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专题19 排列组合与二项式定理常考小题
目 录
01 二项式定理之特定项、三项式问题.................................................................................................2
02 二项式定理之系数和问题................................................................................................................3
03 二项式定理之系数最值问题............................................................................................................6
04 特殊优先与正难则反策略................................................................................................................8
05 相邻问题与不相邻问题...................................................................................................................9
06 列举法............................................................................................................................................11
07 定序问题（先选后排）.................................................................................................................12
08 多面手问题....................................................................................................................................13
09 错位排列问题.................................................................................................................................15
10 涂色问题........................................................................................................................................16
11 分组与分配问题.............................................................................................................................18
12 隔板法............................................................................................................................................20
13 查字典问题....................................................................................................................................20
14 分解法模型与最短路径问题..........................................................................................................22
15 构造法模型和递推模型.................................................................................................................24
16 环排与多排问题.............................................................................................................................27
17 配对型模型....................................................................................................................................28
18 电路图模型....................................................................................................................................30
19 机器人跳动模型.............................................................................................................................31
20 波浪数模型....................................................................................................................................33
01 二项式定理之特定项、三项式问题
1．（2024·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）
的展开式中
的系数为（ ）
A．208
B．
C．217
D．
【答案】B
【解析】根据二项式定理可得，
的展开式中，含
的项为
.
所以，
的展开式中
的系数为
.
故选：B.
2．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）若
的展开式中的
的系数为
，则实数
（ ）
A．8
B．7
C．9
D．10
【答案】B
【解析】由题意知，
展开式的通项公式为
，
故
的系数为
，
解得
.
故选：B．
3．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考）若
的展开式中共有
个有理项，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
的展开式通项为
，
，
当
时，
为有理项，故
.
故选：C.
4．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式
，则
（ ）
A．－960
B．960
C．－480
D．480
【答案】A
【解析】因为
，所以第8 项为
，
所以
.
故选：A
02 二项式定理之系数和问题
5．（多选题）（2024·广东佛山·高三校考阶段练习）若
，其中
为实数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】令
可得
，A 正确.
，其展开式的第三项是
，所以
，B 不正确.
令
可得
，所以
，D 不正确.
令
可得
，与
相减可得
，C 正确.
故选：AC
6．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值为
【答案】ABD
【解析】A 选项，根据二项展开式的通项，
，A 选项正确；
B 选项，取
代入等式，得到
，B 选项正确；
C 选项，取
代入等式，得到
，
结合B 选项
，
两式相加得
，故C 选项错误；
D 选项，根据二项展开式的通项，
，令
，即
，
解得
，又
，故
，即
最大，D 选项正确.
故选：ABD
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知
（
，
且
），其中
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由二项式定理可得
，则
，
由
得
，由
，得
，则
，
，所以
，
所以
，
，所以
，A 选项正确；
因为
，
，所以在
中，令
，可得
，所以B 选项不正确；
由题可得
，所以
，所以
，所以选项C
正确；
因为
，
，所以在
中，
令
，可得
，
又
，所以
，所以D 选项正确.
故选：ACD.
8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设
，则下列选项正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令
，可得
，故A 正确；
对于B，令
得
，故B 错误；
对于C，令
得
①，
令
得，
②，
由①+②再除以2 可得
，故C 正确；
对于D，令
得
①，
令
得，
②，
-
①②再除以2 可得
，故D 正确．
故选：ACD．
9．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】令
，则
，即
，故A 正确；
令
，则
，
令
，则
，
则
，故B 正确；
，则
，令
，则
，故C 错误；
由
两边求导，
得
，
令
，则
，故D 正确.
故选：ABD.
03 二项式定理之系数最值问题
10．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知
的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
121，则展开式中系数最大的项为 .（不用计算，写出表达式即可）
【答案】
和
【解析】由题意可得，
，所以
，解得
，
的展开式的通项为
令
，解得
，
由于
，所以
或12，
时，
；
时，
，
所以展开式中系数最大的项为
和
.
