
若点
在直线l 上，则
即
，所以
，直线l 与圆C 相切，
故D 正确．故选：ABD．
二、填空题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第15 题)设直线
，圆
，
，若直线与
，
都相切，则
_______；b=______．
【答案】(1)．
(2)．
解析：由题意，
到直线的距离等于半径，即
，
，
所以
，所以
(舍)或者
，
解得
．
2．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第14 题)若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________．
【答案】
【解析】双曲线
的渐近线为
，即
，
不妨取
，圆
，即
，所以圆心为
，半径
，
依题意圆心
到渐近线
的距离
，
解得
或
(舍去)．
故答案为：
．
3．(2022 新高考全国II 卷·第15 题)设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是________．
【答案】
解析：
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
故答案为：
4．(2021 高考天津·第12 题)若斜率为
的直线与
轴交于点
，与圆
相切于点
，
则
____________．
【答案】
解析：设直线
的方程为
，则点
，
由于直线
与圆
相切，且圆心为
，半径为，
则
，解得
或
，所以
，因为
，故
．
故答案为：
．
5．(2020 天津高考·第12 题)已知直线
和圆
相交于
两点．若
，
则
的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心
到直线
的距离
，
由
可得
，解得
．故答案为：
．
6．(2019·浙江·第12 题)已知圆
的圆心坐标是
，半径长是
．若直线
与圆
相切于
点
，则
，
．
【答案】
，
【解析】由于直线与圆相切，故
，则
，直线
：
代入
可得
，故
．
7．(2018 年高考数学江苏卷·第12 题)在平面直角坐标系
中，A 为直线
上在第一象限内的点，
，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D．若
，则点A 的横坐标为 ．
【答案】3
解析：设
，则圆心
，易得圆C：
，与
联立
解得点D 的横坐标
，所以
．所以
，
，由
得，
，
解得a＝3 或a＝－1，因为a＞0，所以a＝3．
8．(2018 年高考数学天津(理)·第12 题)已知圆
的圆心为C，直线
( 为
参数)与该圆相交于A，B 两点，则
的面积为 ．
【答案】
【基本解法一】：圆
的标准方程为
，圆心为
，半径
，直线的一般式方
程为
，即
，将
代入
，整理得
，解得
或
，所以
，可知
为等腰直角三角形，
，
所以
．
【基本解法二】：圆
的标准方程为
，圆心为
，半径
，直线的一般式方
程为
，圆心
到直线的距离
，
，
所以
x
y
A
B
C
9．(2014 高考数学重庆理科·第14 题)过圆外一点P 作圆的切线
( A 为切点)，再作割线
，
分
别交圆于
，若
，
，
，则
________．
【答案】4
解析：通过弦切角定理找到
∠PAB=∠C ，易得ΔPAB 与ΔPCA 相似，
PA
PC =PB
PA =AB
AC
解得
10．(2014 高考数学重庆理科·第13 题)已知直线
与圆心为C 的圆
相
交于
两点，且
为等边三角形，则实数
_________．
【答案】4±√15
解析：根据直线和圆相交于A，B 两点，C 是圆心，
是等边三角形可知等边三角形边长等于圆C
的半径2，所以C 到直线的距离即为等边三角形AB 边上的高，列出等式
|a+a−2|
√a2+12 =√3
,解得
。
11．(2014 高考数学上海理科·第14 题)已知曲线
直线
．若对于点
存
在
上的点
和上的点
使得
,则
的取值范围为________________．
【答案】
解析:由已知得曲线
为以原点为圆心,2 为半径的左半圆．
为
的中点．
设
,则
．因为
在曲线
上,则
即
．
12．(2014 高考数学课标2 理科·第16 题)设点M(
,1)，若在圆O:
上存在点N，使得
∠OMN=45°，则
的取值范围是________．
【答案】[−1,1]
解析：在坐标系中画出圆O 和直线y=1，其中M(x0,1)在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，
可得x0∈[−1,1]
13．(2014 高考数学湖北理科·第12 题)直线
和
将单位圆DP =BQ =λ(0<λ<2)分成长
度相等的四段弧，则λ=1 ．
【答案】2
解析：由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的
，即
，
，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2．
14 ．(2014 高考数学江苏· 第9 题) 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2 y−3=0被圆
( x−2)2+( y+1)2=4 截得的弦长为 ．
【答案】
解析：圆( x−2)2+( y+1)2=4 的圆心为
，半径为
，点
到直线
的距离为
，所求弦长为
．
15．(2014 高考数学大纲理科·第15 题)直线
和
是圆
的两条切线，若
与
的交点为
(1,3)，则
与
的夹角的正切值等于 ．
【答案】
解析：根据题中条件易判断到直线
的斜率都存在，设过点
的切线方程为
即
，则由圆心
到直线的距离等于半径可得
或
，设两直线的夹角为
，由两直线的夹角计算公式可得
．
16．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第16 题)已知直线:
