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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题14 三角函数与解三角形第一缉
1．【2021 年江西预赛】△ABC 中,AB=c ,BC =a, AC =b ,且a
4+b
4+c
4=2c
2(a
2+b
2) ,若∠A =72
° ,则
∠B =
.
【答案】63
【解析】cos
2C =(
a
2+b
2-c
2
2ab )
2
= a
4+b
4+c
4+2a
2b
2-2c
2(a
2+b
2)
4 a
2b
2
= 2a
2b
2
4 a
2b
2 = 1
2
，
cosC =±
❑√2
2
,但C <180
° - A =108
°,cosC =
❑√2
2 ,C = 45
° ,
因此B =180
°- A -C =63
°.
2．【2021 年江西预赛】
1
sin10
° -
❑√3
cos10
° 的值是
.
【答案】4
【解析】
1
sin10
° -
❑√3
cos10
° = cos10
°- ❑√3sin10
°
sin10
°⋅cos10
°
= 4⋅
1
2 cos10
°-
❑√3
2 sin10
°
2sin10
°cos10
°
= 4⋅sin 20
°
sin 20
° = 4.
3．【2021 年吉林预赛】已知α , β ∈(
3 π
4 ,π),sin(α + β)=- 3
5 , sin(β - π
4)= 12
13
.则cos(α + π
4)
的值为
.
【答案】- 56
65
【解析】因为α , β ∈(
3 π
4 ,π)
.所以α + β ∈(
3 π
2 ,2π), β - π
4 ∈(
π
2 , 3 π
4 )
.
因为sin(α + β)=- 3
5 ,sin(β - π
4)= 12
13
,
2 / 17
所以cos(α + β)= 4
5 , cos(β - π
4)=- 5
13
.
所以cos(α + π
4)=cos(α + β -(β - π
4))
=cos(α + β)cos(β - π
4)+sin(α + β)sin(β - π
4)
= 4
5 ×(- 5
13)+(- 3
5)× 12
13 =- 56
65
.
4．【2021 年福建预赛】若5 π 是函数f ( x)=cosnx⋅sin 80
n
2 x 的一个周期,则正整数n 的所有可能取值为
.
【答案】2,10
【解析】由5 π 是函数f ( x)=cosnx⋅sin 80
n
2 x 的一个周期，得：
f (5 π )=cos5nπ ⋅sin 80
n
2 ⋅5 π = f (0)=0 ，
由于n 为正整数吋,cos5nπ =±1≠0 ,于是sin 400
n
2 π =0 .
所以，400
n
2 π =kπ (k ∈Z ),n
2∣400 .
于是,n=1,2,4,5,10,20.
将n=1,2,4,5,10,20 逐一代入验证可矢,n=2,10.
所以，正整数n 的所有可能取值为2，10.
5．【2021 年浙江预赛】计算sin
220
∘+cos
250
∘+sin 20
∘cos50
∘=
.
【答案】3
4
【解析】原式=sin
220
°+cos10
°cos50
°= 1-cos 40
°
2
+
1
2 +cos 40
°
2
= 3
4
.
6．【2021 年浙江预赛】在△ABC 中,∠B =∠C =30
°,BC =2❑√3, P ,Q 分别在线段AB 和AC 上,
AP =1, AQ = ❑√2 ,直线AD⊥BC 于D 。现将三角形△ABC 沿着AD 对折，当平面ADB 与平面ADC 的
3 / 17
二面角为60°时，则线段PQ 的长度为
.
【答案】❑√3- 5 ❑√2
4
【解析】依题意可知∠BDC =60
∘ ，又BD =CD = ❑√3 ，所以BC = ❑√3 ，所以
cos∠PAQ = A P
2+ A Q
2- PQ
2
2 AP⋅AQ
= A B
2+ A C
2- BC
2
2 AB⋅AC
，即3- PQ
2
2❑√2
= 5
8
, 可得 PQ = ❑√3- 5 ❑√2
4
.
7．【2021 年浙江预赛】已知△ABC 三个顶点的坐标为A(0,0),B(7,0),C(3,4) ,过点(6-2❑√2,3- ❑√2)
的直线分别与线段AC,BC 交于P,Q。若SΔPQC = 14
3
,则|CP|+|CQ|=
.