故答案为：
和
11．（2024·全国·高三专题练习）若
的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开
式的第5 项的系数最大，则a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】因
的展开式中各项的二项式系数之和为256，则
，解得
，
的展开式中第r+1 项的系数为
，
，
而
，则当r 为奇数时，第r+1 项的系数为负，当r 为偶数时，第r+1 项的系数为正，
由仅有展开式的第5 项的系数最大得：
，化简整理得：
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
故答案为：
12．（2024·浙江·统考模拟预测）已知
展开式中第三项的二项式系数是10，则
，展
开式中系数的绝对值最大的项是 .
【答案】 5
【解析】由题意，知
，所以
，
又
，将
依次代入，
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
.
所以系数的绝对值最大的项为
.
故答案为：5；
.
04 特殊优先与正难则反策略
13．（2024·四川成都·高三统考）某校在重阳节当日安排4 位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求
每所敬老院至少安排1 人，则不同的分配方案数是（ ）
A．81
B．72
C．48
D．36
【答案】D
【解析】先将4 位学生分为三组（其中一组2 人，另两组每组各1 人），再分配到三所敬老院，则有
种分配方法，
故选：D．
14．（云南省红河州第一中学2024 届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6 名同学被邀请参加一个节目，
要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去
法共有（ ）
A．15 种
B．28 种
C．31 种
D．63 种
【答案】C
【解析】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2 人，3 人，4 人，5 人，6 人，
所以满足条件的去法数为
种；
若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1 人，2 人，3 人，4 人，则满足条件去法有
种；
故该宿舍同学的去法共有
种．
故选：C.
15．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只
能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ）
A．65
B．73
C．70
D．60.
【答案】A
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方，
则每人有3 种选择，则4 人一共有
种情况，
若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖，
每人有2 种选择方法，则4 人一共有
种情况，
故汉口江滩一定要有人去有
种情况，
故选：A．
16．（2024·湖南长沙·雅礼中学校联考）从正360 边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的
个数为（ ）
A．360
B．630
C．1170
D．840
【答案】B
【解析】从360 的约数中去掉1 和2，其余的约数均可作为正多边形的边数，
设从360 个顶点中选出
个构成正多边形，这样的正多边形有
个，
因此所求的正多边形的个数就是360 的所有约数之和减去360 和180，
考虑到
，
因此所求正多边形的个数为
.
故选：B.
05 相邻问题与不相邻问题
17．（2024·广西·模拟预测）第19 届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一
组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”
“莲莲”和“宸宸”各2 个，将这6 个吉祥物排成前后两排，每排3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，
则排法种数共有 .（用数字作答）
【答案】336
【解析】由题意可分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，
首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，有
种情况，
从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有
种排法，
选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边，
由于属于不同的吉祥物，故有
种排法，
综上，有
种排法；
其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物，
故有
种排法，故共有
种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，
先从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各二选一，有
种选法，
再进行全排列，故有
种排法；
同理后排有
种排法，此时共有
种排法；
因此，共有
种排法，
故答案为：336.
18．（2024·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5 节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、
体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是
．
【答案】
【解析】先排第一节有
种排法，
再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有
种不同排列,
并形成3 个空排艺术、体育两门科目，有
种排法，
故不同的排课方法有
种方法.
故答案为：24.
19．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130 周年，高二年级派出甲乙丙丁戊
､
､
､
､
5
名老师参加“130 周年办学成果展”活动，活动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相
邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
【答案】24
【解析】将丙、丁捆绑排列有
种，再把他们作为整体与戊排成一排有
种，
排完后其中有3 个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有
种，
综上，共有
种排法.
故答案为：
06 列举法
20．（2024·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．
四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的
有序数组
的个数是（ ）
A．28
B．24
C．20
D．16
【答案】A
【解析】显然a，b，c，d 均为不超过5 的自然数，下面进行讨论．
最大数为5 的情况：
①
，此时共有
种情况；
最大数为4 的情况：
②
，此时共有
种情况；
③
，此时共有
种情况．
当最大数为3 时，
，故没有满足题意的情况．
综上，满足条件的有序数组
的个数是
．
故选：A
21．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母
，
，
各有两个，现将这6 个字母排成一排，若有且
仅有一组字母相邻（如
），则不同的排法共有（ ）种
A．36
B．30
C．24
D．16
【答案】A
【解析】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况：
.
