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专题19 排列组合与二项式定理常考小题
目 录
01 二项式定理之特定项、三项式问题.................................................................................................2
02 二项式定理之系数和问题................................................................................................................3
03 二项式定理之系数最值问题............................................................................................................3
04 特殊优先与正难则反策略................................................................................................................4
05 相邻问题与不相邻问题...................................................................................................................4
06 列举法..............................................................................................................................................5
07 定序问题（先选后排）...................................................................................................................5
08 多面手问题......................................................................................................................................6
09 错位排列问题..................................................................................................................................6
10 涂色问题..........................................................................................................................................7
11 分组与分配问题...............................................................................................................................8
12 隔板法..............................................................................................................................................8
13 查字典问题......................................................................................................................................8
14 分解法模型与最短路径问题............................................................................................................9
15 构造法模型和递推模型.................................................................................................................11
16 环排与多排问题.............................................................................................................................11
17 配对型模型....................................................................................................................................12
18 电路图模型....................................................................................................................................12
19 机器人跳动模型.............................................................................................................................13
20 波浪数模型....................................................................................................................................13
01 二项式定理之特定项、三项式问题
1．（2024·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）
的展开式中
的系数为（ ）
A．208
B．
C．217
D．
2．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）若
的展开式中的
的系数为
，则实数
（ ）
A．8
B．7
C．9
D．10
3．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考）若
的展开式中共有
个有理项，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式
，则
（ ）
A．－960
B．960
C．－480
D．480
02 二项式定理之系数和问题
5．（多选题）（2024·广东佛山·高三校考阶段练习）若
，其中
为实数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值为
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知
（
，
且
），其中
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设
，则下列选项正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
03 二项式定理之系数最值问题
10．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知
的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
121，则展开式中系数最大的项为 .（不用计算，写出表达式即可）
11．（2024·全国·高三专题练习）若
的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开
式的第5 项的系数最大，则a 的取值范围为 .
12．（2024·浙江·统考模拟预测）已知
展开式中第三项的二项式系数是10，则
，展
开式中系数的绝对值最大的项是 .
04 特殊优先与正难则反策略
13．（2024·四川成都·高三统考）某校在重阳节当日安排4 位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求
每所敬老院至少安排1 人，则不同的分配方案数是（ ）
A．81
B．72
C．48
D．36
14．（云南省红河州第一中学2024 届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6 名同学被邀请参加一个节目，
要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去
法共有（ ）
A．15 种
B．28 种
C．31 种
D．63 种
15．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只
能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ）
A．65
B．73
C．70
D．60.
16．（2024·湖南长沙·雅礼中学校联考）从正360 边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的
个数为（ ）
A．360
B．630
C．1170
D．840
05 相邻问题与不相邻问题
17．（2024·广西·模拟预测）第19 届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一
组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”
“莲莲”和“宸宸”各2 个，将这6 个吉祥物排成前后两排，每排3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，
则排法种数共有 .（用数字作答）
18．（2024·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5 节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、
体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是
．
19．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130 周年，高二年级派出甲乙丙丁戊
､
､
､
､
5
名老师参加“130 周年办学成果展”活动，活动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相
邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
06 列举法
20．（2024·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．
四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的
有序数组
的个数是（ ）
A．28
B．24
C．20
D．16
21．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母
，
，
各有两个，现将这6 个字母排成一排，若有且
仅有一组字母相邻（如
），则不同的排法共有（ ）种
A．36
B．30
C．24
D．16
22．（2024·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是
一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数
的一种方法．例如：3 可表示为“
”，26 可表示
为“
”．现有6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用
这9 数字表示两位数的个数为
A．13
B．14
C．15
D．16
07 定序问题（先选后排）
23．（2024·全国·高三专题练习）某次演出有5 个节目，若甲、乙、丙3 个节目间的先后顺序已确定，则
不同的排法有（ ）
A．120 种
B．80 种
C．20 种
D．48 种
24．（2024·全国·高二专题练习）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏
一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法
数为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2 个，一堆3 个，现需要全部装
运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是
A．6
B．10
C．12
D．24
08 多面手问题
26．（2024·全国·高三专题练习）我校去年11 月份，高二年级有10 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人
只会唱歌，2 人只会跳舞，其余5 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，
有（ ）种不同的选法．
A．
B．
C．
D．
27．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有5 人只会英语，4 人只会
法语，2 人既会英语又会法语，现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（ ）种不
同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
28．（2024·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之
一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8 名队员中有
3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共
6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
09 错位排列问题
29．（2024·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人
从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
30．（2024·全国·高三专题练习）若5 个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5
张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5 人在箱子里各摸一张，恰有1 人摸到自己写的卡
片的方法数有（ ）
A．20
B．90
C．15
D．45
