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高中理科数学公式大全(精华
版) 
 
高中数学公式大全 
§01. 集合与简易逻辑 
1. 元素与集合的关系 
U
x
A
x
C A



,
U
x
C A
x
A


. 
2.德摩根公式  


B;
C
A
C
B
A
C
U
U
U





B.
C
A
C
B
A
C
U
U
U



. 
3.包含关系 
4．集合
1
2
{ ,
,
,
}
n
a a
a 的子集个数共有2n 个；真子集有
2n–1 个；非空子集有2n–1 个；非空的真子集有
2n–2 个. 
5.二次函数的解析式的三种形式 
(1)一般式
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a



; 
(2)顶点式
2
( )
(
)
(
0)
f x
a x
h
k a



; 
(3)零点式
1
2
( )
(
)(
)(
0)
f x
a x
x
x
x
a



. 
6.闭区间上的二次函数的最值  
二次函数
)
0
(
)
(
2




a
c
bx
ax
x
f
在闭区间

q
p, 上的最值
只能在
a
b
x
2


处及区间的两端点处取得，具体如
下： 
(1) 当a>0 时，假设


q
p
a
b
x
,
2 


，那么


min
max
max
( )
(
),
( )
( ),
( )
2
b
f x
f
f x
f p
f q
a



； 


q
p
a
b
x
,
2 


，


max
max
( )
( ),
( )
f x
f p
f q

，


min
min
( )
( ),
( )
f x
f p
f q

. 
(2)当
a<0
时，假设


q
p
a
b
x
,
2 


，那么


min
( )
min
( ),
( )
f x
f p
f q

， 


q
p
a
b
x
,
2 


，
那
么


max
( )
max
( ),
( )
f x
f p
f q

，


min
( )
min
( ),
( )
f x
f p
f q

. 
 
7.一元二次方程的实根分布 
依据：假设
( ) ( )
0
f m f n ，那么方程
0
)
(

x
f
在区
间( , )
m n 内至少有一个实根 . 
  设
q
px
x
x
f


2
)
(
，那么 
（1）方程
0
)
(

x
f
在区间
)
,
(

m
内有根的充要条件为
0
)
(

m
f
或
2
4
0
2
p
q
p
m






；
 
〔2〕方程
0
)
(

x
f
在区间( , )
m n 内有根的充要条件为
( ) ( )
0
f m f n 或
2
( )
0
( )
0
4
0
2
f m
f n
p
q
p
m
n












或





0
)
(
0
)
(
n
f
m
f
或





0
)
(
0
)
(
m
f
n
f
； 
〔3〕方程
0
)
(

x
f
在区间(
, )
n

内有根的充要条件为
( )
0
f m 或
2
4
0
2
p
q
p
m






 . 
8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的
条件依据 
(1)在给定区间
)
,
(


的子区间L〔形如


, ，



,


，


,

不同〕上含参数的二次不等式
( , )
0
f x t (t
为参数)恒成立的充要条件是
min
( , )
0(
)
f x t
x
L

. 
(2)在给定区间
)
,
(


的子区间上含参数的
二次不等式
( , )
0
f x t ( t 为参数)恒成立的充要条件
是
( , )
0(
)
man
f x t
x
L

. 
9.真值表        
ｐ ｑ 非
ｐ 
ｐ
或
ｑ 
ｐ
且
ｑ 
 
真 真 假 
真 
真 
真 假 假 
真 
假 
假 真 真 
真 
假 
假 假 真 
假 
假 
  10.常见结论的否认形式 
原结论 
反设词 
原结论 反设词 
是 
不是 
至少有
一个 
一个也没
有 
都是 
不都是 
至多有
一个 
至少有两
个 
大于 
不大于 
至少有
n个 
至
多
有
〔
1
n 〕个 
小于 
不小于 
至多有
n个 
至
少
有
〔
1
n 〕个 
对所有x，
成立 
存在某x，
不成立 
p或q 
p
且
q
 
对任何x，
不成立 
存在某x，
成立 
p且q 
p
或
q
 
    11.四种命题的相互关系 
    原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与
逆否命题互为逆否； 
    逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，
与否命题互为逆否； 
    否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，
与逆否命题互逆； 
    逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，
 
与原命题互为逆否； 
12.充要条件 
〔1〕充分条件：假设p
q
，那么p是q充分条件. 
〔2〕必要条件：假设q
p
，那么p 是q必要
条件. 
〔3〕充要条件：假设p
q
，且q
p
，那么p是
q充要条件. 
注：如果甲是乙的充分条件，那么乙是甲的
必要条件；反之亦然. 
§02. 函数 
16.函数的单调性 
(1)设


2
1
2
1
,
,
x
x
b
a
x
x



那么 


1
2
1
2
(
)
( )
(
)
0
x
x
f x
f x






b
a
x
f
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2
1
2
1
在




上是增
函数； 


1
2
1
2
(
)
( )
(
)
0
x
x
f x
f x






b
a
x
f
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2
1
2
1
在




上是减
函数. 
(2)设函数
)
(x
f
y 
在某个区间内可导，如果
0
)
(

x
f
，那么
)
(x
f
为增函数；如果
0
)
(

x
f
，那么
)
(x
f
为
减函数. 
)
(x
f
和
)
(x
g
都是减函数,那么在公共定义域内,
和函数
)
(
)
(
x
g
x
f

也是减函数; 如果函数
)
(u
f
y 
和
)
(x
g
u 
在其对应的定义域上都是减函数,那么复
合函数
)]
(
[
x
g
f
y 
是增函数. 
18．奇偶函数的图象特征 
 