当相邻的这组字母为
时，将6 个位置编成1-6 号，
若
在1 号和2 号，则3 号和5 号字母相同，4 号和6 号字母相同，有2 种排法；
若
在2 号和3 号，则1 号和5 号字母相同，4 号和6 号字母相同，有2 种排法；
若
在3 号和4 号，则1 号和2 号字母不相同，5 号和6 号字母不相同，有
种排法；
若
在4 号和5 号，则2 号和6 号字母相同，1 号和3 号字母相同，有2 种排法；
若
在5 号和6 号，则1 号和3 号字母相同，2 号和4 号字母相同，有2 种排法，
即相邻的字母为
时，共有
种排法.
同理，相邻的字母为
时，也都有12 种排法，故共有
种排法.
故选：A.
22．（2024·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是
一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数
的一种方法．例如：3 可表示为“
”，26 可表示
为“
”．现有6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用
这9 数字表示两位数的个数为
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】D
【解析】根据题意，现有6 根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、
3，3、7，7、7；
数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7 中，每组可以表示2 个两位数，则可以表示
个两位数；
数字组合3、3，7、7，每组可以表示1 个两位数，则可以表示
个两位数；
则一共可以表示
个两位数；
故选
．
07 定序问题（先选后排）
23．（2024·全国·高三专题练习）某次演出有5 个节目，若甲、乙、丙3 个节目间的先后顺序已确定，则
不同的排法有（ ）
A．120 种
B．80 种
C．20 种
D．48 种
【答案】C
【解析】在5 个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为
．
故选：C．
24．（2024·全国·高二专题练习）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏
一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法
数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若
盏灯笼任意挂，不同的挂法由
种，
又因为左右两边
盏灯顺序一定，故有
种，
故选：D
25．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2 个，一堆3 个，现需要全部装
运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是
A．6
B．10
C．12
D．24
【答案】B
【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论: 若
先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6 种情况;
若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4 种情况,故共有6+4=10 种情况.
08 多面手问题
26．（2024·全国·高三专题练习）我校去年11 月份，高二年级有10 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人
只会唱歌，2 人只会跳舞，其余5 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，
有（ ）种不同的选法．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可按照只会跳舞的
人中入选的人数分类处理．
第一类
个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5 人中选择3 人来跳舞，接着从剩余的5 人中选
择3 人唱歌，故有
种；
第二类
个只会跳舞的有人入选，有
种，再从从既能唱歌又能跳舞的5 人中选择2 人来跳舞，有
种，
再从剩余的6 人中选择3 人唱歌，有
种，故有
种；
第三类
个只会跳舞的全入选，有
种，再从从既能唱歌又能跳舞的5 人中选择1 人来跳舞，有
种，再
从剩余的7 人中选择3 人唱歌，有
种，有
种，
所以共有
种不同的选法，
故选：A．
27．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有5 人只会英语，4 人只会
法语，2 人既会英语又会法语，现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（ ）种不
同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2 人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2 人既会英语又会法语”不参加，这时有
种；
②“2 人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有
种；
③“2 人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有
种．
综上分析，共可开出
种．
故选：B．
28．（2024·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之
一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8 名队员中有
3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共
6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
【答案】C
【解析】根据题意，设
只会划左桨的3 人，
只会划右桨的3 人，
既会划左桨又会划右桨
的2 人，据此分3 种情况讨论：
①从
中选3 人划左桨，划右桨的在（
）中剩下的人中选取，有
种选法，
②从
中选2 人划左桨，
中选1 人划左桨，划右桨的在（
）中选取，有
种选法，
③从
中选1 人划左桨，
中2 人划左桨，
中3 人划右桨，有
种选法，
则有
种不同的选法．
故选：C．
09 错位排列问题
29．（2024·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人
从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
【答案】B
【解析】解法1：设四人A、B、C、D 写的贺卡分别是a、b、c、d，
当A 拿贺卡b，则B 可拿a、c、d 中的任何一张，即B 拿a，C 拿d，D 拿c，或B 拿c，D 拿a，C 拿
d，或B 拿d，C 拿a，D 拿c，
所以A 拿b 时有三种不同的分配方式；
同理，A 拿c，d 时也各有三种不同的分配方式，
由分类加法计数原理，四张贺卡共有
（种）分配方式；
解法2：让四人A、B、C、D 依次拿一张别人送出的贺卡，
如果A 先拿，有3 种，此时被A 拿走的那张贺卡的人也有3 种不同的取法，
接下来，剩下的两个人都各只有1 种取法，
由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有
（种）．
故选：B.
