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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题15 三角函数与解三角形第二缉
1．【2018 年贵州预赛】若边长为6 的正△ABC 的三个顶点到平面α 的距离分别为1， 2，3，则△ABC 的
重心G 到平面α 的距离为_______．
【答案】{0，2
3 ，4
3 ，2}
【解析】
（1）当△ABC 的三个顶点在平面α 的同侧时，由公式d = h1+h2+h3
3
求得重心G 到平面α 的距离为2．
（2）当△ABC 的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α 的异侧时，求得重心G 到平面α 的距离分
别为0，2
3 ，4
3
．
故答案为：{0，2
3 ，4
3 ，2}
2．【2018 年贵州预赛】函数y =2(5- x)sinnx -1(0≤x ≤10)的所有零点之和等于________．
【答案】60
【解析】
函数y =2(5- x)sinnx -1(0≤x ≤10) 的零点即为方程2(5－x)sinπx 在区间[0，10]上的解⇔函数y=2sinπx
的图像与函数y =
1
5- x
的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y=2sinπx 的图像与函数y =
1
5- x
的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12 个交点（6 组对称点)．每组对称点的横坐标之和为
10，即这12 个点横坐标之和为60．
所以函数y=2(5－x)sinπ－1(0≤x≤10)的所有零点之和等于60．
故答案为：60
3
．
【
2018
年
浙
江
预
赛
】
已
知
α ，β ∈(
3π
4 ，π)，cos(α + β)= 4
5
，
得
2 / 18
sin(α + β)=- 3
5 ，cos(α -π
4 )=- 5
13，所以cos(β +π
4 )=_____
【答案】- 56
65
【解析】
cos(β +π
4 )=cos(α + β)sin(α -π
4 )=- 56
65.
4．【2018 年浙江预赛】在△ABC 中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A 的最小值为________.
【答案】32
49
【解析】
由AB+ AC =7⇒AB× AC ≤49
4
,
又1
2 AB× AC sin∠A = 4⇒sin∠A ≥32
49 , AB = AC = 7
2
时取等号.
5．【2018 年浙江预赛】设x，y ∈R满足x -6 ❑√y - 4 ❑√x - y +12=0，则x 的取值范围为________.
【答案】14 -2❑√13≤x ≤14+2❑√13
【解析】
由x -6 ❑√y - 4 ❑√x - y +12=0⇒(❑√x - y -2)
2+(❑√y -3)
2=1.
令❑√x - y -2=cosθ，
❑√y -3=sinθ⇒x =(2+cosθ)
2+(3+sinθ)
2=14+ ❑√52sin(θ+φ)(sin φ =
2
❑√13 )，
所以14 -2❑√13≤x ≤14+2❑√13.
6．【2018 年重庆预赛】在△ABC 中，sin
2 A +sin
2C =2018sin
2B，则(tan A + tanC )tan
2B
tan A + tan B+ tanC =________．
【答案】
2
2017
【解析】
因为sin
2 A +sin
2C =2018sin
2B
所以a
2+c
2=2018⋅b
2
注意到：tan A + tan B+ tanC = tan A ⋅tan B⋅tanC
故(tan A + tanC )tan
2B
tan A + tan B+ tanC
3 / 18
= (tan A + tanC )tan
2B
tan A ⋅tan B⋅tanC =(
1
tan A +
1
tanC)tan B
=
sin
2B
sin A ⋅sinC ⋅
1
cos B = b
2
ac(
2ac
a
2+c
2-b
2)=
2b
2
2018b
2-b
2 =
2
2017
．
故答案为：
2
2017
7．【2018 年陕西预赛】设ΔABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且A -C = π
2 .a,b,c成等差数列，
则cos B =________.
【答案】3
4
【解析】
分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B；根据a，b，c成等差，得到2b=a+c，
利用正弦定理实现边角转化。得到关于∠C 的等式；由cos B =cos(
π
2 -2C)=sin 2C即可得到最后的值。
详解：A + B+C = π ;A -C = π
2
所以A = π
2 +C ,B = π
2 -2C
同取正弦值，得sin A =sin( π
2 +C )=cosC
sin B =sin( π
2 -2C )=cos2C
因为a，b，c成等差，所以2b=a+c ，由正弦定理，边化角
2cos2C =cosC +sinC ，根据倍角公式展开
2(cosC +sinC)(cosC -sinC)=cosC +sinC
所以cosC -sinC = 1
2
，等式两边同时平方得
(cosC -sinC)
2= 1
4
，化简2sinC cosC = 3
4
，即sin 2C = 3
4
4 / 18
而cos B =cos(
π
2 -2C)=sin 2C = 3
4
点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌
握各个式子的相互转化，属于难题。
8．【2018 年陕西预赛】设ΔABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且A -C = π
2 .a,b,c成等差数列，
则cos B =________.