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象
关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关
于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个
函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函
数． 
)
(x
f
y 
是偶函数，那么
)
(
)
(
a
x
f
a
x
f




；假设函
数
)
(
a
x
f
y


是偶函数，那么
)
(
)
(
a
x
f
a
x
f




. 
)
(x
f
y 
(
R
x ),
)
(
)
(
x
b
f
a
x
f



恒成立, 
那么函数
)
(x
f
的对称轴是函数
2
b
a
x


; 
       两个函数
)
(
a
x
f
y


与
)
(
x
b
f
y


 的图象关于
直线
2
b
a
x


对称. 
21.假设
)
(
)
(
a
x
f
x
f




,那么函数
)
(x
f
y 
的图象
关于点
)
0,
2
(a
对称; 
       假设
)
(
)
(
a
x
f
x
f



,那么函数
)
(x
f
y 
为周期为
a
2 的周期函数. 
22．多项式函数
1
1
0
( )
n
n
n
n
P x
a x
a
x
a





的奇偶性 
多项式函数
( )
P x 是奇函数
( )
P x 的偶次项(即
奇数项)的系数全为零. 
多项式函数
( )
P x 是偶函数
( )
P x 的奇次项(即
偶数项)的系数全为零. 
23.函数
( )
y
f x

的图象的对称性 
(1) 函数
( )
y
f x

的图象关于直线x
a
对称
(
)
(
)
f a
x
f a
x



 
(2
)
( )
f
a
x
f x



. 
(2)函数
( )
y
f x

的图象关于直线
2
a
b
x


对称
(
)
(
)
f a
mx
f b
mx




 
 
(
)
(
)
f a
b
mx
f mx




. 
24.两个函数图象的对称性 
(1)函数
( )
y
f x

与函数
(
)
y
f
x

的图象关于直线
0
x (即y轴)对称. 
(2)函数
(
)
y
f mx
a

与函数
(
)
y
f b
mx


的图象关于
直线
2
a
b
x
m


对称. 
(3)函数
)
(x
f
y 
和
)
(
1 x
f
y


的图象关于直线y=x
对称. 
)
(x
f
y 
的图象右移a、上移b 个单位，得到函
数
b
a
x
f
y



)
(
的图象；假设将曲线
0
)
,
(

y
x
f
的图象右
移a、上移b个单位，得到曲线
0
)
,
(



b
y
a
x
f
的图象. 
26．互为反函数的两个函数的关系 
a
b
f
b
a
f




)
(
)
(
1
. 
28.几个常见的函数方程 
(1)正比例函数
( )
f x
cx
,
(
)
( )
( ),
(1)
f x
y
f x
f y
f
c



. 
(2)指数函数
( )
x
f x
a
,
(
)
( ) ( ),
(1)
0
f x
y
f x f y
f
a



. 
(3)
对
数
函
数
( )
log
a
f x
x

,
(
)
( )
( ),
( )
1(
0,
1)
f xy
f x
f y
f a
a
a




. 
(4)幂函数
( )
f x
x
,
'
(
)
( ) ( ),
(1)
f xy
f x f y
f


. 
(5)余弦函数
( )
cos
f x
x

,正弦函数
( )
sin
g x
x

，
(
)
( ) ( )
( ) ( )
f x
y
f x f y
g x g y



， 
0
( )
(0)
1,lim
1
x
g x
f
x


.  
29.几个函数方程的周期(约定a>0) 
〔1〕
)
(
)
(
a
x
f
x
f


，那么
)
(x
f
的周期T=a； 
〔2〕
0
)
(
)
(



a
x
f
x
f
， 
或
)
0
)
(
(
)
(
1
)
(



x
f
x
f
a
x
f
，或
1
(
)
( )
f x a
f x


( ( )
0)
f x , 
 
30.分数指数幂 
(1)
1
m
n
n
m
a
a

〔
0,
,
a
m n
N 


，且
1
n 〕. 
(2)
1
m
n
m
n
a
a


〔
0,
,
a
m n
N 


，且
1
n 〕. 
31．根式的性质 
〔1〕(
)n
n a
a
. 
〔2〕当n为奇数时，
n
n
a
a
； 
当n为偶数时，
,
0
|
|
,
0
n
n
a a
a
a
a a






. 
32．有理指数幂的运算性质 
(1)
(
0, ,
)
r
s
r s
a
a
a
a
r s
Q





. 
(2)(
)
(
0, ,
)
r
s
rs
a
a
a
r s
Q



. 
(3)(
)
(
0,
0,
)
r
r
r
ab
a b a
b
r
Q



. 
注： 假设a＞0，p 是一个无理数，那么ap
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用. 
log
b
a N
b
a
N