30．（2024·全国·高三专题练习）若5 个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5
张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5 人在箱子里各摸一张，恰有1 人摸到自己写的卡
片的方法数有（ ）
A．20
B．90
C．15
D．45
【答案】D
【解析】根据题意，分2 步分析：
①先从5 个人里选1 人，恰好摸到自己写的卡片，有
种选法，
②对于剩余的4 人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3 种拿法，被拿了自己卡片
的那个人也有3 种拿法，剩下的2 人拿法唯一，
所以不同的拿卡片的方法有
种.
故选：
.
31．（2023·辽宁鞍山·高二统考期中）5 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有
种不同的站法（ ）
A．42
B．44
C．46
D．48
【答案】B
【解析】由题意，设五人分别为
，重新站队时，可从
开始，其中
有
种不同的选
择，
比如
占据了
的位置，可再由
选取位置，可分为两类，
1 类：
占据了
的位置，则后面的重站，共有
种站法；
2 类：
没有占据
的位置，则
有
种站法，后面的重站，共有种站法，
所以共有
种不同的站法.
故选：B.
10 涂色问题
32．（2024·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不
同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A．72
B．96
C．108
D．144
【答案】B
【解析】设四种颜料为
，
①先涂区域B，有4 中填涂方法，不妨设涂颜色1；
②再涂区域C，有3 中填涂方法，不妨设涂颜色2；
③再涂区域E，有2 中填涂方法，不妨设涂颜色3；
④若区域A 填涂颜色2，则区域D、F 填涂颜色1，4，或4，3，
若区域A 填涂颜色4，则区域D、F 填涂颜色1，3 或4，3，共4 中不同的填涂方法，
综合①②③④，由分步计数原理可得，共有
种不同的填涂法．故选B．
33．（2024·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成
六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂
色方法有（ ）
A．48 种
B．64 种
C．96 种
D．144 种
【答案】C
【解析】根据题意，假设正五角星的区域为
，
，
，
，
，
，如图所示，
先对
区域涂色，有3 种方法，再对
，
，
，
，
这5 个区域进行涂色，
∵
，
，
，
，
这5 个区域都与
相邻，∴每个区域都有2 种涂色方法，
∴共有
种涂色方法．故选C．
34．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5 种不同
的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种
颜色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】所有的涂色方案分3 类：
(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为
；
(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方
法为
；
(3)用到五种颜色，涂色方法为
；
因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是
.
故选：B．
11 分组与分配问题
35．（2024·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农
业现代化建设，某市准备派6 位乡村振兴指导员到A，B，C，3 地指导工作；每地上午和下午各安排一位
乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到
地，李指导员不安排
在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180 种
B．240 种
C．480 种
D．540 种
【答案】B
【解析】李指导员安排在C 地上午时，张指导员有
种安排方案，其余4 位指导员有
种安排方案，则
共有
种安排方案；
李指导员不安排在C 地上午时，李指导员有
种安排方案，张指导员有
种安排方案，其余4 位指导员
有
种安排方案，则共有
种安排方案；
综上，共有96+144=240 种安排方案.
故选：B
36．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）2023 年10 月12 日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海
市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5 个城市举行，线路总长度达958.8 公里，
共有全球18 支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5 名志愿者到A、B 两个路
口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（ ）
A．15
B．30
C．25
D．16
【答案】B
【解析】5 名志愿者分为两组，
当两组人数分别为1 和4 时，此时有
种情况，
当两组人数分别为2 和3 时，此时有
种情况，
综上，不同的安排方案总数为
.
故选：B
37．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在第19 届杭州亚运会期间，某项目有
四个不间的
服务站，现需要将包含甲在内的5 名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，则
甲志愿者被分到
服务站的不同分法的种数为（ ）
A．80
B．120
C．160
D．60
【答案】D
【解析】当
服务站安排两人时，除甲外的其余4 人每人去一个服务站，不同的安排方法有
种，
当
服务站只安排有1 人（甲）时，其余4 人分成3 组（211）再安排到剩余的3 个服务站，不同的安排方
法有
，
所以不同的安排方法有
种.