与圆
交于
两点, 过
分别作
的垂线与x 轴交于
两点, 若
, 则
________________.
【答案】4
【解析】因为
,且圆的半径为
,所以圆心
到直线
的距离为
,则由
,解得
,代入直线的方程,得
,所以
直线的倾斜角为
,由平面几何知识知,在梯形
中,
.
17．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第15 题)已知直线
与
交于A，B 两
点，写出满足“
面积为
”的m 的一个值______．
【答案】
(
中任意一个皆可以)
解析：设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
(
中任意一个皆可以)．
题型四：椭圆
一、填空题
1．(2021 年高考浙江卷·第16 题)已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且
轴，则该直线的斜率
是___________，椭圆的离心率是___________．
【答案】 (1)．
(2)．
解析:
如图所示：不妨假设
，设切点为
，
，
所以
, 由
，所以
，
，于是
，即
，所以
．
故答案为
；
．
2．(2021 年高考全国甲卷理科·第15 题)已知
为椭圆C：
的两个焦点，P，Q 为C 上关
于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为________．
【答案】
解析：因为
为
上关于坐标原点对称的两点，
且
，所以四边形
为矩形，
设
，则
，
所以
，
，即四边形
面积等于
．
故答案：
．
3．(2022 新高考全国II 卷·第16 题)已知直线l 与椭圆
在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y
轴分别交于M，N 两点，且
，则l 的方程为___________．
【答案】
解析：令
的中点为
，因为
，所以
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
所以
，即
，设直线
，
，
，
令
得
，令
得
，即
，
，所以
，
即
，解得
或
(舍去)，
又
，即
，解得
或
(舍去)，
所以直线
，即
；
故答案为：
4．(2022 新高考全国I 卷·第16 题)已知椭圆
，C 的上顶点为A，两个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂直于
的直线与C 交于D，E 两点，
，则
的周长是
________________．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为
，∴
，∴
，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为
，右焦点为
，如图所示，∵
，∴
，∴
为正三角形，∵过
且垂直于
的直线
与C 交于D，E 两点，
为线段
的垂直平分线，∴直线
的斜率为
，斜率倒数为
，
直线
的方程：
，代入椭圆方程
，整理化简得到：
，
判别式
，
∴
，
∴
， 得
，
∵
为线段
的垂直平分线，根据对称性，
，∴
的周长等于
的周长，利用椭圆的定义得到
周长为
故答案
为：13．
5．(2021 高考天津·第18 题)已知椭圆
右焦点为
，上顶点为
，离心率
为
，且
．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点
，与
轴的正半轴交于点
，过
与
垂直的直线交
轴于 点
．若
，求直线的方程．
【答案】(1)
；(2)
．
解析：(1)易知点
、
，故
，
因为椭圆的离心率为
，故
，
，
因此，椭圆的方程为
；
(2)设点
为椭圆
上一点，先证明直线
的方程为
，
联立
，消去
并整理得
，
，
因此，椭圆
在点
处的切线方程为
．
在直线
的方程中，令
，可得
，由题意可知
，即点
，
直线
的斜率为
，所以，直线
的方程为
，
在直线
的方程中，令
，可得
，即点
，
因为
，则
，即
，整理可得
，
所以，
，因为
，
，故
，
，
所以，直线的方程为
，即
．
6．(2019·浙江·第15 题)已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方．若线段
的中点在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则直线
的斜率是 ．