(
0,
1,
0)
a
a
N



. 
34.对数的换底公式  
log
log
log
m
a
m
N
N
a

 (
0
a ,且
1
a ,
0
m ,且
1
m ,
0
N ). 
推论 log
log
m
n
a
a
n
b
b
m

(
0
a , 且
1
a ,
,
0
m n , 且
1
m ,
1
n ,
0
N ). 
35．对数的四那么运算法那么 
假设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么 
(1)log (
)
log
log
a
a
a
MN
M
N


; 
(2) log
log
log
a
a
a
M
M
N
N 

; 
 
(3)log
log
(
)
n
a
a
M
n
M n
R


. 
函数
)
0
)(
(
log
)
(
2




a
c
bx
ax
x
f
m
,记
ac
b
4
2 


.假设
)
(x
f
的定义域为R,那么
0

a
，且
0


;假设
)
(x
f
的值域为
R,那么
0

a
，且
0


.对于
0

a
的情形,需要单独检
验. 
§03. 数 列 
39.数列的同项公式与前n 项的和的关系 
1
1
,
1
,
2
n
n
n
s
n
a
s
s
n







( 数列{ }
na 的前n 项的和为
1
2
n
n
s
a
a
a



). 
40.等差数列的通项公式 
*
1
1
(
1)
(
)
na
a
n
d
dn
a
d n
N







； 
其前n 项和公式为 
2
1
1
(
)
2
2
d n
a
d n



. 
41.等比数列的通项公式 
1
*
1
1
(
)
n
n
n
a
a
a q
q
n
N
q





； 
其前n 项的和公式为 
1
1
(1
) ,
1
1
,
1
n
n
a
q
q
s
q
na q










或
1
1
,
1
1
,
1
n
n
a
a q q
q
s
na q









. 
§04. 三角函数 
44．常见三角不等式 
〔1〕假设
(0,
)
2
x


，那么sin
tan
x
x
x


. 
(2) 假设
(0,
)
2
x


，那么1
sin
cos
2
x
x



. 
(3) | sin
|
| cos
| 1
x
x

. 
45.同角三角函数的根本关系式  
 
2
2
sin
cos
1



，tan=


cos
sin ，tan
1
cot



. 
46.正弦、余弦的诱导公式〔奇变偶不变，
符号看象限〕 
2
1
2
( 1) sin
,
sin(
)
2
( 1)
s ,
n
n
n
co











 
2
1
2
( 1)
s
,
s(
)
2
( 1)
sin
,
n
n
co
n
co











 
47.和角与差角
公式 
sin(
)
sin
cos
cos
sin









; 
cos(
)
cos
cos
sin
sin








; 
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan









. 
2
2
sin(
)sin(
)
sin
sin










(平方正弦公式); 
2
2
cos(
)cos(
)
cos
sin










. 
sin
cos
a
b



=
2
2 sin(
)
a
b




(辅助角所在象限由
点( , )
a b 的象限决定, tan
b
a
 ). 
48.二倍角公式  
sin 2
sin
cos




. 
2
2
2
2
cos 2
cos
sin
2cos
1
1 2sin









. 
2
2tan
tan 2
1
tan




. 
50.三角函数的周期公式  
函数
sin(
)
y
x



，x∈R 及函数
cos(
)
y
x



，x∈
R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
2
T



； 
函数
tan(
)
y
x




，
,
2
x
k
k
Z




(A,ω,为常数，
且A≠0，ω＞0)的周期T


. 
(n 为偶
数) 
(n
为
偶数) 
 
51.正弦定理 
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C



. 
52.余弦定理 
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A



; 
2
2
2
2
cos
b
c
a
ca
B



; 
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C



. 
53.面积定理 
〔1〕
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B



. 
54.三角形内角和定理 
在△ABC 中，有
(
)
A
B
C
C
A
B








 
2
2
2
C
A
B





2
2
2(
)
C
A
B





. 
§05. 平面向量 
设λ、μ为实数，那么 
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; 
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; 
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 
58.向量的数量积的运算律： 
(1) a·b= b·a〔交换律〕; 
(2)〔a〕·b= 〔a·b〕=a·b= a·〔b〕; 
(3)〔a+b〕·c= a·c +b·c. 
59.平面向量根本定理 
如果e
1、e 
2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对
实数λ
1、λ
2，使得a=λ
1e
1+λ
2e
2． 
不共线的向量e
1、e
2叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底． 
 
60．向量平行的坐标表示 
设
a=
1
1
( ,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，且
b
0 ，那么
a b(b 0)
1
2
2
1
0
x y
x y


. 
53. a 与b 的数量积(或内积) 
a·b=|a||b|cosθ． 
61. a·b 的几何意义 
数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方
向上的投影|b|cosθ的乘积． 
(1)设a=
1
1
( ,
)
x y ,b=
2
2
(
,
)
x
y ，那么a+b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y


. 
(2)设a=
1
1
( ,
)
x y ,b=
2
2
(
,
)
x
y ，那么a-b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y