故选：D.
12 隔板法
38．（2024·全国·高三专题练习）若方程
，其中
，则方程的正整数解的个数为
（ ）
A．10
B．15
C．20
D．30
【答案】A
【解析】因为方程
，其中
，
则
，将其转化为有6 个完全相同的小球，排成一列，
利用挡板法将其分成3 组，第一组小球数目为
；第二组小球数目为
；第三组小球数目为
，
共有
种方法，故方程的正整数解的个数为10，
故选：A.
39．（2024·全国·高三专题练习）
的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共
有（ ）
A．72 项
B．75 项
C．78 项
D．81 项
【答案】C
【解析】由题设，多项式展开式各项形式为
且
，
故问题等价于将2 个隔板和11 个小球分成三组，即
.
故选：C
40．（2024·全国·高三专题练习）学校有6 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至
少1 个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135
B．10
C．75
D．120
【答案】B
【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，
故有
，
故选：B.
13 查字典问题
41．（2024·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）用、、
、、
、这六个数字，组成数字不
重复且大于
，小于
的四位数有（ ）个
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分以下三种情况讨论：
①首位数字为
或
，则后面三个数位上的数随便选择，此时，符合条件的数的个数为
；
②首位数字为
，百位数字不是
，则百位数字可以在、、
、
中随便选择一个，后面两个数位上的
数没有限制，此时，符合条件的数的个数为
；
③首位数字为
，百位数字为
，则符合条件的数有
、
、
、
、
、
、
，
共
个.
综上所述，大于
，小于
的四位数的个数为
.
故选：A.
42．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）用数字、、
、、
组成没有重复数字的五位数，
其中比
大的偶数共有（ ）
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
【答案】D
【解析】分以下两种情况讨论：
①首位数字为
，则个位数从、
、
中选择一个，其余三个数位任意排列，
此时共有
个比
大的偶数；
②首位数字为
，则个位数从、
中选择一个，其余三个数位任意排列，
此时共有
个比
大的偶数.
综上所述，共有
个比
大的偶数.
故选：D.
43．（2024·广西防城港·高二防城港市高级中学校考）用数字0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位
数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85 个数字为（ ）
A．2301
B．2304
C．2305
D．2310
【答案】A
【解析】首位为1 的有
个，前两位为20 的有
个，前两位为21 的有
个，
所以第85 个数字是前两位为23 的最小数，即为2301.
故选：A.
14 分解法模型与最短路径问题
44．（2024·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段
马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（ ）
A．20 条
B．21 条
C．22 条
D．23 条
【答案】D
【解析】由题意知从A 到
的最短路径要通过7 段马路，4 段水平马路，3 段竖直马路，共有
种，
又因为经过
段的走法有
种，故不经过
段的最短路径有
条.,
故选:D
45．（2024·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走
法有（ ）
A．6 种
B．8 种
C．9 种
D．10 种
【答案】C
【解析】由题意，从点
到点
，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有
种走法；
从点
到点
，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有
种走法，
由分步计数原理，可得共有
种不同的走法.
故选：C.
46．（2024·江苏扬州·高二统考）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成
的三面角. 18 世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成
底盘的菱形的所有钝角都是
，所有的锐角都是
. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家
马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，
蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都
表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交
点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第
层（有
条竖直线段）第
通
道（从左向右计）的不同路径数为
. 例如：
，
. 则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知
，
，且
，
可推得，
，
所以
，即
，
所以
可能取到0，1，2，7，8，9，
所以解集为
，
故选：B
47．（2024·江苏扬州·高二统考）如图，在某城市中，
､
两地之间有整齐的方格形道路网，其中
、
、
、
、
是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网
､
处的甲､乙两人分别要到
､
处，他
们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达
､
处为止. 则下列说法正确
的是（ ）
A．甲从
到达
处的方法有
种
B．甲从
必须经过
到达
处的方法有种
C．甲、乙两人在
处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为
【答案】D
【解析】对于A，甲从M 到N 的最短路程，只能向上或者向右走，需要走6 步，2 步向上，4 步向右，共
有C
种，故A 错；对于B，第一步，甲从M 到
，有C
种走法，第二步，从
到N，有C
种
走法，所以共有
种走法，故B 错；对于C，由B 可知甲、乙经过
的走法都有9 种，所以在
处相
遇共有
种走法，而甲、乙两人的总走法有
种，所以两人在
处相遇的概率为
，故C
错；对于D，因为甲、乙两人只能在
处相遇，由C 可知D 对.