【答案】3
4
【解析】
分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B；根据a，b，c成等差，得到2b=a+c，
利用正弦定理实现边角转化。得到关于∠C 的等式；由cos B =cos(
π
2 -2C)=sin 2C即可得到最后的值。
详解：A + B+C = π ;A -C = π
2
所以A = π
2 +C ,B = π
2 -2C
同取正弦值，得sin A =sin( π
2 +C )=cosC
sin B =sin( π
2 -2C )=cos2C
因为a，b，c成等差，所以2b=a+c ，由正弦定理，边化角
2cos2C =cosC +sinC ，根据倍角公式展开
2(cosC +sinC)(cosC -sinC)=cosC +sinC
所以cosC -sinC = 1
2
，等式两边同时平方得
(cosC -sinC)
2= 1
4
，化简2sinC cosC = 3
4
，即sin2C = 3
4
而cos B =cos(
π
2 -2C)=sin 2C = 3
4
点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌
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握各个式子的相互转化，属于难题。
9．【2018 年陕西预赛】设ΔABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且A -C = π
2 .a,b,c成等差数列，
则cos B =________.
【答案】3
4
【解析】
分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B；根据a，b，c成等差，得到2b=a+c，
利用正弦定理实现边角转化。得到关于∠C 的等式；由cos B =cos(
π
2 -2C)=sin 2C即可得到最后的值。
详解：A + B+C = π ;A -C = π
2
所以A = π
2 +C ,B = π
2 -2C
同取正弦值，得sin A =sin( π
2 +C )=cosC
sin B =sin( π
2 -2C )=cos2C
因为a，b，c成等差，所以2b=a+c ，由正弦定理，边化角
2cos2C =cosC +sinC ，根据倍角公式展开
2(cosC +sinC)(cosC -sinC)=cosC +sinC
所以cosC -sinC = 1
2
，等式两边同时平方得
(cosC -sinC)
2= 1
4
，化简2sinC cosC = 3
4
，即sin2C = 3
4
而cos B =cos(
π
2 -2C)=sin 2C = 3
4
点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌
握各个式子的相互转化，属于难题。
10．【2018 年湖南预赛】函数f ( x)= sinx +2|sinx|，x∈[0,2π ]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同
的交点，则k 的取值范围是_____.
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【答案】1<k <3
【解析】
f ( x)=¿作出其图像，可只有两个交点时k 的范围为1<k <3.
故答案为：1<k <3
11．【2018 年广东预赛】已知△ABC 的三个角A、B、C 成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、
4
❑√3 b成等比数列，则S ΔABC:a
2=___________.
【答案】
❑√3
2
【解析】
因为A、B、C 成等差数列，2B = A +C ，3 B = A + B+C =180°，因此B =60°.
又因为a、c、4
❑√3 b成等比数列，所以c =qa，b=
❑√3q
2a
4
.
由正弦定理
a
sin A =
❑√3q
2a
4 sin 60° =
qa
sin (120° - A)
，
整理得sin A = 2
q
2 ，
❑√3
2 cos A = 2
q - 1
q
2 ，(q -2)[3q
3+5q
2+ 4+(q -2)
2]=0.
所以q =2，sin A = 1
2 ，A =30°，C =90°.
故S ΔABC = 1
2 ab=
❑√3
2 a
2，所以S ΔABC:a
2=
❑√3
2
.