. 
(3)设A
1
1
( ,
)
x y ，B
2
2
(
,
)
x
y ,那么
2
1
2
1
(
,
)
AB
OB
OA
x
x y
y





. 
(4)设a=( , ),
x y
R
，那么a=(
,
)
x
y

. 
(5)设a=
1
1
( ,
)
x y ,b=
2
2
(
,
)
x
y ，那么a·b=
1
2
1
2
(
)
x x
y y

. 
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
x
y
x
y






(a=
1
1
( ,
)
x y ,b=
2
2
(
,
)
x
y ). 
64.平面两点间的距离公式 
,
A B
d =|
|
AB
AB AB


 
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y




(A
1
1
( ,
)
x y ，B
2
2
(
,
)
x
y ). 
65.向量的平行与垂直  
设a=
1
1
( ,
)
x y ,b=
2
2
(
,
)
x
y ，且b 0，那么 
a||b b=λa
1
2
2
1
0
x y
x y


. 
a b(a 0) a·b=0
1
2
1
2
0
x x
y y


. 
67.三角形的重心坐标公式  
△ABC 三个顶点的坐标分别为
1
1
A(x ,y )、
2
2
B(x ,y )、
3
3
C(x ,y ) , 那么△ABC
的重心的坐标是
1
2
3
1
2
3
(
,
)
3
3
x
x
x
y
y
y
G




. 
§06. 不 等 式 
 
71.常用不等式： 
〔1〕,a b
R


2
2
2
a
b
ab


(当且仅当a＝b 时取
“=〞号)． 
〔2〕,a b
R


2
a
b
ab


(当且仅当a＝b 时取
“=〞号)． 
〔3〕
3
3
3
3
(
0,
0,
0).
a
b
c
abc a
b
c






 
〔5〕
b
a
b
a
b
a





. 
72.极值定理 
y
x, 都是正数，那么有 
〔1〕假设积xy是定值p，那么当
y
x 时和
y
x 
有最小值
p
2
； 
〔2〕假设和
y
x 是定值s，那么当
y
x 时积xy有
最大值
2
4
1 s . 
推广 
R
y
x

,
，那么有
xy
y
x
y
x
2
)
(
)
(
2
2




 
〔1〕假设积xy 是定值,那么当
|
|
y
x 
最大
时,
|
|
y
x 最大； 
当
|
|
y
x 最小时,
|
|
y
x 最小. 
〔2〕假设和
|
|
y
x 
是定值,那么当
|
|
y
x 
最大
时,
|
| xy 最小； 
当
|
|
y
x 最小时,
|
| xy 最大. 
73.
一
元
二
次
不
等
式
2
0(
0)
ax
bx
c




或
2
(
0,
4
0)
a
b
ac



，如果a与
2
ax
bx
c


同号，那么其解集在两根之外；如果a 与
2
ax
bx
c

异号，那么其解集在两根之间.简言
之：同号两根之外，异号两根之间. 
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
0(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x







； 
 
1
2
1
2
1
2
,
(
)(
)
0(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x







或
. 
74.含有绝对值的不等式  
当a> 0 时，有 
2
2
x
a
x
a
a
x
a





. 
2
2
x
a
x
a
x
a




或x
a
. 
75.无理不等式 
〔1〕
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
( )
f x
f x
g x
g x
f x
g x










. 
〔2〕
2
( )
0
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
f x
g x
g x
g x
f x
g x















或
. 
〔3〕
2
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
g x
g x
f x
g x










. 
76.指数不等式与对数不等式 
(1)当
1
a 时, 
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x



; 
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x










. 
(2)当0
1
a

时, 
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x



; 
§07. 直线和圆的方程 
77.斜率公式 
2
1
2
1
y
y
k
x
x



〔
1
1
1
(
,
)
P x y 、
2
2
2
(
,
)
P x
y 〕. 
78.直线的五种方程  
〔1〕点斜式
1
1
(
)
y
y
k x
x



(直线l过点
1
1
1
(
,
)
P x y ，且
斜率为k)． 
〔2〕斜截式y
kx
b

(b 为直线l在y 轴上的截
 
距). 
〔3〕两点式
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x





(
1
2
y
y
)(
1
1
1
(
,
)
P x y 、
2
2
2
(
,
)
P x
y 
(
1
2
x
x
)). 
(4)截距式
1
x
y
a
b

( a
b
、分别为直线的横、纵
截距，
0
a
b 
、
) 
〔5〕一般式
0
Ax
By
C


(其中A、B 不同时为
0). 
平行和垂直  
(1)假设
1
1
1
:
l
y
k x
b

，
2
2
2
:
l
y
k x
b

 
①
1
2
1
2
1
2
||
,
l
l
k
k b
b



; 
②
1
2
1
2
1
l
l
k k


. 
(2)假设
1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C


,
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C


,且A1、A2、
B1、B2 都不为零, 
①
1
1
1
1
2
2
2
2
||
A
B
C
l
l
A
B
C



； 
②
1
2
1
2
1
2
0
l
l
A A
B B



； 
83.点到直线的距离  
0
0
2
2
|
|
Ax
By
C
d
A
B




(点
0
0
(
,
)
P x
y ,直线l：
0
Ax
By
C


). 
84.
0
Ax
By
C


或
0
所表示的平面区域 
设直线:
0
l Ax
By
C


，那么
0
Ax
By
C


或
0
所表
示的平面区域是： 
假设
0
B ，当B与Ax
By
C

同号时，表示直线l的
上方的区域；当B与Ax
By
C

异号时，表示直线l的
下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 
假设
0
B ，当A与Ax
By
C