【答案】4+ 4 ❑√2
3
【解析】如下图所示,
设 D(6-2❑√2,3- ❑√2) , 易知 AC : y = 4
3 x , BC : y =7- x ,
可得 d D - AC =d D - BC =3- ❑√2 ,
则 S△PQC = (3- ❑√2)|CP|+|CQ|)
2
= 14
3
, 故得 |CP|+|CQ|= 4+ 4 ❑√2
3
.
8．【2021 年广西预赛】设sin α +sin β = 4
5
❑√2, cosα +cos β = 4
5
❑√3 ,则tan α + tan β =
.
4 / 17
【答案】❑√6
【解析】tan α + β
2
= sin α +sin β
cosα +cos β =
❑√2
❑√3 , cos(α - β)= 3
5 .
故tan α + tan β = sin(α + β)
cosα cos β =
2sin(α + β)
cos(α - β)+cos(α + β) = ❑√6.
9．【2021 年新疆预赛】sin
2100
°-sin50
°sin70
°=
.
【答案】1
4
【解析】
方法一:原式=cos
210
°-sin50
°sin70
°= 1
2 + 1
2 cos20
°+ 1
2 (cos120
°-cos20
°)= 1
4
；
方法二:原式=cos
210
°-sin50
°sin70
°= 1
2 + 1
2 cos20
°-sin50
°sin70
°
= 1
2 + 1
2 cos(70
°-50
°)-sin50
°sin70
°= 1
2 + 1
2 (cos50
°cos70
°+sin50
°sin70
°)-sin50
°sin70
°
= 1
2 + 1
2 (cos50
°cos70
°-sin50
°sin70
°)= 1
2 + 1
2 cos120
°= 1
4
.
10 ．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】设函数f (x)=cos x +log2 x (x>0), 若正实数a满足
f (a)= f (2a)
,则f (2a)- f (4 a)
的值为
.
【答案】-3或-1
【解析】由条件得cosa+log2a=cos2a+log22a=2cos
2a-1+1+log2a,所以cosa=2cos
2a,
进而得cosa=0或1
2
,相应有cos2a=2cos
2a-1=-1或- 1
2
.
于是f (2a)- f (4 a)=cos2a+log22a-cos4 a-log24 a=cos2a-2cos
22a={
-3,若cos2a=-1
-1,若cos2a=- 1
2
.
11．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】在△ABC中,AB =1, AC =2,B -C = 2π
3
,则△ABC的面积为
.
5 / 17
【答案】3 ❑√3
14
【解析】由正弦定理可得：sin B
sinC = AC
AB =2，又B -C = 2π
3
，
故：2sinC =sin B =sin(C + 2
3 π)=- 1
2 sinC +
❑√3
2 cosC，
即5
2 sinC =
❑√3
2 cosC,所以tanC =
❑√3
5
.
记
△ABC的
面
积
为
S.
注
意
到
A = π - B -C = π
3 -2C,
故
S = 1
2 AB⋅AC ⋅sin A =sin A =
❑√3
2 cos2C - 1
2 sin2C.
由
tanC =
❑√3
5
知
cos2C = 1-tan
2C
1+tan
2C
= 11
14 ,sin2C = 2tanC
1+tan
2C
= 5 ❑√3
14
,
从
而
S =
❑√3
2 ⋅11
14 - 1
2 ⋅5 ❑√3
14 = 3 ❑√3
14
12．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】当π
4 ≤x ≤π
2
时,y =sin
2 x + ❑√3sin xcos x的取值范围是
.
【答案】[1, 3
2]
【解析】y =sin
2 x + ❑√3sin xcos x = 1-cos2 x
2
+
❑√3
2 sin2 x =sin(2 x - π
6)+ 1
2
.
当π
4 ≤x ≤π
2
时,π
3 ≤2 x - π
6 ≤5 π
6
,故sin(2 x - π
6)
的取值范围是[
1
2 ,1].
所以y的取值范围是[1, 3
2].