故答案为：
❑√3
2
12．【2018 年贵州预赛】如图，在△ABD 中，点C 在AD 上，∠ABC =π
2 ，∠DBC =π
6
，AB=CD=1．
则AC=____．
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【答案】x =
3√2
【解析】
在△ABD 中，
AD
sin120
∘=
1
sin D ⇒sin D =
❑√3
2( x +1)（其中AD=x） ①
在△BCD 中，BC
sin D =
1
sin30
∘⇒
❑√x
2-1
sin D =2⇒sin D =
❑√x
2-1
2
②
由①②得
❑√3
2( x +1) =
❑√x
2-1
2
⇒( x +1)
❑√x
2-1= ❑√3⇒x
4+2 x
3-2 x - 4 =0
⇒( x +2)( x
3-2)=0，因为x+2>0，∴x3=2．即x =
3√2
．
故答案为：x =
3√2
13．【2018 年贵州预赛】函数y =2(5- x)sin πx -1 (0≤x ≤10)的所有零点之和等于__________.
【答案】60
【解析】
函数y =2(5- x)sin πx -1 (0≤x ≤10)的零点，即为方程2(5- x)sin πx -1=0在区间[0,10]上的解.等价于
函数y =2sin πx的图象与函数y =
1
5- x
的图象，在区间[0,10]上的交点的横坐标.因为函数y =2sin πx的图
象与函数y =
1
5- x
的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间[0,10]上共有12 个交点（6 组对称点），每
组对称点的横坐标之和为10，即这12 个点横坐标之和为60.所以函数y =2(5- x)sin πx -1 (0≤x ≤10)的
所有零点之和等于60.
14．【2018 年广西预赛】设sin x +cos x = 1
2
.则sin
3 x +cos
3 x =________.
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【答案】11
16
【解析】
由sin x +cos x = 1
2 ⇒1+2sin x⋅cos x = 1
4 ⇒sin x⋅cos x =- 3
8 ⇒sin
3 x +cos
3 x
=(sin x +cos x)(sin
2 x -sin x ⋅cos x +cos
2 x)
= 1
2(1+ 3
8)= 11
16
.
15．【2018 年安徽预赛】函数f (x)=|sin 2 x +sin3 x +sin 4 x|的最小正周期=_________.
【答案】2π
【解析】
f (x)=|1+2cos x|⋅|sin3 x|，其中|1+2cos x|的最小正周期是2π ，|sin3 x|的最小正周期是π
3
.
故答案为：2π
16．【2018 年湖北预赛】若对任意的θ∈[0, π
2]
，不等式4 +2sinθcosθ -asinθ -acosθ<0恒成立，则
实数a的最小值为______.
【答案】4
【解析】
设x =sinθ+cosθ = ❑√2sin(θ+ π
4)
，则
2sinθcosθ = x
2-1.
当θ∈[0, π
2]
时，可得1≤x ≤❑√2.
不等式4+2sinθcosθ -asinθ -acosθ≤0，即x
2-ax +3≤0，所以
a≥x + 3
x
.
当1≤x ≤2时，函数f (x)= x + 3
x
单调递减，可得
a≥f (1)=1+3= 4.
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故实数a的最小值为4.
17．【2018 年湖北预赛】设G 为ΔABC的重心，若BG⊥CG ,BC = ❑√2，则AB+ AC的最大值为______.
【答案】2❑√5
【解析】
设BC的中点为D，因为BG⊥CG，故ΔBCG是直角三角形，所以GD = 1
2 BC =
❑√2
2
.
又因为G 为ΔABC的重心，所以AD =3GD = 3 ❑√2
2
.
由三角形的中线长公式可得A D
2= 1
4 (2 A B
2+2 A C
2- BC
2)，所以
A B
2+ A C
2=2 A D
2+ 1
2 BC
2=2⋅(
3 ❑√2
2 )
2
+ 1
2 ⋅(❑√2)
2=10.
所以AB+ AC ≤2
❑√
A B
2+ A C
2
2
=2❑√5，当且仅当AB = AC时等号成立.
故AB+ AC的最大值为2❑√5.
18．【2018 年河北预赛】在△ABC 中，AC =3，sinC =k sin A(k ≥2)，则△ABC 的面积最大值为_____.
【答案】3
【解析】
由正弦定理将sinC =k sin A变形为c =ka，其中c = AB ,a= BC.
