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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题16 三角函数与解三角形第三缉
1．【2017 年山西预赛】若三个角x、y , z构成等差数列,其公差为π
3
,则tan x⋅tan y +tan y.
tan z +tan z⋅tan x =
.
2．【2017 年辽宁预赛】设f (x)是定义在R上的函数,满足f (x)+cos
2 x|≤3
4 ,|f (x)-sin
2 x∣≤1
4 ,则函数
f (x)的解析式为
.
3．【2017 年吉林预赛】已知锐角三角形ABC中,sin( A + B)= 3
5 ,sin( A - B)= 1
5 , AB =3,则△ABC的面积
为
.
4．【2017 年山东预赛】函数f (x)=sin x -1
❑√3-2cos x -2sin x
(0≤x ≤2π )的值域为
.
5．【2017 年山东预赛】在一个边长为a的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置,喷水装置可以90
∘旋转喷
水,每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边,其有效射程均为a,则草坪上能同时被四
个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为
.
6 ．【2017 年福建预赛】在△ABC中, 内角A ,B、C所对的边分别是a,b,c, 且
sinC cos A
2 =(2-cosC)sin A
2 cos A = 3
5 ,a= 4,则△ABC的面积为
.
7．【2017 年江西预赛】若sin x +cos x =
❑√2
2
,则sin
3 x +cos
3 x =
.
8．【2017 年贵州预赛】已知△ABC中,A = π
3 , AB
AC = 5
8
,内切圆半径r =2❑√3,则这个三角形的面积为
.
9．【2017 年安徽预赛】设圆内接四边形ABCD的边长分别为AB =3,BC = 4 ,CD =5,DA =6,则四边形
ABCD的面积是
.
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．
【
2017
年
安
徽
预
赛
】
设
θ∈[0,2π ],
若
对
任
意
x∈[0,1]恒
有
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2 x
2sinθ - 4 x (1- x)cosθ+3(1- x)
2>0,则θ的取值范围是
.
11．【2017 年广东预赛】设m、n均为正整数,则∑
k =0
m-1
cos 2kπ
m +∑
k =0
n-1
sin 2kπ
n =
.
12．【2017 年广东预赛】已知α , β ,γ是一个三角形的三个内角,如果cosα +cos β +cosγ取得最大值,则
sinα +sin β +sin γ =
.
13．【2017 年广西预赛】函数y =sin xcos x
1+sin x +cos x
的最大值是
.
14．【2017 年浙江预赛】设x , y ∈R,且sin
2 x -cos
2 x +cos
2 xcos
2 y -sin
2 xsin
2 y
sin(x + y)
=1,则x - y =
.
15．【2017 年湖南预赛】设0≤x ≤π,且3sin x
2 = ❑√1+sin x - ❑√1-sin x,则tan x =
.
16．【2017 年江苏预赛】若sin xsin2 xsin3 x +cos xcos2 xcos3 x =1,则x =
.
17．【2017 年新疆预赛】函数f (x)=(sin x -1)(cos x -1)(x∈R)的值域为
.
18．【2017 年新疆预赛】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB =1,BC =3,CD = DA =2,则四边形
ABCD的面积为
.
19．【2017 年新疆预赛】在Rt △ABC中,∠C =60
∘.以C为圆心,BC为半径的圆交AC于D点,连结BD .弧
^
BD与弦BD将△ABC分为三部分(如图).则三部分面积之比S1:S2:S3=
.
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20．【2017 年新疆预赛】已知在△ABC中,tan A ,(1+ ❑√2)tan B ,tanC成等差数列.则∠B的最小值为
.
21．【2017 年内蒙古预赛】锐角三角形的内角A ,B满足tan A -
1
sin2 A =tan B且cos
2 B
2 =
❑√6
3
,则
sin2 A =
.
22．【2016 年福建预赛】若函数f ( x )=3cos(wx +π
6 )
❑
-sin(wx -π
3 )(ω>0) 的最小正周期为π，则
f(x)在区间[0，π
2 ]上的最大值为________.
23．【2016 年山东预赛】若实数x 满足arcsin x>arccos x，则关系式f (x)=
❑√2 x
2- x +3+2
❑√x
2- x的取值范
围是 ________.
24．【2016 年山东预赛】arcsin
1
❑√10 +arcsin
1
❑√26 +arcsin
1
❑√50 +arcsin
1
❑√65 = ________.
25．【2016 年安徽预赛】设sin x +cos x = 1
2
.则sin
3 x +cos
3 x =________.
26．【2016 年新疆预赛】设直角三角形的三边依次为a、b、c (c 为斜边),周长为6.则c的最小值为______.
27．【2016 年新疆预赛】计算cos2016° =______.
28．【2016 年新疆预赛】在△ABC中,∠A 、∠B、∠C的对边分别为a、b、c .若cos B
cosC =-
b
2a+c
.则
∠B =______.
29．【2016 年天津预赛】已知△ABC的周长为20,内切圆的半径为❑√3,BC =7.则tanA的值为______.
30．【2016 年山西预赛】若函数y =3sin x - 4 cos x在x0处取得最大值，则tanx0的值为__________.
31．【2016 年全国】设函数f (x)=sin
4 kx
10 +cos
4 kx
10 (k ∈Z+).若对任意实数a，均有{f (x)¿，则k 的最小
值为________.
32 ．【2016 年上海预赛】给定正实数a 、b(a> b) ，两点(❑√a
2- b
2，0)、(-
❑√a
2-b
2，0)到直线
xco sθ
a
+ ysinθ
b
=1的距离乘积为_____。
33．【2016 年浙江预赛】若关于x、y的方程组¿有实数解，则正实数m的取值范围是__________。
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34．【2016 年上海预赛】关于x 的方程arctan2
x-arctan2
- x=π
6
的解为__________．
35．【2016 年上海预赛】已知函数f (x)=cosπ x ,g(x)=2
x a- 1
2
(a≠0)．若存在x1、x2∈[0,1]，使
f (x1)= g(x2)成立，则实数a 的取值范围是__________．
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