6 / 17
13．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】在△ABC中,AB =1, AC =2,cosB =2sinC,则BC的长为
.
【答案】
❑√2+ ❑√14
2
【解析】由正弦定理知sin B
sinC = AC
AB =2,故sin B =2sinC =cosB,即tan B =1,于是B = π
4 .
设BC =a>0.由余弦定理知4 =1+a
2-2a⋅
❑√2
2
,故a=
❑√2+ ❑√14
2
.
14．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在△ABC中, AB =6,BC = 4,边AC 上的中线长为❑√10,则
sin
6 A
2 +cos
6 A
2
的值为
.
【答案】211
256
【解析】记M 为AC 的中点,由中线长公式得4 B M
2+ A C
2=2( A B
2+ BC
2),
可得AC =
❑√2(6
2+ 4
2)- 4⋅10=8.
由余弦定理得cos A = C A
2+ A B
2- BC
2
2CA ⋅AB
= 8
2+6
2- 4
2
2⋅8⋅6 = 7
8
,所以
sin
6 A
2 +cos
6 A
2 =(sin
2 A
2 +cos
2 A
2 )(sin
4 A
2 -sin
2 A
2 cos
2 A
2 +cos
4 A
2 )
=(sin
2 A
2 +cos
2 A
2 )
2
-3sin
2 A
2 cos
2 A
2
=1- 3
4 sin
2 A
= 1
4 + 3
4 cos
2 A = 211
256
.
15．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在三角形ABC 中,BC=4,CA=5,AB=6,则sin
6 A
2 +cos
6 A
2 =
.
【答案】43
64
【解析】由余弦定理得cos A = C A
2+ A B
2- BC
2
2CA ⋅AB
= 5
2+6
2- 4
2
2⋅5⋅6 = 3
4
,所以
7 / 17
sin
6 A
2 +cos
6 A
2 =(sin
2 A
2 +cos
2 A
2 )(sin
4 A
2 -sin
2 A
2 cos
2 A
2 +cos
4 A
2 )
=(sin
2 A
2 +cos
2 A
2 )
2
-3sin
2 A
2 cos
2 A
2
=1- 3
4 sin
2 A
= 1
4 + 3
4 cos
2 A = 43
64
.
16．【2020 年福建预赛】已知f ( x)=3cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π ) ，若f(
5 π
8 )=0,f(
11π
8 )=3 ,且
f ( x) 的最小正周期大于2π ,则φ =
.
【答案】- 11π
12
【解析】由f(
5 π
8 )=0,f(
11π
8 )=3 ,得
5 π
8 ω+φ =kπ + π
2
,
11π
8
ω+φ=2mπ ①
其中,k ,m∈Z .
两式相减得3 π
4 ω=2mπ -kπ - π
2
⇒ω= 4
3(2m-k - 1
2)(m,k ∈Z ).
又f ( x) 的最小正周期大于2π ,得2π
ω >2π ⇒0<ω<1 .
则0< 4
3(2m-k - 1
2)<1
⇒1
2 <2m-k < 5
4
.
由m,k ∈Z ,得2m-k =1 .
8 / 17
从而,ω= 2
3
.
将ω= 2
3
代人式①得
φ =2mπ - 11π
12 (m∈Z ) .
结合|φ|<π ,得φ=- 11π
12
.
17．【2020 年广西预赛】设θ1,θ2 为锐角,且sin
2020θ1
cos
2018θ2
+ cos
2020θ1
sin
2018θ2
=1 .则θ1+θ2=
.
【答案】π
2
【解析】注意到，sin
2020θ1
cos
2018θ2
+cos
2θ2+⋯+cos
2θ
¿ 2
⩾1010( sin
2020θ1
cos
2018θ2
⋅cos
2θ2⋯⋯cos
2θ
¿ 2)
1
1010
=1010sin
2θ1
.
类似地，cos
2020θ1
sin
2018θ2
+sin
2θ2+⋯+sin
2θ
¿ 2
⩾1010cos
2θ1
.
故sin
2020θ1
cos
2018θ2
+ cos
2020θ1
sin
2018θ2
⩾1.
由等号成立,知θ1+θ2= π
2
.