【答案】
【解析】解法一：由题意可知
，又在
中
．由椭圆定义知
．在等腰△
中，
，
，
为
中点，所以
．
x
y
N
M
F1
F
P
O
解法二：应用焦半径公式，由题意可知
，由中位线定理可得
，即
．求得
，所以
．
x
y
M
F1
F
P
O
解法三：联立求点P 坐标，由题意可知
，由中位线定理可得
，设
可得
，与方程
联立，解得
，
(舍)．所以
，
所以
．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第15 题)设
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一
象限．若
为等腰三角形，则
的坐标为___________．
【答案】
【解析】由已知可得
，
．
．
设点
的坐标为
，则
，
又
，解得
，
，解得
(
舍去)，
的坐标为
．
法二、在得出
．
．
，∴
．
∴
，
的坐标为
．
法三、由题知
，又由焦半径公式
，得
，
从而得到
，
的坐标为
．
【点评】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实
了直观想象、逻辑推理等数学素养．
8．(2018 年高考数学浙江卷·第17 题)已知点
，椭圆
上两点
满足
，则当
时，点
横坐标的绝对值最大．
【答案】5
解析：解法1 ：本题的通法为应用圆锥曲线中非对称结构应用韦达定理的模型，设
，
当直线
的斜率不存在时，此时
；
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为：
，联立方程
，
可得
，由题意
，得
，
由韦达定理得：
，
，
由
可得
，
联立后解得：
，
x
y
O
B
A
P
所以
，(当且仅当
时取等号)，
此时
，得
，
经验证
符合题意，所以当
时，点
的横坐标的绝对值最大．
解法2：联立求解，设
，由
，可得
，
由
均在椭圆上可知，
，先消
，得
，
再代入得
，
当
时，
有最大值4，即点
的横坐标的绝对值的最大值为2．
解
法
3
：
三
角
换
元
，
设
，
因
为
，
则
，
所以
，即
，
所以
，即
，
当
时，点
的横坐标的绝对值最大．
解法4：借助常用的椭圆的两斜率之积等于
模型
当直线
的斜率不存在时，此时
；
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为：
，设
，
中点为
，
由
，可得
，由
，
得
，解得
(当且仅当
时取等
号)，
当
时，
代入椭圆方程可得
．
x
y
O
B
A
N
P
9．(2014 高考数学辽宁理科·第15 题)已知椭圆C：
，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C
的焦点的对称点分别为A，B，线段MN 的中点在C 上，则
．
【答案】12
解析：如图：由M 关于C 的焦点的对称点分别为A，B，得
分别是线段MA，MB 的中点，而
MN 的中点为Q，根据中位线定义，易得
，
∵Q 在椭圆C 上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=2×6=12．
解析2：设M，N 的中点坐标为P，
，
，
,
,
,
则
，
，
，
，
,
,
所以
=
，根据椭圆的定义得，
，所以|AN|+|BN|=2×6=12．
10 ．(2014 高考数学江西理科· 第16 题) 过点
(1,1)
M
作斜率为
1
2
的直线与椭圆C :
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交于
,
A B ,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为______
【答案】
2
2
分析: 设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
, 则由
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1,
1,
x
y
x
y
a
b
a
b
两式相减变形得:
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
0,
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
即
2
2
1
2
2
2
0,
a
b
2
2
2
a
b
,从而
2
2
2
2
,
.
