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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题17 三角函数与解三角形第四缉
1．【2016 年新疆预赛】函数f (x)=cos2 x +2|sin x|的最大值为______.
2 ．【2016 年新疆预赛】设△ABC 的∠A 、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足
acos B -bcos A = 4
5 c. 则tan A
tan B =______.
3．【2016 年四川预赛】若实数α 、β 、γ构成以2 为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ 构成等比数列，
则cosa=_____.
4 ．【2016 年江西预赛】如图,P 为正方形ABCD 内切圆上的一点, 记∠APC =α ,∠BPD = β则
tan
2a+tan
2 β =______.
5．【2016 年江西预赛】设x 为锐角.则函数y =sin x⋅sin2 x的最大值为______.
6．【2016 年湖南预赛】方程16sinπ x⋅cosπ x =16 x + 1
x
的解集为______.
7．【2016 年甘肃预赛】已知函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0), x∈R,若函数f ( x)在区间(-ω,ω)内单
调递增,且函数f ( x)的图像关于直线x =ω对称,则ω的值为 ．
8．【2016 高中数学联赛（第01 试）】设函数f ( x)=(sin kx
10)
4
+(cos kx
10)
4，其中k 是一个正整数.若对任
意实数a，均有{f ( x)|a< x<a+1}={f ( x)| x∈R}，则k 的最小值为
.
9．【2015 年全国】若
，则
__________．
10．【2015 年全国】设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得sin ωa+sin ωb=2，则ω的取值
范围是______.
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11．【2015 年浙江预赛】若16
sin
2 x+16
cos
2 x =10
，则cos 4 x =______.
12．【2015 年上海预赛】已知cos(θ+ π
4)<3(sin
5θ -cos
5θ)，其中，θ∈[- π ,π ].则θ的取值范围是
________.
13．【2015 年上海预赛】有一个单摆，在夏季摆的周期T = 1 秒，到了冬季，摆长缩短了0.01 厘米.在冬季
这只单摆在24 小时中比在冬季大约快 ______秒（精确到1 秒）.注：单摆周期公式为T =2π ❑√
l
g
，其中，
周期T 的单位为秒，摆长l 的单位为厘米，重力加速度g = 980 厘米/秒2.
14．【2015 年新疆预赛】已知n 为正整数.则lg12、lg75、lg(n
2-16n+947)这三个数能构成_____个不
同的三角形.
15．【2015 年新疆预赛】已知α 、β均为锐角，且(1+ tan α )(1+ tan β)=2.则α + β =________.
16 ．【2015 年四川预赛】设x +sin x⋅cos x -1=0，2cos y -2 y + π + 4 =0，则sin (2 x - y)的值为
________。
17．【2015 年安徽预赛】设a为实数，且关于x的方程(a+cos x)(a-sin x)=1有实根.则a的取值范围是
______.
18．【2015 年陕西预赛】已知sin α + ❑√3sin β =1，cosα + ❑√3cos β = ❑√3.则cos(α - β)的值为______.
19．【2015 年陕西预赛】在△ABC中，若tan A
2 + tan B
2 =1，则tan C
2
的最小值为______.
20．【2015 年山西预赛】若sin α +cosα = 1
5
，则|sin α -cosα|=_________.
21．【2015 年山东预赛】方程sin
4 x -co s
4 x =1的解为______.
22．【2015 年山东预赛】在△ABC 中, ∠A <∠B<∠C, sinA + sinB+ sinC
cosA +cosB+cosC = ❑√3.则∠B =______.
23．【2015 年江西预赛】 求值
＝
24．【2015 年江苏预赛】函数f (x)=2cos x +sin 2 x (x∈R)的值域为________.
25．【2015 年江苏预赛】设△ABC 的外心为O，内心为I，∠B=45°.若OI∥BC，则cosC 的值为_________.
26．【2015 年吉林预赛】已知函数f (x)=sin(ωx +π
2 )⋅sin(ωx +π
4 )(ω>0)的最小正周期为π.则f (x)
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在区间[0,π
2 ]上的值域为______.
27．【2015 年湖南预赛】已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍.则该三角形的周长为
__________.
28．【2015 年湖北预赛】已知顶角为20°的等腰三角形的底边长为a，腰长为b.则a
3+b
3
ab
2
的值为
__________.
29．【2015 年湖北预赛】已知点P在Rt ΔABC所在的平面内，∠BAC =90°，∠CAP为锐角，且
|⃑AP|=2,⃑AP⋅⃑AC =2，⃑AP⋅⃑AB =1.当|⃑AB+⃑AC +⃑AP|取得最小值是，tan∠CAP =__________.
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．
【
2015
年
黑
龙
江
预
赛
】
已
知
x、y ∈[- π
4 , π
4]，a∈R，
且
x
3+sin x -2a=0，4 y
3+ 1
2 sin 2 y +a=0.则cos(x +2 y)的值为_____________。
31．【2015 年河南预赛】设f ( x)= sin πx
x
2
(x∈(0,1)). 则g(x)= f (x)+ f (1- x)的最小值为_____.
32．【2015 年甘肃预赛】已知△ABC 的外接圆半径为R,且 2 R(sin
2 A - sin
2C)=(❑√2a-b)sinB,其中,a、
b 分别为∠A、∠B 的对边则∠C 的大小为______.
33．【2015 年福建预赛】若sin π
9 +sin 2π
9 +⋅⋅⋅+sin nπ
9 = 1
2 tan 4 π
9
，则正整数n的最小值为__________.
34．【2015 高中数学联赛（第01 试）】若实数α满足cosα = tan α，则
1
sin α +cos
4α的值为
.
35．【2015 高中数学联赛（第01 试）】设ω为正实数，若存在a,b(π ⩽a<b⩽2π )，使得
sin ωa+sin ωb=2，则ω的取值范围是
.
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