18．【2020 年浙江预赛】设x∈R .则y =
sin x
2-cos x
的最大值为
.
【答案】
❑√3
3
【解析】如图3,设A(cosθ ,sinθ),B(2,0).
9 / 17
则k AB=-sinθ
2-cosθ
.
故-k ∈[-
❑√3
3 ,
❑√3
3 ] .
因此,kmax =
❑√3
3
.
19．【2020 年新疆预赛】△ABC 的三边分别为a,b,c,点O 为△ABC 的外心，已知b
2-2b+c
2=0 ,那么⃗
BC ⋅⃗AO 的取值范园是
.
【答案】[- 1
4 ,2)
【解析】延长A0 交△ABC 的外接圆于D ,得到⃗
BC ⋅⃗AO =⃗AO⋅⃗AC -⃗AO⋅⃗AB = 1
2⃗AD⋅⃗AC - 1
2⃗AD⋅⃗AB
= 1
2 (b
2-c
2)=(b- 1
2 )
2
- 1
4
.
因为c
2=-b
2+2b>0 ,所以b∈(0,2) ,故⃗BC ⋅AO∈[- 1
4 ,2) .
故答案为:[- 1
4 ,2) .
20．【2020 年新疆预赛】已知函数f ( x)=sin(ωx - π
6 )(ω>0) ,若f (0)=- f ( π
2 ),H(0, π
2 ) 上有且仅有三
个零点，则ω=
.
【答案】14
3
或6
【解析】因为f (0)=- f ( π
2 ) ,所以1
2 =sin( π
2 ω- π
6 ) .即π
2 ω- π
6 = π
6 +2kπ 或π
2 ω- π
6 = 5 π
6 +2kπ ,即
10 / 17
ω= 2
3 + 4 k 或ω=2+ 4 k ,(k ∈Z ) ,又因为在(0, π
2 ) 上有且仅有三个零点,2π
ω < π
2 < 4 π
ω
，所以4<ω<8 ,
所以ω= 14
3
或6.
21 ．【2019 年全国】对任意闭区间I ，用M I表示函数y=sinx 在I 上的最大值. 若正数a 满足
M[0,a]=2 M[a,2a]，则a 的值为
.
【答案】5 π
6
或13 π
12
【解析】由图像分析得a= 5 π
6
或2a= 13 π
6
.
22．【2019 年江苏预赛】已知△ABC中，AC =8,BC =10,32cos( A - B)=31，则△ABC的面积是
.
【答案】15 ❑√7.
【解析】由正弦定理，得10
sin A =
8
sin B =
2
sin A -sin B =
18
sin A +sin B
，
由32cos( A - B)=31，
可得tan A + B
2
=9 tan A - B
2
=9- ❑√
1-cos( A - B)
1+cos( A - B) =9⋅❑√
1
63 = 3
❑√7
，
所以sinC =sin( A + B)=
2tan A + B
2
1+ tan A + B
2
= 3 ❑√7
8
.
即△ABC的面积S =15 ❑√7.
另解：由题设知，∠BAC >∠B，作∠BAD =∠B , D在线段BC上.则∠CAD =∠A -∠B.
设AD = x，则BD = x , DC =10- x，
由余弦定理得(10- x)
2= x
2+64 -2×8 x× 31
32
.
解得x =8，则DC =10- x =2，
由此可得cosC = 1
8 ,sinC = 3 ❑√7
8
，则△ABC的面积S =15 ❑√7.
11 / 17
23
．
【
2019
年
江
西
预
赛
】
△
ABC
的
三
个
内
角
A,B,C
满
足
A=3B=9C,
则
cos A cos B+cos BcosC +cosC cos A =
.
【答案】- 1
4
【解析】设C =θ , B =3θ , A =9θ,由θ+3θ+9θ = π,得θ = π
13
,
S =cos A cos B+cos BcosC +cosC cos A =cos 9 π
13 cos 3 π
13 +cos 3 π
13 cos π
13 +cos π
13 cos 9 π
13
= 1
2[(cos 12π
13 +cos 6 π
13)+(cos 4 π
13 +cos 2π
13)+(cos 10 π
13 +cos 8 π
13)]
.