2
a
c
e
11．(2014 高考数学安徽理科·第14 题)设
分别是椭圆
：
(
)的左、右焦点，过
点
的直线交椭圆
于
两点．若
，
轴，则椭圆
的方程为 ．
【答案】
解析：不妨设点
在
轴右上方，如图(1)所示，
易知
，由题意，得
，
所以
，
，故
，
代入椭圆方程得，
，
结合
，可求得
，
所以所求的椭圆方程为：
．
12 ．(2016 高考数学江苏文理科· 第10 题) 如图，在平面直角坐标系
中，
是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于
两点，且
，则该椭圆的
离心率是 ．
F
C
B
O
y
x
【答案】
．
解析：由题意得
，直线
与椭圆方程联立可得
，
，由
可
得
，
，
，
则
，由
可得
，则
．
题型五：双曲线
一、填空题
1．(2023 年北京卷·第12 题)已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
____________．
【答案】
解析：令双曲线
的实半轴、虚半轴长分别为
，显然双曲线
的中心为原点，焦点在x 轴上，其
半焦距
，
由双曲线
的离心率为
，得
，解得
，则
，
所以双曲线
的方程为
．
故答案为：
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第16 题)已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
【答案】
解析：方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
(舍去)，
所以
，
，则
，
故
，
所以在
中，
，整理得
，
故
．
方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又点
在
上，则
，整理得
，则
，
所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
(舍去)，故
．
故答案为：
．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第13 题)已知双曲线
的离心率为2，则该双曲线的渐
近线方程为_______________
【答案】
解析:因为双曲线
的离心率为2，所以
，所以
，
所以该双曲线的渐近线方程为
．故答案为
．
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第13 题)已知双曲线
的一条渐近线为
，则C 的焦距为_________．
【答案】4
解析：由渐近线方程
化简得
，即
，同时平方得
，又双曲线中
，故
，解得
(舍去)，
，故焦距
故答案为：4
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键
5．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第15 题)已知F 为双曲线
的右焦点，A 为C 的右
顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________．
【答案】2
【解析】联立
，解得
，所以
．
依题可得，
，
，即
，变形得
，
,
因此，双曲线
的离心率为
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
6．(2022 高考北京卷·第12 题)已知双曲线
的渐近线方程为
，则
__________．
【答案】
解析:对于双曲线
，所以
，即双曲线的标准方程为
，
则
，
，又双曲线
的渐近线方程为
，
所以
，即
，解得
；故答案为：
7．(2022 年浙江省高考数学试题·第16 题)已知双曲线
的左焦点为F，过F 且斜率
为
的直线交双曲线于点
，交双曲线的渐近线于点
且
．若
，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
解析:过
且斜率为
的直线
，渐近线
，
联立
，得
，由
，得
而点
在双曲线上，于是
，解得：
，所以离心率
．
故答案为：
．
8．(2020 江苏高考·第6 题)在平面直角坐标系
中，若双曲线
的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率是____．
【答案】
【解析】双曲线
，故
．由于双曲线的一条渐近线方程为
，即
，所以
，所以双曲线的离心率为
．故答案为：
9．(2020 北京高考·第12 题)已知双曲线
，则
的右焦点的坐标为_________；
的焦点到
其渐近线的距离是_________．
【答案】(1)．
(2)．
【解析】在双曲线
中，
，
，则
，则双曲线
的右焦点坐标为
，
双曲线
的渐近线方程为
，即
，
所以，双曲线
的焦点到其渐近线的距离为
．故答案为：
；
．
10．(2019·上海·第11 题)已知数列
满足
(
)，
在双曲线
上，
则
_______.
【答案】
【解析】法一：由
得：
，∴
，
，利用两点间距离公式求解极限。
法二(极限法)：当
时，
与渐近线平行，
在x 轴投影为1，渐近线倾斜角
满足：
，所以
.
【点评】本题主要考查极限、双曲线的渐近性．
11．(2019·全国Ⅰ·理·第16 题)已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
过
的直线与
的两条渐近线分别交于
两点．若
，
，则
的离心率为
．
【答案】2
解析：注意到
，得到
垂直平分
，则
，由渐近线的对称
性，得
，可得
，所以
，可得离心率
．
A
B
F2
F1
O
12．(2019·江苏·第7 题)在平面直角坐标系
中，若双曲线
经过点
，则该双曲
线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由已知得
，所以
，又
，所以渐近线方程为
.