同号时，表示直线l的
右方的区域；当A与Ax
By
C

异号时，表示直线l的
 
左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 
85.
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C




或
0
所表示的平面
区域 
设曲线
1
1
1
2
2
2
:(
)(
)
0
C
A x
B y
C
A x
B y
C




〔
1
2
1
2
0
A A B B 〕，那
么 
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C




或
0
所表示的平面区域
是： 
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C




所表示的平面区域上下
两局部； 
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C




所表示的平面区域上下
两局部. 
86. 圆的四种方程 
〔1〕圆的标准方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r



. 
〔2〕圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F




(
2
2
4
D
E
F


＞0). 
〔3〕圆的参数方程 
cos
sin
x
a
r
y
b
r









. 
〔
4
〕
圆
的
直
径
式
方
程
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y





(圆的直径的端点是
1
1
(
,
)
A x y 、
2
2
(
,
)
B x
y ). 
87. 圆系方程 
(1)过点
1
1
(
,
)
A x y ,
2
2
(
,
)
B x
y 的圆系方程是 
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
ax
by
c










,其中
0
ax
by
c


是
直线AB的方程,λ是待定的系数． 
(2)过直线l:
0
Ax
By
C


与圆C:
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





的交点的圆系方程是
2
2
(
)
0
x
y
Dx
Ey
F
Ax
By
C








,
λ是待定的系数． 
 
(3) 过圆
1
C
:
2
2
1
1
1
0
x
y
D x
E y
F





与圆
2
C :
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F





的交点的圆系方程是
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
0
x
y
D x
E y
F
x
y
D x
E y
F










,λ是待定的系
数． 
点
0
0
(
,
)
P x
y 与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x




的位置关系有三
种 
假设
2
2
0
0
(
)
(
)
d
a
x
b
y




，那么 
d
r

点P 在圆外; d
r

点P 在圆上; d
r


点P在圆内. 
直线
0



C
By
Ax
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x




的位置关
系有三种: 
0





相离
r
d
; 
0





相切
r
d
; 
0





相交
r
d
. 
其中
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d




. 
设两圆圆心分别为O
1，O
2，半径分别为r
1，r
2，
d
O
O

2
1
 
条公切线
外离
4
2
1




r
r
d
; 
条公切线
外切
3
2
1




r
r
d
; 
条公切线
相交
2
2
1
2
1






r
r
d
r
r
; 
条公切线
内切
1
2
1




r
r
d
; 
无公切线
内含




2
1
0
r
r
d
. 
(1)圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F




． 
①假设切点
0
0
(
,
)
x
y 在圆上，那么切线只有一
条，其方程是 
0
0
0
0
(
)
(
)
0
2
2
D x
x
E y
y
x x
y y
F






. 
 
当
0
0
(
,
)
x
y 圆外时,
0
0
0
0
(
)
(
)
0
2
2
D x
x
E y
y
x x
y y
F






表
示过两个切点的切点弦方程． 
②过圆外一点的切线方程可设为
0
0
(
)
y
y
k x
x



，再利用相切条件求k，这时必有两
条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． 
③斜率为k 的切线方程可设为y
kx
b

，再
利用相切条件求b，必有两条切线． 
(2)圆
2
2
2
x
y
r

． 
①过圆上的
0
0
0
(
,
)
P x
y
点的切线方程为
2
0
0
x x
y y
r

; 
②斜率为k的圆的切线方程为
2
1
y
kx
r
k



. 
§08. 圆锥曲线方程 
92.椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b



的参数方程是
cos
sin
x
a
y
b







. 
93.椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b



焦半径公式 
)
(
2
1
c
a
x
e
PF


，
)
(
2
2
x
c
a
e
PF


. 
94．椭圆的的内外部 
〔1〕点
0
0
(
,
)
P x
y 在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




的内部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b


. 
〔2〕点
0
0
(
,
)
P x
y 在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




的外部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b


. 
95. 椭圆的切线方程 
(1)椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b



上一点
0
0
(
,
)
P x
y 处的切线
方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b

. 
   〔2〕过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b



外一点
0
0
(
,
)
P x
y 所引两
 
条切线的切点弦方程是 
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b

. 
〔3〕椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b



与直线
0
Ax
By
C


相切的条
件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c

. 
96.双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b



的焦半径公式 
2
1
| (
) |
a
PF
e x
c


，
2
2
| (
) |
a
PF
e
x
c


. 
线的内外部 
(1)点
0
0
(
,
)
P x
y 在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