注意括号中的诸角度构成公差为2π
13
的等差数列两边通乘4 sin π
13
,得到：
4 S⋅sin π
13 =2sin π
13(cos 2π
13 +cos 4 π
13 +cos 6 π
13 +cos 8 π
13 +cos 10 π
13 +cos 12π
13 )
=(sin 3 π
13 -sin π
13)+(sin 5 π
13 -sin 3 π
13)+(sin 7 π
13 -sin 5 π
13)+(sin 9 π
13 -sin 7 π
13)
+(sin 11π
13 -sin 9 π
13)+(sin 13 π
13 -sin 11π
13 )=-sin π
13
.
所以S =- 1
4
.
24．【2019 年内蒙古预赛】已知sin[2(α + β)]=nsin 2γ,则tan(α + γ + β)
tan(α - γ + β) =
.
【答案】n+1
n-1
12 / 17
【解析】∵sin[(α + β + γ )+(α + β - γ )]=nsin[(α + β + γ )-(α + β - γ )]
∴tan(α + γ + β)
tan(α - γ + β) = n+1
n-1.
25．【2019 年新疆预赛】设1+sin x
cos x
= 22
7
且1+cos x
sin x
= m
n
，其中m
n
为最简分数，则m+n=
.
【答案】44
【解析】注意到sin x =2sin x
2 cos x
2
，cos x =cos
2 x
2 -sin
2 x
2
且1=cos
2 x
2 +sin
2 x
2
.
由1+sin x
cos x
= 22
7
可得1+sin x
cos x
=
cos
2 x
2 +sin
2 x
2 +2sin x
2 cos x
2
cos
2 x
2 -sin
2 x
2
=
cos x
2 +sin x
2
cos x
2 -sin x
2
= 22
7
，
即15cos x
2 =29sin x
2
.于是
m
n = 1+cos x
sin x
=
1+2cos
2 x
2 -1
2sin x
2 cos x
2
=
cos x
2
sin x
2
= 29
15
.
从而m+n=29+15= 44.
26．【2019 年浙江预赛】设θ∈(0, π
2)
，则
2sinθcosθ
(sinθ+1)(cosθ+1)
的最大值为
.
【答案】6- 4 ❑√2
【解析】令t =sinθ+cosθ，则t = ❑√2sin(θ+ π
4)∈(1,❑√2].
2sinθcosθ
(sinθ+1)(cosθ+1) =
t
2-1
t
2-1
2
+t +1
=2- 4
t +1 ∈(0,6- 4 ❑√2].
27．【2019 年重庆预赛】tan15
o+2❑√2sin15
o=________.
【答案】 1
【解析】
tan15
o+2❑√2sin15
o=sin15
o
cos15
o +2❑√2sin15
o=sin15
o+ ❑√2sin30
o
cos15
o
=sin15
o+ ❑√2sin(45
o-15
o)
cos15
o
=sin15
o+ ❑√2(sin 4
13 / 17
.
28．【2019 年福建预赛】在△ABC 中，若AC = ❑√2, AB =2，且
❑√3sin A +cos A
❑√3cos A -sin A = tan 5 π
12 ，则BC=
.
【答案】❑√2
【解析】由
❑√3sin A +cos A
❑√3cos A -sin A = tan 5 π
12
，得
2sin(A + π
6)
2cos(A + π
6)
= tan 5 π
12
，即tan(A + π
6)= tan 5 π
12
.
∴A + π
6 = 5 π
12 +kπ , k ∈Z.结合0< A <π，得A + π
6 = 5 π
12 , A = π
4
.
∴由余弦定理，得：
BC
2= A C
2+ A B
2-2⋅AC ⋅AB⋅cos A =(❑√2)
2+2
2-2⋅❑√2⋅2⋅cos π
4 =2.
∴BC = ❑√2.
29．【2019 年广西预赛】如果函数y =2sin(2 x +φ)的图像关于点( 2π
3 ,0)中对称,那么|φ|的最小值为
.
【答案】π
3
【解析】依题意有
2sin(
4 π
3 +φ)=0⇒4 π
3 +φ =kπ(k ∈Z)⇒|φ|=|k - 4
3|π ⩾π
3
.