13．(2018 年高考数学江苏卷·第8 题)在平面直角坐标系
中，若双曲线
的右焦
点
到一条渐近线的距离为
，则其离心率的值是 ．
【答案】2
解析：因为双曲线的焦点
到渐近线
，即
的距离为
，所以
，因此
，
．
14．(2018 年高考数学上海·第2 题)双曲线
的渐近线方程为 ．
【答案】
解析：由题意知：
，所以渐近线方程为
．
15 ．(2018 年高考数学北京( 理)· 第14 题) 已知椭圆
，双曲线
．若双曲线
的两条渐近线与椭圆
的四个交点及椭圆
的两个焦点恰为一个正
六边形的顶点，则椭圆
的离心率为__________；双曲线
的离心率为__________．
【答案】
解析：①如图，连结
1
AF ,由正六边形的性质可知，
为直角三角形，且
，
．所以在
中，
，
所以
．
②由正六边形的性质可知，
，
，又由双曲线的性质可知：
．
16．(2014 高考数学浙江理科·第16 题)设直线M (a),m(a) 与双曲线M(a)−m(a)(
0
a
b
)两
条渐近线分别交于点b∈R,，若点[f (x)+b]
2≤4满足x∈[−1,1],则该双曲线的离心率是__________
【答案】
解析：双曲线
的两条渐近线方程为
则
与直线
联立，可得
,
，
∴
中点坐标为
，
∵点
满足
∴
∴
，
∴
故答案为：
．
17．(2014 高考数学北京理科·第11 题)设双曲线C 经过点(2 , 2), 且与BC
具有相同渐进线, 则
C 的方程为 ；
渐进线方程为 ．
【答案】AB //DE
解析：设双曲线C 的方程为
，将(2，2)代入得
，∴双曲线C 的方程为
．令
得渐近线方程为AB //DE ．
18．(2015 高考数学浙江理科·第9 题)双曲线
的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】2√3 ，
y=±√2
2 x
．
解析：
由题意得：a=√2 ，b=1，c=√a2+b2=√2+1=√3 ，∴焦距为2c=2√3 ，
渐近线方程为
y=±b
a x=±√2
2 x
．
19．(2015 高考数学上海理科·第9 题)已知点
和
的横坐标相同，
的纵坐标是
的纵坐标的2 倍，
和
的轨迹分别为双曲线
和
，若
的渐近线方程为
，则
的渐近线方程为
．
【答案】
解析:设点
和
的坐标为
、
，则有
又因为
的渐近线方程为
，故设
的方程为
，
把
点坐标代入，可得
，令
，
即为曲线
的渐近线方程，即
；
20．(2015 高考数学山东理科·第15 题)平面直角坐标系
中，双曲线
的
渐近线与抛物线
交于点
．若
的垂心为
的焦点，则
的离心率为
．
【答案】
解析：设
所在的直线方程为
,则
所在的直线方程为
,
解方程组
得：
，所以点
的坐标为
,
抛物线的焦点
的坐标为:
．因为
是
的垂心，所以
,
所以，
．
所以，
．
21．(2015 高考数学湖南理科·第13 题)设
是双曲线
：
的一个焦点，若
上存在点
，
使线段
的中点恰为其虚轴的一个端点，则
的离心率为 ．
【答案】√5 ．
分析：根据对称性，不妨设F(c ,0)，短轴端点为(0,b)，从而可知点(−c,2b)在双曲线上，
∴
c2
a2−4 b2
b2 =1⇒e= c
a=√5
．
22．(2015 高考数学北京理科·第10 题)已知双曲线
的一条渐近线为
，则
．
【答案】
解析：双曲线
的渐近线方程为
，
，
,则
考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近
线方程求参数．
23．(2015 高考数学江苏文理·第12 题)在平面直角坐标系
中，
为双曲线
右支上的一个
动点，若点
到直线
的距离大于
恒成立，则实数
的最大值为_______．
【答案】
解析：设
，因为直线
平行于渐近线
，所以点
到直线
的距离恒大于直线
与渐近线
之间距离，因此c 的最大值为直线
与
渐近线
之间距离，为
24．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第15 题)已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右顶点为A ,以
A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于
,
M N 两点．若
60
MAN
,则C
的离心率为__________．
【答案】
2 3
3
【解析】如图所示,作AP
MN
因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于
,
M N 两点,则
,
M N 为双曲线的渐近线
b
y
x
a
上的点,且
( ,0)
A a
, AM
AN
b
, 因为AP
MN
, 所以
30
PAN
,
( ,0)
A a
到直线
b
y
x
a
的距离
2
2
|
|
1
b
AP
b
a
,在Rt PAN
中,
cos
PA
PAN
NA
,代入计算得
2
2
3
a
b
,即
3
a
b
,由
2
2
2
c
a
b
得
2
c
b
,所以
2
2 3
3
3
c
b
e
a
b
．
25．(2017 年高考数学上海(文理科)·第10 题)设双曲线
2
2
2
1
9
x
y
b
(
0)
b
的焦点为
1F 、
2
F , P 为该双
曲线上的一点,若
1
|
| 5
PF
,
则
2
|
|
PF ________．