的内部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b


. 
(2)点
0
0
(
,
)
P x
y 在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




的外部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b


. 
线的方程与渐近线方程的关系 
(1〕假设双曲线方程为
1
2
2
2
2

b
y
a
x
渐近线方
程：
2
2
2
2
0
x
y
a
b



x
a
b
y


. 
    (2)假设渐近线方程为
x
a
b
y



0

b
y
a
x
双曲
线可设为



2
2
2
2
b
y
a
x
. 
    (3)假设双曲线与
1
2
2
2
2

b
y
a
x
有公共渐近线，可
设为



2
2
2
2
b
y
a
x
〔
0


，焦点在x 轴上，
0


，焦点在
y 轴上〕. 
--双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b



与直线
0
Ax
By
C


相切的条
件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c

. 
100. 抛物线
px
y
2
2 
的焦半径公式 
 
抛物线
2
2
(
0)
y
px p

焦半径
0
2
p
CF
x

. 
过焦点弦长
p
x
x
p
x
p
x
CD







2
1
2
1
2
2
. 
101.抛物线
px
y
2
2 
上的动点可设为P
)
,
2
(
2


y
p
y
或
或
)
2,
2
(
2
pt
pt
P
 P( ,
)
x y ，其中 
2
2
y
px

. 
102.二次函数
2
2
2
4
(
)
2
4
b
ac b
y
ax
bx
c
a x
a
a






(
0)
a 
的
图象是抛物线：〔1〕顶点坐标为
2
4
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a


；〔2〕
焦点的坐标为
2
4
1
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a



；〔3〕准线方程是
2
4
1
4
ac
b
y
a



. 
106. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
x
x
y
y




或 
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
(1
)(
)
|
| 1
tan
|
| 1
t
AB
k
x
x
x
x
y
y
co











〔弦
端点A
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
，由方程






0
)
y
,x
(
F
b
kx
y
 消去y 得到
0
2



c
bx
ax
，
0
,为直线AB的倾斜角，k为直线的
斜率〕.  
§09. 立体几何 
109．证明直线与直线的平行的思考途径 
〔1〕转化为判定共面二直线无交点； 
〔2〕转化为二直线同与第三条直线平行； 
〔3〕转化为线面平行； 
〔4〕转化为线面垂直； 
〔5〕转化为面面平行. 
110．证明直线与平面的平行的思考途径 
〔1〕转化为直线与平面无公共点； 
 
〔2〕转化为线线平行； 
〔3〕转化为面面平行. 
111．证明平面与平面平行的思考途径 
〔1〕转化为判定二平面无公共点； 
〔2〕转化为线面平行； 
〔3〕转化为线面垂直. 
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 
〔1〕转化为相交垂直； 
〔2〕转化为线面垂直； 
〔3〕转化为线与另一线的射影垂直； 
〔4〕转化为线与形成射影的斜线垂直. 
113．证明直线与平面垂直的思考途径 
〔1〕转化为该直线与平面内任一直线垂直； 
〔2〕转化为该直线与平面内相交二直线垂
直； 
〔3〕转化为该直线与平面的一条垂线平行； 
〔4〕转化为该直线垂直于另一个平行平面； 
〔5〕转化为该直线与两个垂直平面的交线
垂直. 
114．证明平面与平面的垂直的思考途径 
〔1〕转化为判断二面角是直二面角； 
〔2〕转化为线面垂直. 
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运
算律 
(1)加法交换律：a＋b=b＋a． 
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． 
 
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 
始点相同且不在同一个平面内的三个向量
之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以
公共始点为始点的对角线所表示的向量. 
117.共线向量定理 
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存
在实数λ使a=λb． 
P
A
B
、、
三
点
共
线

||
AP
AB AP
t AB


(1
)
OP
t OA
tOB



. 
||
AB CD AB、CD共线且AB
CD
、
不共线AB
tCD

且
AB
CD
、
不共线. 
向量p 与两个不共线的向量a、b 共面的存
在实数对,x y,使p
ax
by

． 
推论空间一点P 位于平面MAB 内的存在有
序实数对,x y,使MP
xMA
yMB


， 
或对空间任一定点O ，有序实数对
,x y ，使
OP
OM
xMA
yMB



 
如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间
任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，
z，使p＝xa＋yb＋zc． 
推论设O、A、B、C 是不共面的四点，那么
对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，
y，z，使OP
xOA
yOB
zOC



. 
向量AB=a 和轴l，e 是l上与l同方向的单位向
量.作A 点在l上的射影
'A，作B 点在l上的射影
'B ，
那么 
'
'
|
| cos
AB
AB

〈a，e〉=a·e 
 
设a＝
1
2
3
(
,
,
)
a a a ，b＝
1
2
3
( ,
,
)
b b b 那么 
(1)a＋b＝
1
1
2
2
3
3
(
,
,
)
a
b a
b a
b



； 
(2)a－b＝
1
1
2
2
3
3
(
,
,
)
a
b a
b a
b



； 
(3)λa＝
1
2
3
(
,
,
)
a
a
a



 (λ∈R)； 
(4)a·b＝
1 1
2
2
3 3
a b
a b
a b


； 
A
1
1
1
(
,
,
)
x y z ，B
2
2
2
(
,
,
)
x
y
z ，那么 
AB
OB
OA


= 
2
1
2
1
2
1
(
,
,
)
x
x y
y z
z



. 
124．空间的线线平行或垂直 
设
1
1
1
( ,
,
)
a
x y z

，
2
2
2
(
,
,
)
b
x
y
z

，那么 
a b 
(
0)
a
b b




1
2
1
2
1
2
x
x
y
y
z
z











； 
a
b


0
a b



1
2
1
2
1
2
0
x x
y y
z z


. 
125.夹角公式  
设a＝
1
2
3
(
,
,
)
a a a ，b＝
1
2
3
( ,
,
)
b b b ，那么 
cos〈a，b〉=
1 1
2
2
3 3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b