故选：D.
15 构造法模型和递推模型
48．将
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方
格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）
A．33
B．56
C．64
D．78
【答案】B
【解析】记分隔边的条数为
，首先将方格表按图分成三个区域，如图：
分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56 条分隔边，则
，
其次证明：
，
将方格表的行从上至下依次记为
，列从左至右依次记为
，
行
中方格出现的颜色为
，列
中方格出现的颜色为
，
三种颜色分别记为
，对于一种颜色
，设
为含色方格的行数与列数之和，
定义当
行含
色方格时，
，否则
，
类似的定义
，
所以
，
由于染
色的格的行有
个，列有
个，则
色的方格一定在这
行和
列的交叉方格中，从而
，
所以
所以①，
由于在行
中有
种颜色的方格，于是至少有
条分隔边，
类似地，在列
中至少有
条分隔边，
则
②
③，
下面分两种情况讨论：
1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为
色，则方格表的33 列中均含有
色的方格，又
色的方格有
363 个，
故至少有
行含有
色的方格，于是
④，
由①③④得
；
2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意
均有
，
，
从而由②可得
；
综上所述，分隔边条数的最小值为56.
故选：B
49．（2024·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过
次
传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．4 种
B．10 种
C．12 种
D．22 种
【答案】B
【解析】根据题意，设在第
次传球后（
），有
种情况球在丙手中，
即经过
次传递后，球又被传回给丙，而前
次传球中，每次传球都有
种方法，
则前
次传球的不同的传球方法共有
种，
那么在第
次传球后，球不在丙手中的情况有
种情况，即球在乙或甲手中，只有在这些情况时，在
第
次传球后，球才会被传回丙，即
；
易得
，则
，
，
.
故选：B．
50．（2024·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1 个格子，在格子中每次可向
前跳1 格或2 格，那么人从格子外跳到第8 个格子的方法种数为
A．8 种
B．13 种
C．21 种
D．34 种
【答案】C
【解析】设跳到第n 格的方法有an，
则达到第n 格的方法有两类，
①是向上跳一格到达第n 格，方法数为an-1，
②向上跳2 格到达第n 格，方法数是an-2，
则an=an-1+an-2，
有数列的递推关系得到数列的前8 项分别是1，1，2，3，5，8，13，21
∴跳到第8 格的方法数是21，
故选C．
16 环排与多排问题
51．现有8 个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】8 个人围成一圈,有
种.
其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由
.
所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为
.
故答案为：D
52．（2024·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七
种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的
此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320 种
B．5040 种
C．20160 种
D．2520 种
【答案】D
【解析】先从7 种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有
种方法，
再将剩余的6 种颜色全部涂在剩余的6 个区域内，共有
种方法，
由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，
所以不同的涂色方法，共有
种不同的涂法.
故选：D.
53．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙
丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有
位同学，
若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有
种，那么这
位同学围成一个圆时，不同的站法总数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m 位同学站成一排有
，则
，解
得
，
甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，
其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3 个，3 人围成一个圆的排列数为
，
由此可得n 个人围成一个圆的排列数为
，5 位同学围成一个圆的排列数为
.
故选：A
17 配对型模型
54．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递
A､B､C､D 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲乙丙丁四个地方，全部送错
､
､
､
的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若全部送错，则每个快递都送到了其他的地方，
即送
有3 种送错可能，若
送到
地应该送的地方，则
有3 种送错可能，
故全部送错的情况有
种可能，
而总共有
种可能，
所以
，
故选：C.