【答案】11
【解析】
2
2
6
|
| 11
a
PF
．
26．(2017 年高考数学山东理科·第14 题)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右支
与焦点为F 的抛物线
2
2
0
x
px p
交于
,
A B 两点,若
4
AF
BF
OF
,则该双曲线的渐近线方程为
__________．
【答案】
2
2
y
x
【解析】
|
|
|
|
4
2
2
2
A
B
A
B
p
p
p
AF
BF
y
y
y
y
p
．
又
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
2
x
y
a y
pb y
a b
a
b
x
py
,所以
2
2
2
A
B
pb
y
y
p
a
2
a
b
,
所以双曲线的渐近线方程为
2
2
y
x
．
27．(2017 年高考数学江苏文理科·第8 题)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线
2
2
1
3
x
y
的右准线与它的
两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是
1
2
,
F F ,则四边形
1
2
F PF Q 的面积是______．
【答案】 2 3
解析: 右准线方程为
3
3 10
10
10
x
, 渐近线为
3
3
y
x
, 则
3 10
30
(
,
)
10
10
P
,
3 10
30
(
,
)
10
10
Q
,
1(
10,0)
F
,
2( 10,0)
F
,则
30
2 10
2 3
10
S
．
28．(2017 年高考数学北京理科·第9 题)若双曲线
2
2
1
y
x
m
的离心率为3 ,则实数m _________．
【答案】 2
【解析】
2
2
1,
a
b
m
,所以
1
3
1
c
m
a
,解得
2
m
．
29．(2016 高考数学山东理科·第13 题)已知双曲线
：
(
，
)，若矩形
的
四个顶点在
上，
，
的中点为E 的两个焦点，且
，则
的离心率是_______．
【答案】 2
【解析】假设点
在第一象限，点
在第二象限，则
，
，所以
，
，由
，
得离心率
或
(舍去)，所以
的离心率为
2．
30．(2016 高考数学江苏文理科·第3 题)在平面直角坐标系
中，双曲线
的焦距是
．
【答案】
．
解析：
，因此焦距为
．
31．(2016 高考数学北京理科·第13 题)双曲线
的渐近线为正方形
的边
所在的直线，点
为该双曲线的焦点．若正方形
的边长为2，则
_______________．
【答案】2
解析：不妨令
为双曲线的右焦点，
在第一象限，则双曲线图象如图
∵
为正方形，
∴
，
∵直线
是渐近线，方程为
，∴
又∵
∴
．
O
C
B
A
y
x
题型六：抛物线
一、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第10 题)设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则
( )．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
【答案】AC
解析：A 选项：直线
过点
，所以抛物线
的焦点
，
所以
，则A 选项正确，且抛物线
的方程为
．
B 选项：设
，
由
消去
并化简得
，
解得
，所以
，B 选项错误．
C 选项：设
的中点为
，
到直线的距离分别为
，
因为
，
即
到直线的距离等于
的一半，所以以
为直径的圆与直线相切，C 选项正确．
D 选项：直线
，即
，
到直线
的距离为
，
所以三角形
面积为
，
由上述分析可知
，
所以
，
所以三角形
不是等腰三角形，D 选项错误．
故选：AC．
2．(2022 新高考全国II 卷·第10 题)已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直线与C
交于A．B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则
( )
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
【答案】ACD
解析：
对于A，易得
，由
可得点
在
的垂直平分线上，则
点横坐标为
，
代入抛物线可得
，则
，则直线
的斜率为
，A 正
确；
对于B，由斜率为
可得直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
设
，则
，则
，代入抛物线得
，解得
，则
， 则
，B 错误；
对于C，由抛物线定义知：
，C 正确；
对于D，
，则
为
钝角，
又
，则
为钝角，又
，则
，D
正确．
故选：ACD．
3．(2022 新高考全国I 卷·第11 题)已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两点，则
( )
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
【答案】BCD
解析:将点
的代入抛物线方程得
，所以抛物线方程为
，故准线方程为
，A 错误；
，所以直线
的方程为
，
联立
，可得
，解得
，故B 正确；
设过
的直线为，若直线与