以线段AC 所在直线为x 轴，以AC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则
A(- 3
2 ,0),C(
3
2 ,0)，B (x , y)，由c =ka得❑√(x + 3
2)
2
+ y
2=k ❑√(x - 3
2)
2
+ y
2
两边平方整理得(k
2-1) x
2+(k
2-1) y
2-(3k
2+3) x + 9
4 (k
2-1)=0
因为k ⩾2，所以上述方程可化为为x
2+ y
2- (3k
2+3)
k
2-1
x + 9
4 =0
由此可知点B 的轨迹是以(
3(k
2+1)
2(k
2-1)
,0)
为圆心，以r = 3k
k
2-1
为半径的圆.所以当点B 在圆上运动时，点B
10 / 18
到x 轴的最大距离为半径r = 3k
k
2-1
，所以△ABC的面积S = 1
2 ×3× 3k
k
2-1
(k ⩾2)= 9
2 ×
1
k - 1
k
在k ⩾2上单
调递减，所以Smax = 9
2 ×
1
2- 1
2
=3.
19．【2018 年河北预赛】已知
sinθ
❑√3cosθ+1 >1．则tanθ的取值范围是________．
【答案】(-∞,- ❑√2]∪(
❑√3
3 ,❑√2]
【解析】
由条件知
sinθ
❑√3cosθ+1 >1⇔
sinθ
cosθ+
❑√3
3
>❑√3点表示单位圆上的动点P(cosθ ,sinθ)与点M(-
❑√3
3 ,0)连线的
斜率大于❑√3．
作图可得点P 在圆弧⃗AB与⃗CD上运动，含点A(-
❑√3
3 ,
❑√6
3 )
和点C(-
❑√3
3 ,-
❑√6
3 )
，不含点B (0,1)和点
D(-
❑√3
3 ,- 1
2)
．如图：
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而tanθ表示原点与点P 连线的斜率，由图计算得tanθ∈(-∞,- ❑√2]∪(
❑√3
3 ,❑√2]
．
故答案为：(-∞,- ❑√2]∪(
❑√3
3 ,❑√2]
20．【2018 年河北预赛】在△ABC 中，AC =3，sinC =k sin A(k ≥2)，则△ABC 的面积最大值为_____.
【答案】3
【解析】
由正弦定理将sinC =k sin A变形为c =ka，其中c = AB ,a= BC.
以线段AC 所在直线为x 轴，以AC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则
A(- 3
2 ,0),C(
3
2 ,0)，B (x , y)，由c =ka得❑√(x + 3
2)
2
+ y
2=k ❑√(x - 3
2)
2
+ y
2
两边平方整理得(k
2-1) x
2+(k
2-1) y
2-(3k
2+3) x + 9
4 (k
2-1)=0
因为k ⩾2，所以上述方程可化为为x
2+ y
2- (3k
2+3)
k
2-1
x + 9
4 =0
由此可知点B 的轨迹是以(
3(k
2+1)
2(k
2-1)
,0)
为圆心，以r = 3k
k
2-1
为半径的圆.所以当点B 在圆上运动时，点B
到x 轴的最大距离为半径r = 3k
k
2-1
，所以△ABC的面积S = 1
2 ×3× 3k
k
2-1
(k ⩾2)= 9
2 ×
1
k - 1
k
在k ⩾2上单
调递减，所以Smax = 9
2 ×
1
2- 1
2
=3.
21．【2018 年四川预赛】在ΔABC中，cos B = 1
4
，则
1
tan A +
1
tanC
的最小值为______.
【答案】2❑√15
5
【解析】
12 / 18
由cos B = 1
4 ，知sin B =
❑√1-cos
2B =
❑√15
4
.
于是
1
tan A +
1
tanC = cos A
sin A + cosC
sinC =
sin B
sin A sinC .
注意到
0<sin A ⋅sinC =- 1
2 [cos( A +C)-cos( A -C)]=- 1
2 [-cos B -cos( A -C)] = 1
8 + 1
2 cos( A -C)≤1
8 + 1
2 = 5
8
当且仅当A =C时等号成立.于是，
1
tan A +
1
tanC ≥
❑√15
4
× 8
5 = 2❑√15
5
，
所以，所求的最小值是2❑√15
5
.
故答案为：2❑√15
5
22．【2018 年浙江预赛】已知α , β ∈(
3 π
4 ,π)，cos(α + β)= 4
5 ，sin(α - π
4)= 12
13
，则cos(β + π
4)=
________.
【答案】- 56
65
【解析】
由α , β ∈(
3 π
4 ,π)，cos(α + β)= 4
5
，得sin (α + β)=- 3
5 ，cos(α - π
4)=- 5
13
，
所以cos(β + π
4)=cos(α + β)cos(α - π
4)+sin (α + β)sin(α - π
4)=- 56
65
.