当k=1 取到等号,所以|φ|min= π
3
30．【2019 年吉林预赛】若sinθ+cosθ = 7
5
,且tanθ<1,则sinθ =
.
【答案】3
5
【解析】将sinθ+cosθ = 7
5
两边平方可得2sinθcosθ = 24
25
.
由此可得(sinθ -cosθ)
2=1-2sinθcosθ =1- 24
25 = 1
25
，
14 / 17
故sinθ -cosθ =± 1
5
则¿或¿.
解得¿或¿.
因为tanθ<1,所以sinθ = 3
5
.
31．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】对任意闭区间I，用M I表示函数y =sin x在I 上的最大值.若正
数a 满足M[0,a]=2 M[a,2a]，则a 的值为
.
【答案】5
6 π或13
12 π.
【解析】假如0<a⩽π
2
，则由正弦函数图象性质得0< M[0,a]=sin a⩽M[a,2a]，
与条件不符.
因此a> π
2
，此时M[0,a]=1，故M[a,2a]= 1
2
.
于是存在非负整数k，使得2kπ + 5
6 π ⩽a<2a⩽2kπ + 13
6 π
①
且①中两处“≤”至少有一处取到等号.
当k=0 时，得a= 5
6 π或2a= 13
6 π.经检验，a= 5
6 π或13
12 π均满足条件.
当k≥1 时，由于2kπ + 13
6 π <2(2kπ + 5
6 π)
，故不存在满足①的a.
综上，a 的值为5
6 π或13
12 π.
32．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设α , β ∈(0,π ),cosα ,cos β是方程5x2－3x－1=0 的两根，
则sin α sin β的值为
.
【答案】
❑√7
5
【解析】由条件知cosα +cos β = 3
5 ,cosα cos β =- 1
5
，从而
(sin α sin β)
2=(1-cos
2α)(1-cos
2 β)=1-cos
2α -cos
2 β +cos
2α cos
2 β
15 / 17
=(1+cosα cos β)
2-(cosα +cos β)
2=(
4
5)
2
-(
3
5)
2
= 7
25
.
又由α , β ∈(0,π )知sin α sin β >0，从而sin α sin β =
❑√7
5
.
33．【2018 年山西预赛】计算cos 2π
7 cos 4 π
7 cos 6 π
7
的值为________.
【答案】1
8
【解析】
记
S =cos 2π
7 cos 4 π
7 cos 6 π
7
，
则
- S⋅8sin π
7 =8sin π
7 ⋅cos π
7 cos 2π
7 cos 4 π
7 = 4 sin 2π
7 ⋅cos 2π
7 cos 4 π
7 =2sin 4 π
7 cos 4 π
7 =sin 8 π
7 =-sin π
7
所以，S = 1
8
.
34．【2018 年江苏预赛】函数y =|cos x|-cos2 x( x∈R)的值域是________.
【答案】[0, 9
8 ]
【解析】
y =|cos x|-cos2 x =-2|cos x|
2+|cos x|+1=-2(|cos x|- 1
4 )
2
+ 9
8
，因为0≤|cos x|≤1，所以
0≤y ≤9
8
.
故答案为：[0, 9
8 ]
35．【2018 年贵州预赛】如图，在△ABD 中，点C 在AD 上，∠ABC =π
2 ，∠DBC =π
6
，AB=CD=1．
则AC=____．
16 / 17
【答案】x =
3√2
【解析】
在△ABD 中，
AD
sin120
∘=
1
sin D ⇒sin D =
❑√3
2( x +1)（其中AD=x） ①
在△BCD 中，BC
sin D =
1
sin30
∘⇒
❑√x
2-1
sin D =2⇒sin D =
❑√x
2-1
2
②
由①②得
❑√3
2( x +1) =
❑√x
2-1
2
⇒( x +1)
❑√x
2-1= ❑√3⇒x
4+2 x
3-2 x - 4 =0
⇒( x +2)( x
3-2)=0，因为x+2>0，∴x3=2．即x =
3√2
．
故答案为：x =
3√2
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