轴重合，则直线与抛物线
只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为
，
，
联立
，得
，
所以
，所以
或
，
，
又
，
，
所以
，故C 正确；
因为
，
，
所以
，而
，故D 正确．
故选：BCD
二、填空题
1．(2023 年全国乙卷理科·第13 题)已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为
______．
【答案】
解析：由题意可得：
，则
，抛物线的方程为
，
准线方程为
，点
到
的准线的距离为
．
故答案为：
．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第14 题)已知
为坐标原点，抛物线
：
(
)的焦点为
，
为
上一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
，若
，则
的准线方程为______．
【答案】
解析:不妨设
因为
，所以
的准线方程为
,故答案为
．
3．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13 题)斜率为
的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于
A，B 两点，则
=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为
，∴抛物线
焦点F 坐标为
，
又∵直线AB 过焦点F 且斜率为
，∴直线AB 的方程为：
代入抛物线方程消去y 并化简得
，
解得
，所以
4．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14 题)斜率为
直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交
于A，B 两点，则
=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为
，∴抛物线的焦点F 坐标为
，
又∵直线AB 过焦点F 且斜率为
，∴直线AB 的方程为：
代入抛物线方程消去y 并化简得
，
解法一：解得
所以
解法二：
设
，则
,
过
分别作准线
的垂线，设垂足分别为
如图所示．
故答案为：
5．(2021 高考北京·第12 题)已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，
垂直
轴与于点
．若
，则点
的横坐标为_______；
的面积为_______．
【答案】 ①． 5 ②．
解析：因为抛物线的方程为
，故
且
．
因为
，
，解得
，故
，
所以
，
故答案为：5；
．
6．(2019·上海·第9 题)过
的焦点
并垂直于
轴的直线分别与
交于
，
在
上方，
为抛物线上一点，
，则
______.
【答案】3
【解析】依题意求得：
，
，设M 坐标
有：
，代入
有：
即：
.
【点评】本题主要考查平面向量、抛物线．
7．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第16 题)已知点
和抛物线
，过
的焦点且斜率
为
的直线与
交于
两点，若
，则
．
【答案】
解析：法一：抛物线
的焦点坐标为
，可设直线
，
联立方程
，消去
并整理可得
所以
，由点
在抛物线上，可得
，
所以
，
由
，可得
，所以
所以
即
所以
即
，解得
故所求直线
的斜率
．
法二：抛物线
的焦点
，准线方程为
由依题意可知以
为直径的圆与准线相切于点
，故线段
中点的纵坐标为
设直线
，
联立方程
，消去
并整理可得
则有
，解得
故所求直线
的斜率
．
8．(2014 高考数学上海理科·第3 题)若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则抛
物线的准线方程为___．
【答案】
解析:易知焦点为
,则准线方程为
．
9．(2014 高考数学湖南理科·第15 题)如下图,正方形
和正方形
的边长分别为
,
原点
为
的中点,抛物线
经过
两点,则
_________．
【答案】
解析:由题可得
,则
,故填
．
10．(2015 高考数学上海理科·第5 题)抛物线
上的动点
到焦点的距离的最小值为1，则
．
【答案】
解析：根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点
运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最
小，所以有
．
11．(2015 高考数学陕西理科·第14 题)若抛物线
的准线经过双曲线
的一个
焦点，则
．
【答案】
解析：抛物线
(
)的准线方程是
，双曲线
的一个焦点
，
因为抛物线
(
)的准线经过双曲线
的一个焦点，所以
，解得
，所以答案应填：
．
12．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第16 题)已知F是抛物线C:
2
8
y
x
的焦点，是C 上一点，
F的延长线交y 轴于点．若为F的中点，则F ．
【答案】6
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与
化归思想运算求解的能力
【解析】