故答案为：- 56
65
23．【2018 年浙江预赛】在△ABC 中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A 的最小值为________.
【答案】32
49
【解析】
由AB+ AC =7⇒AB× AC ≤49
4
,
13 / 18
又1
2 AB× AC sin ∠A = 4⇒sin ∠A ≥32
49 , AB = AC = 7
2
时取等号.
24．【2018 年辽宁预赛】在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c.若a
2+b
2=2019c
2，则
cot C
cot A +cot B
=_____.
【答案】1009
【解析】
由题得
cotC
cot A +cot B = sin A sin BcosC
sin
2C
= ab
c
2 · a
2+b
2-c
2
2ab
= 2019c
2-c
2
2c
2
=1009.
故答案为：1009
25．【2018 年江西预赛】若三个角x、y 、z成等差数列，公差为π
3
，则
tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x =______．
【答案】-3
【解析】
根据x = y -π
3 ，z = y +π
3
，
则tan x = tan y - ❑√3
1+ ❑√3 tan y ，tan z = tan y + ❑√3
1- ❑√3 tan y
．
所以tan x tan y = tan
2 y - ❑√3 tan y
1+ ❑√3 tan y
，tan y tan z = tan
2 y + ❑√3 tan y
1- ❑√3 tan y
，tan z tan x = tan
2 y -3
1-3 tan
2 y
．
则tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x = 9 tan
2 y -3
1-3 tan
2 y
=-3．
故答案为：-3
26．【2018 年山西预赛】计算cos 2π
7 cos 4 π
7 cos 6 π
7
的值为________.
【答案】1
8
【解析】
记S =cos 2π
7 cos 4 π
7 cos 6 π
7
，则
14 / 18
- S⋅8sin π
7 =8sin π
7 ⋅cos π
7 cos 2π
7 cos 4 π
7 = 4 sin 2π
7 ⋅cos 2π
7 cos 4 π
7 =2sin 4 π
7 cos 4 π
7 =sin 8 π
7 =-sin π
7
所以，S = 1
8
.
27．【2018 年湖南预赛】如果函数y =3cos(2 x +φ)的图象关于点( 4 π
3 ,0)中心对称，那么|φ|的最小值
为_____.
【答案】π
6
【解析】
由y =3cos(2 x +φ)得图象关于点( 4 π
3 ,0)中心对称知，
f(
4 π
3 )=0，即8 π
3 +φ =kπ + π
2 (k ∈Z )，
即φ =kπ - 8 π
3 + π
2 (k ∈Z ).因此，|φ|的最小值为
|φ|min=|(k -2)π - π
6|min
= π
6
.
故答案为：π
6
28．【2018 年湖南预赛】若3sin
3 x +cos
3 x =3，则sin
2018 x +cos
2018 x的值为__________.
【答案】1
【解析】
首先由3sin
3 x +cos
3 x =3可知，必有sin x ≥0，否则cos
3 x =3-3sin
3 x ≥3，矛盾.
又由sin
3 x ≤sin
2 x ,cos
3 x ≤cos
2 x，
因此有3=3sin
3 x +cos
3 x ≤3sin
2 x +cos
2 x =1+2sin
2 x，
解得sin
2 x ≥1.因此有sin x =1以及cos x =0，故有
sin
2018 x +cos
2018 x =1.
故答案为：1
29．【2018 年福建预赛】在△ABC中，内角A 、B、C所对的边分别是a、b、c．若
a=2，b=3，C =2 A，则cosC =______．
15 / 18
【答案】1
4
【解析】
由C =2 A，知sinC =sin2 A =2sin A cos A．
结合正弦定理，得c =2acos A．
由a=2，b=3，及余弦定理，得c =2acos A =2a⋅b
2+c
2-2a
2
2bc
，c = 4× 9+c
2- 4
6c
．
所以c
2=10，c = ❑√10．故cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
= 4+9-10
2×2×3 = 1
4
．
30．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设α , β满足tan(α + π
3)=-3,tan(β - π
6)=5，则tan(α - β)
的值为
.
【答案】- 7
4
【解析】由两角差的正切公式可知tan((α + π
3)-(β - π
6))=-3-5
1+(-3)×5 = 4
7
，
即tan(α - β + π
2)= 4
7
，从而tan(α - β)=-cot(α - β + π
2)=- 7
4
.
