文档文本内容
专题16 妙解离心率问题
【目录】
...........................................................................................................................................2
.............................................................................................................................................3
...........................................................................................................................................4
...........................................................................................................................................4
...........................................................................................................................................6
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题..........................................................................6
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率...............................................................................................................7
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题...................................................................................................................8
考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体..................................................................................................................... 9
考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体...................................................................................................................10
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题..........................................................................................................10
考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形................................................................................................................11
考点八：焦点到渐近线距离为b.........................................................................................................................12
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形..................................................................................................13
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题...............................................................................................14
考点十一：渐近线平行线与面积问题.................................................................................................................15
考点十二：数形结合转化长度角度.....................................................................................................................16
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
考点要求
考题统计
考情分析
离心率
2023 年新高考I 卷第5、16 题，10 分
离心率问题一直是高考每年
2023 年甲卷第9 题，5 分
2022 年甲卷第10 题，5 分
2022 年浙江卷第16 题，4 分
2021 年甲卷第5 题，5 分
2021 年天津卷第8 题，5 分
必考，对圆锥曲线概念和几
何性质的考查为主，一般不
会出太难，二轮复习我们需
要掌握一些基本的性质和常
规的处理方法，挖掘椭圆双
曲线的几何性质下手．
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上的任意一点，
；
为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线
上的任一点，
．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上的动点，
若
，则椭圆离心率的取值范围为
．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2023•新高考
）设椭圆
Ⅰ
，
的离心率分别为
，
．若
，
则
A．
B．
C．
D．
2 ．（2023• 甲卷）已知双曲线
的离心率为
，
的一条渐近线与圆
交于
，
两点，则
A．
B．
C．
D．
3．（2022•甲卷）椭圆
的左顶点为
，点
，
均在
上，且关于
轴对称．若
直线
，
的斜率之积为
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
4．（2021•甲卷）已知
，
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，
则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
5．（2021•天津）已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于
，
两点，交双曲线的渐近线于
，
两点，若
，则双曲线的离心
率为
A．
B．
C．2
D．3
6．（2022•甲卷）已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、右顶点，
为
的上顶点．若
，则
的方程为
A．
B．
C．
D．
7．（2022•全国）若双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则
的离心率为
A．5
B．
C．
D．
8．（
）
多选题
（2022•乙卷）双曲线
的两个焦点为
，
，以
的实轴为直径的圆记为
，过
作
的切线与
交于
，
两点，且
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
9．（2023•新高考
）已知双曲线
Ⅰ
的左、右焦点分别为
，
．点
在
上，
点
在
轴上，
，
，则
的离心率为 ．
10．（2022•浙江）已知双曲线
的左焦点为
，过
且斜率为
的直线交双曲线于
点
，
，交双曲线的渐近线于点
，
且
．若
，则双曲线的离心率是
．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：
e=
1
sinα+cosα =
1
√2sin(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
双曲线：
e=
1
cosα−sinα =
1
√2cos(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆
上一点
，它关
于原点的对称点为
，点
为椭圆右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭圆的
离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆
（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为
B，点F 为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设
，且
，则该椭圆的离心率e 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆
上有一点
，它
关于原点的对称点为
，点
为椭圆的右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭
圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线
右支上非顶点的一点
关
于原点
的对称点为
，
为其右焦点，若
，设
且
，则双曲线
离心率
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
是椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
的焦点，点
在椭圆上，∠F1PF 2=θ，则cosθ≥1−2e2（当且仅当
动点为短轴端点时取等号）．
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点
分别是椭圆
的左、右焦点，
点
是椭圆上的一个动点，若使得满足
是直角三角形的动点
恰好有6 个，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设
是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点
