43.勾股定理全章复习与巩固（提高）巩固练习_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

【巩固练习】
一.选择题
1. 在△ABC 中，若
1
,
2
,1
2
2





n
c
n
b
n
a
，则△ABC 是（    ）
A. 锐角三角形 　  B. 钝角三角形    C. 等腰三角形  　  D. 直角三角形
2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（    ）
A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30°
3．在下列说法中是错误的（   ）
    A．在△ABC 中，∠C＝∠A 一∠B，则△ABC 为直角三角形．
    B．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形．
    C．在△ABC 中，若
3
5
a
c

，
4
5
b
c

，则△ABC 为直角三角形．
    D．在△ABC 中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形．
4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A、B 处距河岸的距离AC、BD 的长分别为500m
和700m，且C、D 两地的距离为500m，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回
家，那么牧童至少要走（　　）
　
A．2900m
B．1200m
C．1300m
D．1700m
5. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（　　）
A．ab=h2　　　 B．a2+b2=h2　　　 C．
　　　 D．
 
6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于(    )
A.25
B.325             C.2197
D.405
7. 已知三角形的三边长为a
b
c
、、，由下列条件能构成直角三角形的是（    ）
A.




2
2
2
2
2
2
1
,
4
,
1
a
m
b
m c
m





B.




2
2
2
2
2
1
,
4 ,
1
a
m
b
m c
m





 
第1页 共8页
C.




2
2
2
2
2
1
,
2 ,
1
a
m
b
m c
m





D.




2
2
2
2
2
2
1
,
2
,
1
a
m
b
m c
m





8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则
弦五”的记载．如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验
证勾股定理．图2 是由图1 放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I
都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（　　）
　
A．90
B．100
C．110
D．121
二.填空题
9. 如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线AD＝2，则△ABC 的面积为______．
10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜
边AC 上，折痕为AD，则BD＝______．
11．已知：△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高AD＝12，BC＝_______．
12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE=1cm，P 为对角线BD 上
的任意一点，则AP+EP 的最小值是　　cm．
第2页 共8页
13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且BP=
BC．
如果用一根细线从点A 开始经过3 个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要　　
cm．
14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1 米，
∠B=90°，BC=4 米，AC=8 米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE=　　米时，有
DC2=AE2+BC2．
 15. 已知长方形OABC，点A、C 的坐标分别为OA=10，OC=4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上
运动，当△ODP 是腰长为5 的等腰三角形时，CP 的长为________．
16. 如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.
三.解答题
17.如图所示，已知D、E、F 分别是△ABC 中BC、AB、AC 边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，
AB＝4，AC＝3，
3
2
BD
CD 
，求：△ABC 的面积．
第3页 共8页
18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P 在底边上从B 向C 以
0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．
 
19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝ 6cm ，BC ＝ 8cm ,  ①如图1，现将纸片沿
直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，且与AB 重合,  则CD ＝ _________. 
  
  
  
图1                                   图2
② 如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，使点C 落在AB 中点H 上，点M、N 分别在AC、BC 上，则
2
AM
、
2
BN 与
2
MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.
20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6cm ，CD＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合在
一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）.现固定AB 边不动，转动这
个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.
位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；
位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．
（1）在图2 中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；
（2）在图3 中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）
（3）利用图2、图3 求图1 的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
【解析】因为



2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
c
a
n
n
n
n






＝4
2
2
n
b

，所以
2
2
2
c
a
b


，
第4页 共8页
A
B
C
H
M
N
A
C
B
D
2
2
2
a
b
c


，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．
2.【答案】C；
【解析】连接AC，计算AC2＝BC2＝5,AB2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角
三角形，∴∠ABC＝45°.
3.【答案】D；
  【解析】D 选项
2
2
2
2
2
4


，故不是直角三角形.
4.【答案】C；
  【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，
如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m）．
5.【答案】D；
【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：
．再结合勾股定理：a2+b2=c2．进行等
量代换，得a2+b2= 
．两边同除以a2b2，得
．
6．【答案】B；
【解析】