55．（2024·高二单元测试）箱子里有3 双颜色不同的手套（红蓝黄各1 双），有放回地拿出2 只，记事件
A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分别设
双手套为：
，
分别代表左手手套，
分别代表右手手套；
从箱子里的
双不同的手套中，随机拿出
只，所有的基本事件是：
，共有
个基本事件；
事件
包含：
一共
个基本事件，
故事件
的概率为
，故选B．
56．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）柜子里有4 双不同的鞋，随机的取两只，则
取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为 ．
【答案】
【解析】由题意：可以先选出左脚的一只有
种选法，然后从剩下的3 双的右脚中选出一只有
种选法，
所以一共有
种不同的取法；又因为柜子里有只不同的鞋，随机选出两只，一共有
种选法，
所以概率为
.
故答案为：
57．（2024·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992 年至1995
年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在
戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事.影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激
励我们奋勇前行！该影片于2023 年1 月14 日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇
带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4 张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院
要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有 种．
【答案】16
【解析】根据题意，将两名家长、孩子全排列，有
种排法，
其中两个孩子相邻且在两端的情况有
种，
则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有
种.
故答案为：16.
18 电路图模型
58．（2024·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）如图所示，在A，
间有四个焊接点1，2，3，
4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种.
【答案】13
【解析】若脱落1 个，则有（1），（4）两种情况，
若脱落2 个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6 种情况，
若脱落3 个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4 种情况.
若脱落4 个，则有（1，2，3，4）共1 种情况，综上共有
种情况.
故答案为：13.
59．（2024·高二课时练习）如图，在由开关组
与
组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有 种.
【答案】21
【解析】分两类，每类中分两步.
①第1 步：
组开关闭合1 个，有2 种闭法，第2 步：
组开关闭合1 个，有3 种闭法；
组开关闭合2 个，
有3 种闭法；
组开关闭合3 个，有1 种闭法.
此时共有
种闭法.
②第1 步：
组开关闭合2 个，有1 种闭法，第2 步：
组开关闭合1 个，有3 种闭法；
组开关闭合2 个，
有3 种闭法；
组开关闭合3 个，有1 种闭法.
此时共有
闭法.
综上，共有
种闭法.
故答案为：
60．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A 与B 所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方
法种数是 ．
【答案】5
【解析】在电键组A 中有2 个电键，电键组B 中有3 个电键，
应用分类加法计数原理，共有2＋3＝5 种接通电源使电灯发光的方法．
故答案为：5.
61．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A 与B 组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个
电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种．
【答案】6
【解析】根据分步乘法计数原理，由题中条件，即可求出结果.要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，只
有先合上A 组中2 个电键中的任意一个，再合上B 组中3 个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发
光．
因此要完成这件事，需要分步，只有各个步骤都完成才能使灯泡发光，
所以接通电源使灯泡发光的方法有
种．
故答案为：
.
19 机器人跳动模型
62．（2024·北京大兴·高三统考期末）动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳
动，每次可跳动1 个单位或者2 个单位的距离，且每次至少跳动1 个单位的距离.经过3 次跳动后，M 在数
轴上可能位置的个数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】D
【解析】根据题意，分4 种情况讨论：
①，动点M 向左跳三次，3 次均为1 个单位，3 次均为2 个单位，2 次一个单位，2 次2 个单位，故有﹣6，
﹣5，﹣4，﹣3，
②，动点M 向右跳三次，3 次均为1 个单位，3 次均为2 个单位，2 次一个单位，2 次2 个单位，故有6，
5，4，3，
③，动点M 向左跳2 次，向右跳1 次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，
④，动点M 向左跳1 次，向右跳2 次，故有0，1，2，3，
故M 在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6 共有13 个，
故选：D.