31．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点若
∠A = π
3
，△ABC 的面积为❑√3，则⃑AM ⋅⃑AN的最小值为
.
【答案】❑√3+1
【解析】由条件知，⃑AM = 1
2 (⃑AB+⃑AC ),⃑AN = 3
4⃑AB+ 1
4⃑AC，
故⃑AM ⋅⃑AN = 1
2 (⃑AB+⃑AC )⋅(
3
4⃑AB+ 1
4⃑AC)= 1
8 (3|⃑AB|
2+|⃑AC |
2+ 4⃑AB⋅⃑AC).
由于❑√3= S△ΩBC = 1
2 ⋅|⃑AB|⋅|⃑AC |⋅sin A =
❑√3
4 ⋅|⃑AB|⋅|⃑AC |，
所以|⃑AB|⋅|⃑AC |= 4，进一步可得⃑AB⋅⃑AC =|⃑AB|⋅|⃑AC |⋅cos A =2.
从而⃑AM ⋅⃑AN ⩾1
8 (2
❑√3|⃑AB|
2⋅|⃑AC |
2+ 4⃑AB⋅⃑AC )
16 / 18
=
❑√3
4 |⃑AB|⋅|⃑AC |+ 1
2⃑AB⋅⃑AC = ❑√3+1.
当|⃑AB|= 2
4√3
,|⃑AC |=2×
4√3时，⃑AM ⋅⃑AN的最小值为❑√3+1.
32．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在△ABC 中，若sin A =2sinC，且三条边a、b、c 成等比数
列，则cos A的值为
.
【答案】-
❑√2
4
【解析】由正弦定理知，a
c = sin A
sinC =2，又b
2=ac，于是a:b:c=2:❑√2:1，从而由余弦定理得，
cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
= (❑√2)
2+1
2-2
2
2×❑√2×1
=-
❑√2
4
.
33．【2017 年河北预赛】设函数f (x)= x
3+ x,若0≤θ≤π
2
时,f (mcosθ)+ f (1-m)>0恒成立,则实数m的取
值范围为
.
【答案】m<1
【解析】提示：易知f (x)为奇函数且在R上为增函数.
因为f (mcosθ)+ f (1-m)>0,所以f (mcosθ)>- f (1-m)= f (m-1)，
所以mcosθ>m-1对0≤θ≤π
2
恒成立,
令t =cosθ,则0≤t ≤1.
故mt -m+1>0对0≤t ≤1恒成立.
所以{
-m+1>0,
m-m+1>0，故m<1.
34．【2017 年河北预赛】函数f (x)=sin(
π
4 x - π
6)-2cos
2 π
8 x +1的图象与函数y = g(x)的图象关于直线
17 / 18
x =1对称,当x∈[0, 4
3]
时,g(x)的最大值为
.
【答案】
❑√3
2
【解析】提示:f (x)=sin(
π
4 x - π
6)-cos π
4 x =
❑√3
2 sin π
4 x - 3
2 cos π
4 x = ❑√3sin(
π
4 x - π
3)
,
在函数y = g(x)的图象上任取一点(x , g(x)),其关于直.线x =1的对称点为(2- x , g(x)),
依题意(2- x , g(x))在函数y = f (x)的图象上,
从而g(x)= f (2- x)= ❑√3cos(
π
4 x + π
3)
当0≤x ≤4
3
时,π
3 ≤π
4 x + π
3 ≤2π
3
,
故g(x)在[0, 4
3]
上的最大值为g(0)= ❑√3cos π
3 =
❑√3
2 .
35 ．【2017 年河北预赛】正三角形ABC的边长为2❑√3, 其所在平面内的两个动点P , M满足⃗
AP∣=1,⃗PM =⃗MB,则|⃗CM|的最小值为
.
【答案】5
2
【解析】提示:依题意,动点P在以A为圆心,半径为1 的圆上,M为线段PB的中点.
设D为线段AB的中点,则|⃗CD|=3,|⃗DM |= 1
2 |⃗AP|= 1
2 ,⃗CM =⃗CD +⃗DM ,|⃗CM |⩾||⃗CD|-|⃗DM ||，
所以当且仅当⃗CD与⃗DM反向共线时,|⃗CM|最小,
此时|⃗CM|min=3- 1
2 = 5
2 .
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