31．（2023·辽宁鞍山·高二统考期中）5 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有
种不同的站法（ ）
A．42
B．44
C．46
D．48
10 涂色问题
32．（2024·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不
同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A．72
B．96
C．108
D．144
33．（2024·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成
六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂
色方法有（ ）
A．48 种
B．64 种
C．96 种
D．144 种
34．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5 种不同
的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种
颜色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
11 分组与分配问题
35．（2024·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农
业现代化建设，某市准备派6 位乡村振兴指导员到A，B，C，3 地指导工作；每地上午和下午各安排一位
乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到
地，李指导员不安排
在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180 种
B．240 种
C．480 种
D．540 种
36．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）2023 年10 月12 日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海
市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5 个城市举行，线路总长度达958.8 公里，
共有全球18 支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5 名志愿者到A、B 两个路
口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（ ）
A．15
B．30
C．25
D．16
37．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在第19 届杭州亚运会期间，某项目有
四个不间的
服务站，现需要将包含甲在内的5 名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，则
甲志愿者被分到
服务站的不同分法的种数为（ ）
A．80
B．120
C．160
D．60
12 隔板法
38．（2024·全国·高三专题练习）若方程
，其中
，则方程的正整数解的个数为
（ ）
A．10
B．15
C．20
D．30
39．（2024·全国·高三专题练习）
的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共
有（ ）
A．72 项
B．75 项
C．78 项
D．81 项
40．（2024·全国·高三专题练习）学校有6 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至
少1 个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135
B．10
C．75
D．120
13 查字典问题
41．（2024·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）用、、
、、
、这六个数字，组成数字不
重复且大于
，小于
的四位数有（ ）个
A．
B．
C．
D．
42．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）用数字、、
、、
组成没有重复数字的五位数，
其中比
大的偶数共有（ ）
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
43．（2024·广西防城港·高二防城港市高级中学校考）用数字0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位
数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85 个数字为（ ）
A．2301
B．2304
C．2305
D．2310
14 分解法模型与最短路径问题
44．（2024·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段
马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（ ）
A．20 条
B．21 条
C．22 条
D．23 条
45．（2024·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走
法有（ ）
A．6 种
B．8 种
C．9 种
D．10 种
46．（2024·江苏扬州·高二统考）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成
的三面角. 18 世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成
底盘的菱形的所有钝角都是
，所有的锐角都是
. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家
马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，
蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都
表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交
点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第
层（有
条竖直线段）第
通
道（从左向右计）的不同路径数为
. 例如：
，
. 则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
47．（2024·江苏扬州·高二统考）如图，在某城市中，
､
两地之间有整齐的方格形道路网，其中
、
、
、
、
是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网
､
处的甲､乙两人分别要到
､
处，他
们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达
､
处为止. 则下列说法正确
的是（ ）
A．甲从
到达
处的方法有
种
B．甲从
必须经过
到达
处的方法有种
C．甲、乙两人在
处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为
15 构造法模型和递推模型
48．将
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方
格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）
A．33
B．56
C．64
D．78
49．（2024·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过
次
传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．4 种
B．10 种
C．12 种
D．22 种
50．（2024·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1 个格子，在格子中每次可向
前跳1 格或2 格，那么人从格子外跳到第8 个格子的方法种数为
A．8 种
B．13 种
C．21 种
D．34 种
16 环排与多排问题
51．现有8 个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
52．（2024·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七
种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的
此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320 种
B．5040 种
C．20160 种
D．2520 种
53．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙
丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有
位同学，
若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有
种，那么这
位同学围成一个圆时，不同的站法总数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
17 配对型模型
54．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递
A､B､C､D 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲乙丙丁四个地方，全部送错
､
､
､
的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
55．（2024·高二单元测试）箱子里有3 双颜色不同的手套（红蓝黄各1 双），有放回地拿出2 只，记事件
A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
56．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）柜子里有4 双不同的鞋，随机的取两只，则
取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为 ．
57．（2024·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992 年至1995
年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在
戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事.影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激
励我们奋勇前行！该影片于2023 年1 月14 日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇
带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4 张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院
要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有 种．
18 电路图模型
58．（2024·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）如图所示，在A，
间有四个焊接点1，2，3，
4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种.
59．（2024·高二课时练习）如图，在由开关组
与
组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有 种.
60．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A 与B 所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方
法种数是 ．
61．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A 与B 组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个
电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种．
19 机器人跳动模型
62．（2024·北京大兴·高三统考期末）动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳
动，每次可跳动1 个单位或者2 个单位的距离，且每次至少跳动1 个单位的距离.经过3 次跳动后，M 在数
轴上可能位置的个数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
63．（2024·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）如图，由
个边长为1 个单位的小
正方形组成一个大正方形．某机器人从C 点出发，沿若小正方形的边走到D 点，每次可以向右走一个单位
或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段
，那么不同的走法共有 种．
20 波浪数模型
64．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6 棵高矮
不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3 棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
65．（2024·安徽六安·高二六安一中校考）因演出需要，身高互不相等的8 名演员要排成一排成一个“波
浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、
八个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．181
B．109
C．84
D．96
66．（2024·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）因演出需要，身高互不相等的9 名演员要排成一
排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递
减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．379
B．360
C．243
D．217
67．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3 个数字保持递减，后3 个数字保持递
增”（如五位数“43125”，前3 个数字“431”保持递减，后3 个数字“125”保持递增），则称其为“古典
数字”.由1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有 个
