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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题15 三角函数与解三角形第二缉
1．【2018 年贵州预赛】若边长为6 的正△ABC 的三个顶点到平面α 的距离分别为1， 2，3，则△ABC 的
重心G 到平面α 的距离为_______．
2．【2018 年贵州预赛】函数y =2(5- x)sinnx -1(0≤x ≤10)的所有零点之和等于________．
3
．
【
2018
年
浙
江
预
赛
】
已
知
α ，β ∈(
3π
4 ，π)，cos(α + β)= 4
5
，
得
sin(α + β)=- 3
5 ，cos(α -π
4 )=- 5
13，所以cos(β +π
4 )=_____
4．【2018 年浙江预赛】在△ABC 中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A 的最小值为________.
5．【2018 年浙江预赛】设x，y ∈R满足x -6 ❑√y - 4 ❑√x - y +12=0，则x 的取值范围为________.
6．【2018 年重庆预赛】在△ABC 中，sin
2 A +sin
2C =2018sin
2B，则(tan A + tanC )tan
2B
tan A + tan B+ tanC =________．
7．【2018 年陕西预赛】设ΔABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且A -C = π
2 .a,b,c成等差数列，
则cos B =________.
8．【2018 年陕西预赛】设ΔABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且A -C = π
2 .a,b,c成等差数列，
则cos B =________.
9．【2018 年陕西预赛】设ΔABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且A -C = π
2 .a,b,c成等差数列，
则cos B =________.
10．【2018 年湖南预赛】函数f ( x)= sinx +2|sinx|，x∈[0,2π ]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同
的交点，则k 的取值范围是_____.
11．【2018 年广东预赛】已知△ABC 的三个角A、B、C 成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、
4
❑√3 b成等比数列，则S ΔABC:a
2=___________.
12．【2018 年贵州预赛】如图，在△ABD 中，点C 在AD 上，∠ABC =π
2 ，∠DBC =π
6
，AB=CD=1．
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则AC=____．
13．【2018 年贵州预赛】函数y =2(5- x)sin πx -1 (0≤x ≤10)的所有零点之和等于__________.
14．【2018 年广西预赛】设sin x +cos x = 1
2
.则sin
3 x +cos
3 x =________.
15．【2018 年安徽预赛】函数f (x)=|sin 2 x +sin3 x +sin 4 x|的最小正周期=_________.
16．【2018 年湖北预赛】若对任意的θ∈[0, π
2]
，不等式4+2sinθcosθ -asinθ -acosθ<0恒成立，则
实数a的最小值为______.
17．【2018 年湖北预赛】设G 为ΔABC的重心，若BG⊥CG ,BC = ❑√2，则AB+ AC的最大值为______.
18．【2018 年河北预赛】在△ABC 中，AC =3，sinC =k sin A(k ≥2)，则△ABC 的面积最大值为_____.
19．【2018 年河北预赛】已知
sinθ
❑√3cosθ+1 >1．则tanθ的取值范围是________．
20．【2018 年河北预赛】在△ABC 中，AC =3，sinC =k sin A(k ≥2)，则△ABC 的面积最大值为_____.
21．【2018 年四川预赛】在ΔABC中，cos B = 1
4
，则
1
tan A +
1
tanC
的最小值为______.
22．【2018 年浙江预赛】已知α , β ∈(
3 π
4 ,π)，cos(α + β)= 4
5 ，sin(α - π
4)= 12
13
，则cos(β + π
4)=
________.
23．【2018 年浙江预赛】在△ABC 中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A 的最小值为________.
24．【2018 年辽宁预赛】在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c.若a
2+b
2=2019c
2，则
cot C
cot A +cot B
=_____.
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25．【2018 年江西预赛】若三个角x、y 、z成等差数列，公差为π
3
，则
tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x =______．
26．【2018 年山西预赛】计算cos 2π
7 cos 4 π
7 cos 6 π
7
的值为________.
27．【2018 年湖南预赛】如果函数y =3cos(2 x +φ)的图象关于点( 4 π
3 ,0)中心对称，那么|φ|的最小值
为_____.
28．【2018 年湖南预赛】若3sin
3 x +cos
3 x =3，则sin
2018 x +cos
2018 x的值为__________.
29．【2018 年福建预赛】在△ABC中，内角A 、B、C所对的边分别是a、b、c．若
a=2，b=3，C =2 A，则cosC =______．
30．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设α , β满足tan(α + π
3)=-3,tan(β - π
6)=5，则tan(α - β)
的值为
.
31．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点若
∠A = π
3
，△ABC 的面积为❑√3，则⃑AM ⋅⃑AN的最小值为
.
32．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在△ABC 中，若sin A =2sinC，且三条边a、b、c 成等比数
列，则cos A的值为
.
33．【2017 年河北预赛】设函数f (x)= x
3+ x,若0≤θ≤π
2
时,f (mcosθ)+ f (1-m)>0恒成立,则实数m的取
值范围为
.
34．【2017 年河北预赛】函数f (x)=sin(
π
4 x - π
6)-2cos
2 π
8 x +1的图象与函数y = g(x)的图象关于直线
x =1对称,当x∈[0, 4
3]
时,g(x)的最大值为
.
35 ．【2017 年河北预赛】正三角形ABC的边长为2❑√3, 其所在平面内的两个动点P , M满足
4 / 5⃗
AP∣=1,⃗PM =⃗MB,则|⃗CM|的最小值为
.
5 / 5