. 
推论 
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2
2
3 3
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)(
)
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b







，此即三维
柯西不等式. 
127．异面直线所成角 
=
1
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
|
|
|
|
|
| |
|
x x
y y
z z
a b
a
b
x
y
z
x
y
z










 
〔其中〔0
90



〕为异面直线a b, 所成角，,a b分
别表示异面直线a b, 的方向向量〕 
128.直线AB与平面所成角 
sin
|
||
|
AB m
arc
AB m



( m为平面的法向量). 
131.二面角
l


的平面角 
 
cos
|
||
|
m n
arc
m n



或
cos
|
||
|
m n
arc
m n



〔m，n为平面，的
法向量〕. 
134.空间两点间的距离公式 
假设A
1
1
1
(
,
,
)
x y z ，B
2
2
2
(
,
,
)
x
y
z ，那么 
,
A B
d =|
|
AB
AB AB


2
2
2
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z






. 
135.点Q到直线l距离 
2
2
1
(|
||
|)
(
)
|
|
h
a b
a b
a



(点P在直线l上，直线l的方向
向量a= PA，向量b= PQ). 
136.异面直线间的距离  
|
|
|
|
CD n
d
n


(
1
2
,l l 是两异面直线，其公垂向量为n，
C
D
、分别是
1
2
,l l 上任一点，d 为
1
2
,l l 间的距离). 
137.点B到平面的距离  
|
|
|
|
AB n
d
n


〔n为平面的法向量，AB是经过面的
一条斜线，A 
〕. 
146.球的半径是R，那么 
其体积
3
4
3
V
R


, 
其外表积
2
4
S
R


． 
   (1)球与长方体的组合体:  
长方体的外接球的直径是长方体的体对角
线长. 
   (2)球与正方体的组合体: 
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 
正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. 
   (3) 球与正四面体的组合体:  
 
棱长为a的正四面体的内切球的半径为
6
12 a,
外接球的半径为
6
4 a. 
148．柱体、锥体的体积 
1
3
V
Sh

柱体
〔S 是柱体的底面积、h是柱体的高〕. 
1
3
V
Sh

锥体
〔S 是锥体的底面积、h是锥体的高〕. 
§10. 排列组合二项定理 
149.分类计数原理〔加法原理〕 
1
2
n
N
m
m
m




. 
150.分步计数原理〔乘法原理〕 
1
2
n
N
m
m
m



. 
151.排列数公式 
m
n
A =
)1
(
)1
(



m
n
n
n

=
！
！
)
(
m
n
n

.( n，m∈N*，且m
n
)． 
注:规定
1
!0 . 
152.排列恒等式 
(1〕
1
(
1)
m
m
n
n
A
n
m
A 



; 
〔2〕
1
m
m
n
n
n
A
A
n
m



; 
〔3〕
1
1
m
m
n
n
A
nA



;  
〔4〕
1
1
n
n
n
n
n
n
nA
A
A




; 
〔5〕
1
1
m
m
m
n
n
n
A
A
mA



. 
153.组合数公式 
m
n
C =
m
n
m
m
A
A
=
m
m
n
n
n








2
1
)1
(
)1
(
=
！
！
！
)
(
m
n
m
n


( n∈N*，m
N
，
且m
n
). 
154.组合数的两个性质 
(1)
m
n
C =
m
n
n
C  ;(2) 
m
n
C +
1

m
n
C =
m
n
C
1
. 
 
注:规定
1
0 
n
C
. 
155.组合恒等式 
〔1〕
1
1
m
m
n
n
n
m
C
C
m




;〔2〕
1
m
m
n
n
n
C
C
n
m



;〔3〕
1
1
m
m
n
n
n
C
C
m



;      
156.排列数与组合数的关系 
m
m
n
n
A
m C

！ . 
161.二项式定理
n
n
n
r
r
n
r
n
n
n
n
n
n
n
n
b
C
b
a
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a













2
2
2
1
1
0
)
(
 ; 
二项展开式的通项公式 
r
r
n
r
n
r
b
a
C
T


1
)
2
1
0
(
n
r
，
，
，

. 
§11、12. 概率与统计 
162.等可能性事件的概率 
( )
m
P A
n
. 
163.互斥事件A，B 分别发生的概率的和 
P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 
164. n个互斥事件分别发生的概率的和 
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…
＋P(An)． 
165.独立事件A，B 同时发生的概率 
P(A·B)= P(A)·P(B). 
166.n 个独立事件同时发生的概率 
 
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…·
 P(An)． 
167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k
 
次的概率 
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 
〔1〕
0(
1,2,
)
iP
i


; 
〔2〕
1
2
1
P
P


. 
169.数学期望 
170.数学期望的性质 
〔1〕
(
)
( )
E a
b
aE
b




. 
〔2〕假设～
( , )
B n p ,那么E
np

. 
(3) 假设
服从几何分布, 且
1
(
)
( , )
k
P
k
g k p
q
p





，那么
1
E
p
.
 
171.方差 
172.标准差 
=

D . 
173.方差的性质 
(1) 

2
D a
b
a D




； 
(2〕假设～
( , )
B n p ，那么
(1
)
D
np
p


. 
(3) 假设服从几何分布,且
1
(
)
( , )
k
P
k
g k p
q
p





，那
么
2
q
D
p

.
 