2
2
2
2
2
2
AC
BC
AC
BC
AC BC
AB
AB CD








＝169＋2×13×6＝
325.
7.【答案】B；
  【解析】



2
2
1
4
1
m
m
m




.
8.【答案】C；
【解析】如图，延长AB 交KF 于点O，延长AC 交GM 于点P，所以，四边形AOLP 是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为
10×11=110．故选C．
二.填空题
9．【答案】6；
第5页 共8页
【解析】延长AD 到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE 为直角三角形．
10．【答案】3；
【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD＝x ，则DE＝BD＝x ，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8
－x ，在Rt△CDE 中根据勾股定理列方程．
11.【答案】14 或4；
【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC＝9－5＝
4.
12．【答案】5
   【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值
5.
13．【答案】5
   【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且BP=
BC，∴AC=4cm，PC=
BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5.
14．【答案】
   【解析】连接CD，假设AE=x，可得EC=8﹣x．∵DE=1，∴DC2=DE2+EC2=1+（8﹣x）2，
AE2+BC2=x2+16，∵DC2=AE2+BC2，∴1+（8﹣x）2=x2+16，x=
.
15.【答案】3，2， 8；
【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形
1
OPD ，因为
1
OP ＝5，
1
1
4
PH
OC


，
所以由勾股定理求得
1
3
OH 
，所以
，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出
.如图所示.
第6页 共8页
16．【答案】90°；
【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴  CM＝AB＝5  AM＝2AD＝12
在△ACM 中
2
2
2
5
12
13


  即
2
2
2
CM
AM
AC


∴∠AMC＝∠BAD=90°
三.解答题
17.【解析】
解：∵
3
2
BD
CD 
，设BD＝3 x ，则CD＝2 x ，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，
即AF＝3－2 x ，AE＝4－3 x ，
∴  3－2 x ＝4－3 x ，解得x ＝1．∴  BC＝3 x ＋2 x ＝5
又∵  
2
2
2
3
4
5


，即
2
2
2
AC
AB
BC


∴  △ABC 是直角三角形，∠A＝90°．
∴  
1
1
4 3
6
2
2
ABC
S
AB
AC




△
18．【解析】
解：如图，作AD BC
⊥
，交BC 于点D，
　 　 　∵BC=8cm，
　 　 　∴BD=CD= BC=4cm，
　 　 　∴AD=3，
　 　 　分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC
⊥
时，
　 　 　∵AP2=PD2+AD2=PC2
AC
﹣
2，∴PD2+AD2=PC2
AC
﹣
2，
　 　 　∴PD2+32=（PD+4）2
5
﹣2 PD=2.25
∴
，
BP=4
2.25=1.75=0.25t
∴
﹣
，
t=7
∴
秒，
当点P 运动t 秒后有PA AB
⊥
时，同理可证得PD=2.25，
BP=4+2.25=6.25=0.25t
∴
，
t=25
∴
秒，
∴点P 运动的时间为7 秒或25 秒．
第7页 共8页
P
H
N
M
C
B
A
19. 【解析】
解：①3；
② 
2
AM ＋
2
BN ＝
2
MN 
证明：过点B 作BP∥AC 交MH 延长线于点P，连接NP，
      ∴∠A＝∠PBH
      在△AMH 和△BPH 中
        ∠A＝∠PBH
        AH＝BH
        ∠AHM＝∠BHP
      ∴△AMH≌△BPH
      ∴AM＝BP，MH＝PH
     又∵NH⊥MP
      ∴MN＝NP
      ∵BP∥AC，∠C＝90
      ∴∠NBP＝90
      ∴
2
2
2
NP
BN
BP


∴
2
AM ＋
2
BN ＝
2
MN
20.【解析】
 
解：（1）∵  在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝
，
　 　 　 ∴  在图2 中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．
   （2）位置二的图形见图3．
   （3）∵  在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，
　 　 　 ∴  在图3 中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．
　 　 　 在△ACD 中，∠C＝90°
　 　 　 由勾股定理得
2
2
2
AC
CD
AD


．
　 　 　 ∴  
2
2
2
(6
)
15
(
9)
x
x




．
　 　 　 整理，得
2
2
12
36
225
18
81
x
x
x
x






．
　 　 　 化简，得6 x ＝180．
　 　 　 解得  x ＝30．
　 　 　 即  BC＝30．
　 　 　 ∴  AD＝39．
第8页 共8页