,使
,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知
，
是椭圆
的两个焦点，
若椭圆C 上存在点
，使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆
的两个焦点分别为
，若椭圆上存
在点
使得
是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
sin2 α
2
e
椭2
+
cos2 α
2
e
双2
=1
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
，
，
是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，则当
取最大值时，
，
的值分别是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
，
，
，
分别是它们在
第一象限和第三象限的交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，则
最小值等
于 ．
【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别
为
，且两条曲线在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形，若
，椭圆
与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体
椭圆与双曲线的4a 通径体
如图，若
，易知
，若
，则一定有
，根据
可得
，即
【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线
的左、右焦点分别是
、
，
过
的直线交双曲线
的左支于
、
两点，若
，且
，则双曲线
的离心率是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知
，
分别是椭圆
：
的
左、右焦点，过点
的直线交椭圆C 于M，N 两点.若
，且
，则椭圆C 的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆
的左､右焦点分别为
、
，过
作直线与椭圆相交于
、
两点，
，且
，则椭圆的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体
如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且⃗AF 1=λ⃗F1B ，∠AF 1F2=α ，则
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
如右图，若BF 2⊥AC ，AB过原点，且⃗AF 2=λ⃗F2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC，
|AF 2|= λ+1
2 ⋅b2
a ，借助公式
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
【例5】（2024·山东济南·校联考）设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
的直
线交椭圆于
，
两点，且
，
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设
分别是椭圆
的左、右焦点，
过点
的直线交椭圆
于
两点，若
，且
，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线交椭圆于A，B 两点，
，且
，椭圆
的离心率为
，则实数
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线
左右焦点为
，
，过
的直线与双曲线的右支交于P，Q 两点，且
，若
为以Q 为顶角的等腰三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线
左右焦点为
，
，过
的直线与双曲线的右支交于
，
两点，且
，若
为以
为顶角的等腰三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形
当
或者
时，令
,则一定存在①
，②
【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设
为双曲线
：
（
，
）的右焦点，直
线：
（其中为双曲线
的半焦距）与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点，若
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设
为双曲线C：
的右焦点，直线l：
（其中c 为双曲线C 的半焦距）与双曲线C 的左、右两支分别交于M，N 两点，若
，则双曲线C 的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线
的左､右
焦点分别为
，过点
作斜率为
的直线与双曲线
的左､右两支分别交于
两点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
过
的直线与双曲线
的左支交于
，
两点，连接
，
，在
中，
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．3
B．
C．
D．2
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线
，
，过右焦点作
，
，
由于渐近线方程为
，故
，且斜边
，故
，故
，
.
【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，直线与双曲线
的左支交于
点 ，且
恰为
线段
的中点，则双曲线
的离心率为 （ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点
（异于坐标原点
），若线段
交双曲线于点
，
且
则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点
，若线段
交双曲线于点
，且
，则双
曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线
：
的一个焦点为
，过
作双
曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
.若
(
为坐标原点)的面积等于
( 为双曲线
的半焦距)，
则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线
的左焦点为
，过点
的直线
与两条渐近线的交点分别为
两点(点
位于点M 与点N 之间)，且
，又过点
作
于P(点O 为坐标原点)，且
，则双曲线E 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）
是双曲线
的左焦点，过
点
作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
，交另一条渐近线于点
．若
，则此双曲线的离心
率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C：
(a>0，b>0)的右焦点F 引一条渐近
线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A．(
，+∞)
B．(
，+∞)
C．(2，+∞)
D．(3，+∞)
【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线
，过右焦点
作
的一条渐近
线的垂线，垂足为点
，与
的另一条渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
以F1F2为直径作圆，交一条渐近线
y=b
a x
于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α,则
∠BF 1F2=α
2，e=√1+tan2α
【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线
的右焦点
作
轴的垂线，与双曲线
及
其一条渐近线在第一象限分别交于
两点，且
为坐标原点），则该双曲线的离心率是
( )
A．2.
B．
C．
D．
【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设
，
是双曲线
：
的左、右焦点，以线
段
为直径的圆与直线
在第一象限交于点
，若
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线
的
左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，
则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，
，
且以
为直径的圆与双曲线
的渐近线在第四象限交点为
，
交双曲线左支于
，若
，则
双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点十一：渐近线平行线与面积问题
①双曲线C：
上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
a2b2
c2
②双曲线C：
上的任意点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交于A ，B 两点，则
|PA||PB|是一个常数
c2
4 ，
SAOBP =ab
2 ，⃗
OA⋅⃗OB = a2−b2
4
【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知
，
分别为双曲线C：
的左、右焦点，
过
作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N 两点．若
，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线
上一点
坐标为
为双曲线
的右焦点，且
垂直于
轴.过点
分别作双曲线
的两条渐近线的平行线，
它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线
：
（
，
）
右支上一点
作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点
，
，
为坐标原点，设
的面积
为，若
，则双曲线
的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
是
左支上一点，
，若存在点
满足
，则
的离心率为 .
【变式12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线
的左、右焦点分别
为
，点
在
上，且
，射线
分别交
于
两点（
为坐标原点），若
，则
的离心率为 ．
【变式12-2】（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
是C 上位于第一象限内的一点，且直线
轴的正半轴交于A 点，
的内切圆在边
上的切点为N，若
，则双曲线C 的离心率为 .