2
8
y
x
则
4
p
，焦点为
2
0
F
，
，准线:
2
l x ，如图，M 为F 、N 中点，故易知线段
BM 为梯形AFMC 中位线，∵
2
CN
，
4
AF
，∴
3
MB
，又由定义MB
MF
，且
MN
NF
，∴
6
NF
NM
MF
．
l
F
N
M
C
B
A
O
y
x
13．(2016 高考数学浙江理科·第9 题)若抛物线
上的点
到焦点的距离为10，则
到
轴的距
离是 ．
【答案】
【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与几何性质等知识，考查考生的运算求解能力、转化与化归
能力、数形结合的数学思想．
解析：由于抛物线
的焦点为
，准线为
，设点
的坐标为
，则
，所
以
．故
到
轴的距离是
．
14．(2016 高考数学天津理科·第14 题)设抛物线
( 为参数，
)的焦点
，准线为．过
抛物线上一点
作的垂线，垂足为
．设
与
相交于点
．若
，且
的面积为
，则
的值为_____________．
【答案】
解析：x、y 满足函数
；
，
可得：
易知
，
，故
，∴
F
A
B
C
E
题型七：圆锥曲线的综合应用
一、多选题
1.（2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第9 题)已知曲线
．
( )
A．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则C 是圆，其半径为
C．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C 是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若
，则
可化为
，因为
，所以
，
即曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，故A 正确；
对于B，若
，则
可化为
，此时曲线
表示圆心在原点，半径为
的圆，故B 不正确；
对于C，若
，则
可化为
，此时曲线
表示双曲线，
由
可得
，故C 正确；
对于D，若
，则
可化为
，
，此时曲线
表示平行于
轴的两条直线，故D 正确；
故选：ACD．
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第10 题)已知曲线
．
( )
A．若m>n>0，则C
椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则C 是圆，其半径为
C．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C 是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若
，则
可化为
，
因为
，所以
，
即曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，故A 正确；
对于B，若
，则
可化为
，
此时曲线
表示圆心在原点，半径为
的圆，故B 不正确；
对于C，若
，则
可化为
，
此时曲线
表示双曲线，
由
可得
，故C 正确；
对于D，若
，则
可化为
，
，此时曲线
表示平行于
轴的两条直线，故D 正确；
故选：ACD．
二、填空题
1．(2023 年天津卷·第12 题)过原点的一条直线与圆
相切，交曲线
于点
，若
，则
的值为_________．
【答案】
解析：易知圆
和曲线
关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，
所以
，解得：
，由
解得：
或
，
所以
，解得：
．
当
时，同理可得．
故答案为：
．
2．(2015 高考数学新课标1 理科·第14 题)一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在
轴的正半
轴上，则该圆的标准方程为 。
【答案】
解析：设圆心为(
，0)，则半径为
，则
，解得
，故圆的方程为
．
3．(2016 高考数学四川理科·第15 题)在平面直角坐标系中，当
不是原点时，定义
的“伴随
点”为
，当
是原点时，定义“伴随点”为它自身，平面曲线
上所有点的
“伴随点”所构成的曲线的
“伴随曲线”，现有下列命题：
(1)若点
的“伴随点”是点
，则点
的“伴随点”是点
；
(2)单元圆的“伴随曲线”是它本身；
(3)若曲线
关于
轴对称，则他们的“伴随曲线”关于
轴对称；
(4)一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是 ．
【答案】(2)，(3)
【解析】对于(1)，设
，则
的“伴随点”
，
所以
的“伴随点”为
与
不同，则(1)不对
对于(2)法一：设曲线
：
，的点
，“伴随曲线”上
上的点
则
，所以
，则(2)正确
法二：
上的点
，则
仍在
上，则(2)正确
对于(3)设
的“伴随点”
的“伴随点”
因为
关于
轴对称，故
关于
轴对称，则(3)正确
对于(4)，法一：设
(不过原点)
设原直线方程为
，代入
，
则
，则有
，
所以当
为定值是直线，如
不定值是，不是直线，则(4)错误
法二：设直线为
，取四点
，
则他们的“伴随点”分别为
，
显然第四点不和前三点共线，则(4)错误
综上(2),(3)正确．
