专题14三角函数与解三角形第一缉（原卷版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

 1 / 5
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题14 三角函数与解三角形第一缉
1．【2021 年江西预赛】△ABC 中,AB=c ,BC =a, AC =b ,且a
4+b
4+c
4=2c
2(a
2+b
2) ,若∠A =72
° ,则
∠B =       
 
     
 
 .
2．【2021 年江西预赛】
1
sin10
° -
❑√3
cos10
° 的值是    
 
     
 
 .
3．【2021 年吉林预赛】已知α , β ∈(
3 π
4 ,π),sin(α + β)=- 3
5 , sin(β - π
4)= 12
13
 .则cos(α + π
4)
 的值为
    
 
     
 
     
 
     
 
  .
4．【2021 年福建预赛】若5 π 是函数f ( x)=cosnx⋅sin 80
n
2 x 的一个周期,则正整数n 的所有可能取值为
    
 
     
 
     
 
  .
5．【2021 年浙江预赛】计算sin
220
∘+cos
250
∘+sin 20
∘cos50
∘=   
      
 
     
 
  .
6．【2021 年浙江预赛】在△ABC 中,∠B =∠C =30
°,BC =2❑√3, P ,Q 分别在线段AB 和AC 上,
AP =1, AQ = ❑√2 ,直线AD⊥BC 于D 。现将三角形△ABC 沿着AD 对折，当平面ADB 与平面ADC 的
二面角为60°时，则线段PQ 的长度为   
 
     
 
     
 
  .
7．【2021 年浙江预赛】已知△ABC 三个顶点的坐标为A(0,0),B(7,0),C(3,4) ,过点(6-2❑√2,3- ❑√2) 
的直线分别与线段AC,BC 交于P,Q。若S ΔPQC = 14
3
 ,则|CP|+|CQ|=       
 
     
 
  .
8．【2021 年广西预赛】设sin α +sin β = 4
5
❑√2, cosα +cos β = 4
5
❑√3 ,则tan α + tan β =    
 
     
 
     
 
  .
9．【2021 年新疆预赛】sin
2100
°-sin50
°sin70
°=   
      
 
     
 
  .
10 ．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】设函数f (x)=cos x +log2 x (x>0), 若正实数a满足
f (a)= f (2a)
,则f (2a)- f (4 a)
的值为    
 
     
 
  .
11．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】在△ABC中,AB =1, AC =2,B -C = 2π
3
,则△ABC的面积为 
 2 / 5
    
 
     
 
  .
12．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】当π
4 ≤x ≤π
2
时,y =sin
2 x + ❑√3sin xcos x的取值范围是    
 
 
     .
13．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】在△ABC中,AB =1, AC =2,cosB =2sinC,则BC的长为 
 
    
 
     
 
  .
14．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在△ABC中, AB =6,BC = 4,边AC 上的中线长为❑√10,则
sin
6 A
2 +cos
6 A
2
的值为    
 
     
 
 .
15．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在三角形ABC 中,BC=4,CA=5,AB=6,则sin
6 A
2 +cos
6 A
2 =    
 
 
     .
16．【2020 年福建预赛】已知f ( x)=3cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π ) ，若f(
5 π
8 )=0,f(
11π
8 )=3 ,且
f ( x) 的最小正周期大于2π ,则φ =     
 
     
 
  .
17．【2020 年广西预赛】设θ1,θ2 为锐角,且sin
2020θ1
cos
2018θ2
+ cos
2020θ1
sin
2018θ2
=1 .则θ1+θ2=     
 
     
 
  .
18．【2020 年浙江预赛】设x∈R .则y =
sin x
2-cos x
 的最大值为    
 
     
 
  .
19．【2020 年新疆预赛】△ABC 的三边分别为a,b,c,点O 为△ABC 的外心，已知b
2-2b+c
2=0 ,那么⃗
BC ⋅⃗AO 的取值范园是  
      
 
     
 
  .
20．【2020 年新疆预赛】已知函数f ( x)=sin(ωx - π
6 )(ω>0) ,若f (0)=- f ( π
2 ),H(0, π
2 ) 上有且仅有三
个零点，则ω=       
 
     
 
  .
21 ．【2019 年全国】对任意闭区间I ，用M I表示函数y=sinx 在I 上的最大值. 若正数a 满足
M[0,a]=2 M[a,2a]，则a 的值为      
 
     
 
  .
22．【2019 年江苏预赛】已知△ABC中，AC =8,BC =10,32cos( A - B)=31，则△ABC的面积是      
 
 
     .
23
．
【
2019
年
江
西
预
赛
】
△
ABC
的
三
个
内
角
A,B,C
满
足
A=3B=9C,
则
 3 / 5
cos A cos B+cos BcosC +cosC cos A =    
 
     
 
  .
24．【2019 年内蒙古预赛】已知sin[2(α + β)]=nsin 2γ,则tan(α + γ + β)
tan(α - γ + β) =      
 
     
 
  .
25．【2019 年新疆预赛】设1+sin x
cos x
= 22
7
且1+cos x
sin x
= m
n
，其中m
n
为最简分数，则m+n=      
 
     
 
  .
26．【2019 年浙江预赛】设θ∈(0, π
2)
，则
2sinθcosθ
(sinθ+1)(cosθ+1)
的最大值为    
 
     
 
  .
27．【2019 年重庆预赛】tan15
o+2❑√2sin15
o=________.
28．【2019 年福建预赛】在△ABC 中，若AC = ❑√2, AB =2，且
❑√3sin A +cos A
❑√3cos A -sin A = tan 5 π
12 ，则BC=    
 
 
     .
29．【2019 年广西预赛】如果函数y =2sin(2 x +φ)的图像关于点( 2π
3 ,0)中对称,那么|φ|的最小值为  
    
 
     
 
  .
30．【2019 年吉林预赛】若sinθ+cosθ = 7
5
,且tanθ<1,则sinθ =   
 
     
 
     
 
  .
31．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】对任意闭区间I，用M I表示函数y =sin x在I 上的最大值.若正
数a 满足M[0,a]=2 M[a,2a]，则a 的值为      
 
     
 
  .
32．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设α , β ∈(0,π ),cosα ,cos β是方程5x2－3x－1=0 的两根，
则sin α sin β的值为 
 
 
     
 
     
 
  .
33．【2018 年山西预赛】计算cos 2π
7 cos 4 π
7 cos 6 π
7
的值为________.
34．【2018 年江苏预赛】函数y =|cos x|-cos2 x( x∈R)的值域是________.
35．【2018 年贵州预赛】如图，在△ABD 中，点C 在AD 上，∠ABC =π
2 ，∠DBC =π
6
，AB=CD=1．
则AC=____．
 4 / 5
 5 / 5