63．（2024·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）如图，由
个边长为1 个单位的小
正方形组成一个大正方形．某机器人从C 点出发，沿若小正方形的边走到D 点，每次可以向右走一个单位
或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段
，那么不同的走法共有 种．
【答案】28
【解析】由题意可知，机器人所成走动的路线如图所示的方格：
图中小写字母表示机器人所能走的那一步路线，
那么第一步是固定的只有一种走法，
从第二步开始如果走a，第三步走c,第四步如果走h,那么这时共有3 种走法，
第四步如果走f，那么后面四步走的一个长方形的边，这时共有
种走法；
第二步如果走b,第三步如果走d,第四步走e,第五步只能走h，此时共有3 种走法，
第四步如果走f，此时共有
种走法，
第三步若果走g，后面五步是沿着一个长方形的边走，此时共有
种走法，
故共有的走法为
种，
故答案为：28
20 波浪数模型
64．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6 棵高矮
不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3 棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小
树高为事件A．
则6 必在后排，1 在前排，
因此，分为1-6 相对和1-6 不对两种情况（相对的意思是前后相邻），
（1）1-6 相对：5 必在后排，2 必在前排，
因此，又可分为2-5 相对和2-5 不对两种情况，
2-5
①
相对时，3-4 相对且4 在后排，所以有
种情况；
2-5
②
不对，有
种情况．
（2）1-6 不对：可分为5 在前排和5 在后排两种情况，
（ⅰ）5 在前排，则5-6 相对且4 在后排，又可分为1-4 相对和1-4 不对两种情况，
1-4 相对：有
种；
1-4 不对：有
种．
（ⅱ）5 在后排，又可分为1-5 相对和1-5 不对两种情况，
1-5
①
相对：2 必在前排，又分为2-6 相对和2-6 不对两种，
2-6 相对：有
种；
2-6 不对：有
种．
1-5
②
不对，有
种．
所以
.
故选：C．
方法二：将设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为
事件A，所以，
.
故选：C．
65．（2024·安徽六安·高二六安一中校考）因演出需要，身高互不相等的8 名演员要排成一排成一个“波
浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、
八个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．181
B．109
C．84
D．96
【答案】A
【解析】依题意作图如下：
上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3 号位必须比12456 要高，
1，6 两处是排列里最低的，3，8 两处是最高点，
设8 个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，
则 3 号位最少是6，最大是8，下面分类讨论：
①第3 个位置选6 号：先从1，2，3，4，5 号中选两个放入前两个位置，
余下的3 个号中放入4，5，6 号顺序是确定的只有一种情况，然后7，8 号放入最后两个位置也是确定的，
此时共
种情况；
②第3 个位置选7 号：先从1，2，3，4，5，6 号中选两个放入前两个位置，
余下的4 个号中最小的放入6 号位置，剩下3 个选2 个放入4，5 两个位置，
余下的号和8 号放入最后两个位置，此时共
种情况；
③第3 个位置选8 号：先从1，2，3，4，5，6，7 号中选两个放入前两个位置，
余下的5 个号中最小的放入6 号位置，剩下4 个选2 个放入4，5 两个位置，余下的2 个号放入最后两个位
置，此时共
种情况；
由分类计数原理可得共有
种排列方式；
故选：A.
66．（2024·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）因演出需要，身高互不相等的9 名演员要排成一
排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递
减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．379
B．360
C．243
D．217
【答案】A
【解析】依题意作图如下：
上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3 号位必须比124567 要高，
1，7 两处是排列里最低的，3，9 两处是最高点，
设9 个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，
则 3 号位最少是7，最大是9，下面分类讨论：
第3 个位置选7 号：先从1，2，3，4，5，6 号中选两个放入前两个位置，
余下的4 个号中最小的放入7 号位置，剩下的三个放入中间三个位置，
8，9 号放入最后两个位置，即
；
第3 个位置选8 号：先从1，2，3，4，5，6，7 号中选两个放入前两个位置，
余下的5 个号中最小的放入7 号位置，剩下4 个选3 个放入中间三个位置，
余下的号和9 号放入最后两个位置，即
；
第3 个位置选9 号：先从1，2，3，4，5，6，7，8 号中选两个放入前两个位置，
余下的6 个号中最小的放入7 号位置，剩下5 个选3 个放入中间三个位置，
余下的2 个号放入最后两个位置，即
；
由分类计数原理可得共有
种排列方式；
故选：A.
67．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3 个数字保持递减，后3 个数字保持递
增”（如五位数“43125”，前3 个数字“431”保持递减，后3 个数字“125”保持递增），则称其为“古典
数字”.由1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有 个
【答案】6
【解析】由1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数，前3 个数字保持递减，后3 个数字保持递增，
说明中间数字为1，
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序（或递增顺序），仅有一种排列方式放置在首两位（或
末两位），
则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位），
共有：
个，
故答案为：6.