2
2
D
E
E





. 
175.正态分布密度函数 





2
2
26
1
,
,
2 6
x
f x
e
x





，式中的实数μ，〔>0〕
是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 
178.回归直线方程   
 
y
a
bx

，其中





1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nx y
b
x
x
x
nx
a
y
bx






















. 
179.相关系数  



1
2
2
1
1
(
)
(
)
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y














1
2
2
2
2
1
1
(
)(
)
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x
nx
y
ny











. 
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；
|r|越接近于0，相关程度越小. 
§14. 导 数 
187.
)
(x
f
在
0x 处的导数〔或变化率或微商〕 
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
lim
lim
x x
x
x
f x
x
f x
y
f
x
y
x
x













. 
188.瞬时速度 
0
0
(
)
( )
( )
lim
lim
t
t
s
s t
t
s t
s t
t
t












. 
189.瞬时加速度 
0
0
(
)
( )
( )
lim
lim
t
t
v
v t
t
v t
a
v t
t
t











. 
190.
)
(x
f
在
)
,
(
b
a
的导数 
( )
dy
df
f
x
y
dx
dx





0
0
(
)
( )
lim
lim
x
x
y
f x
x
f x
x
x









. 
191. 函数
)
(x
f
y 
在点
0x 处的导数的几何意义 
函数
)
(x
f
y 
在点
0x 处的导数是曲线
)
(x
f
y 
在
))
(
,
(
0
0
x
f
x
P
处的切线的斜率
)
(
0x
f 
，相应的切线方程是
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y




. 
192.几种常见函数的导数 
(1)
0


C
〔C 为常数〕. 
(2)
'
1
(
)
(
)
n
nx
nx
n
Q



. 
(3)
x
x
cos
)
(sin


. 
 
(4)
x
x
sin
)
(cos



. 
     (5)
x
x
1
)
(ln


；
e
a
x
x
a
log
1
)
(log


. 
(6) 
x
x
e
e

)
(
;
a
a
a
x
x
ln
)
(


. 
〔1〕
'
'
'
(
)
u
v
u
v


. 
〔2〕
'
'
'
(
)
uv
u v
uv


. 
〔3〕
'
'
'
2
( )
(
0)
u
u v
uv v
v
v


. 
194.复合函数的求导法那么   
设函数
( )
u
x


在点x处有导数
'
'( )
xu
x


，函数
)
(u
f
y 
在点x处的对应点U 处有导数
'
'( )
uy
f u

，那么复合函
数
( ( ))
y
f
x


在点x 处有导数，且
'
'
'
x
u
x
y
y
u

，或写作
'
'
'
( ( ))
( )
( )
xf
x
f u
x



. 
196.判别
)
(
0x
f
是极大〔小〕值的方法 
当函数
)
(x
f
在点
0x 处连续时， 
〔1〕如果在
0x 附近的左侧
0
)
(

x
f
，右侧
0
)
(

x
f
，
那么
)
(
0x
f
是极大值； 
〔2〕如果在
0x 附近的左侧
0
)
(

x
f
，右侧
0
)
(

x
f
，
那么
)
(
0x
f
是极小值. 
§15. 复 数 
197.复数的相等 
,
a
bi
c
di
a
c b
d





.〔, , ,
a b c d
R
〕 
198.复数z
a
bi

的模〔或绝对值〕 
|
|
z =|
|
a
bi

=
2
2
a
b

. 
199.复数的四那么运算法那么 
(1)(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i







; 
(2)(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i







; 
(3)(
)(
)
(
)
(
)
a
bi c
di
ac
bd
bc
ad i






; 
 
(4)
2
2
2
2
(
)
(
)
(
0)
ac
bd
bc
ad
a
bi
c
di
i c
di
c
d
c
d











. 
对于任何
1
2
3
,
,
z z
z
C
，有 
交换律:
1
2
2
1
z
z
z
z


. 
结合律:
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)
z
z
z
z
z
z





. 
分配律:
1
2
3
1
2
1
3
(
)
z
z
z
z
z
z
z





 . 
201.复平面上的两点间的距离公式 
2
2
1
2
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
d
z
z
x
x
y
y






〔
1
1
1
z
x
y i


，
2
2
2
z
x
y i


〕. 
    202.向量的垂直  
非零复数
1z
a
bi

，
2z
c
di

对应的向量分别是
1
OZ ，
2
OZ ，那么 
1
2
OZ
OZ


1
2
z
z

的实部为零
2
1
z
z
为纯虚数

2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z



 

2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z




1
2
1
2
|
| |
|
z
z
z
z




0
ac
bd



1
2
z
iz


(λ
为非零实数). 
203.实系数一元二次方程的解   
实系数一元二次方程
2
0
ax
bx
c


， 
①假设
2
4
0
b
ac


,那么
2
1,2
4
2
b
b
ac
x
a



; 
②假设
2
4
0
b
ac


,那么
1
2
2
b
x
x
a


; 
③假设
2
4
0
b
ac


，它在实数集R内没有实数
根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根
2
2
(
4
) (
4
0)
2
b
b
ac i
x
b
ac
a





.