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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题19 三角函数与解三角形第六缉
1．【2021 年江西预赛】锐角△ABC 中，若cos
2 A ,cos
2B ,cos
2C 的和等于sin
2 A ,sin
2B ,sin
2C 中的某
个值，证明：tan A ,tan B ,tanC 必可按某顺序组成一个等差数列.
2 ．【2021 年新疆预赛】已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 求证:
3
2 ≤
a
2
b
2+c
2 +
b
2
c
2+a
2 +
c
2
a
2+b
2 ≤2(cos
2 A +cos
2B+cos
2C).
3．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在△ABC中, sin A =
❑√2
2
.求cos B+ ❑√2cosC的取值范围.
4 ．【2020 年甘肃预赛】已知△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C
的对边a,b,c 成等比数列,
2cos( A -C )-2cos B =1 ,延长BC 至点D ,使BD =5. 求:
(1)∠B 的大小;
(2)⃑AC ⋅⃑CD 的取值范围.
5．【2020 年甘肃预赛】已知函数f ( x)=asinx(a∈R),g( x)=e
x .
（1）若0<a⩽1 ，判断F( x)= f (1- x)+ ln x 在区间(0,1) 的单调性;
(2)证明:sin 1
2
2 +sin 1
3
2 +⋯+sin
1
(n+1)
2 <ln 2(n∈Z+);
(3)设G( x)= g( x)-m x
2-2( x +1)+k (k ∈Z ) ,对任意的x>0,m<0 ,有G( x)>0 恒成立,求k 的最小值.
6．【2020 年吉林预赛】已知△ABC 的内角∠A ,∠B,∠C 的对边分别为a、b、c,且有1+ tan B
tan A = 2c
❑√3a
.
(1) 求∠B ;
(2)若△ABC 为锐角三角形,且a=2 ,求△ABC 面积的取值范围.
7．【2020 年重庆预赛】设实数t ∈[0,π ]. 若关于x 的方程cos( x +t )=1-cos x 有解,求t 的取值范围.
8．【2019 年全国】在△ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c.若b 是a 与c 的等比中项，且sinA 是sin（B-A）与
sinC 的等差中项，求cosB 的值.
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9．【2019 年上海预赛】已知∠A ,∠B∈(0, π
2)
，且sin A
sin B =sin( A + B).求tanA 的最大值.
10．【2019 年北京预赛】如图,∠BAF =∠FEB =∠EBC =∠ECD =90°,∠ABF =30°,∠BFE = 45°,
∠BCE =60°,AB =2CD.则tan∠CDE等于
A.4 ❑√2
3
B.8 ❑√2
3
C.8 ❑√6
3
D.5 ❑√2
3
11．【2019 年吉林预赛】已知函数f ( x)=2sin
2(
π
4 + x)- ❑√3cos2 x -1 x∈[
π
4 , π
2]
.
(1)求f(x)的单调递增区间
(2)若不等式|f ( x)-m|<2在x∈[
π
4 , π
2]
上恒成立,求实数m 的取值范围.
12．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在△ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c.若b 是a 与c 的等比中项，
且sinA 是sin(B－A)与sinC 的等差中项，求cosB 的值.
13．【2018 年陕西预赛】已知函数f (x)=2cos x(cos x + ❑√3sin x)-1, x∈R.
（1）求函数f (x)的单调递增区间；
（2 ）设点P1(x1, y1), P1(x2, y2),…, Pn(xn, yn),…都在函数y = f (x)的图象上，且满足
x1= π
6 , xn+1- xn= π
2
.求y1+ y2+…+ y2018的值.
14．【2018 年陕西预赛】已知函数f (x)=2cos x(cos x + ❑√3sin x)-1, x∈R.
（1）求函数f (x)的单调递增区间；
（2 ）设点P1(x1, y1), P1(x2, y2),…, Pn(xn, yn),…都在函数y = f (x)的图象上，且满足
x1= π
6 , xn+1- xn= π
2
.求y1+ y2+…+ y2018的值.
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15．【2018 年陕西预赛】已知函数f (x)=2cos x(cos x + ❑√3sin x)-1, x∈R.
（1）求函数f (x)的单调递增区间；
（2 ）设点P1(x1, y1), P1(x2, y2),…, Pn(xn, yn),…都在函数y = f (x)的图象上，且满足
x1= π
6 , xn+1- xn= π
2
.求y1+ y2+…+ y2018的值.
16．【2018 年山东预赛】已知数列{an}满足：a1=π
3 ，0<an<π
3 ，sin an+1≤1
3 sin3an(n≥2)．求证：
sin an< 1
❑√n
．
17．【2018 年甘肃预赛】已知函数
，x∈R，将函数f
向左平
移
个单位后得函数g
，设三角形△ABC 三个角A、B、C 的对边分别为a、b、c.
(Ⅰ)若c＝
，f
＝0，sin B＝3sin A，求a、b 的值；
(Ⅱ)若g
＝0 且
，求
的取值范围．
18．【2018 年吉林预赛】已知函数f (x)= 4 cos x⋅sin(x + 7 π
6 )+a的最大值为2.
⑴求a的值及f (x)的最小正周期；
⑵求f (x)的单调递减区间.
19．【2018 年天津预赛】设x1、x2、x3是方程x
3-17 x -18=0的三个根，- 4< x1<-3 且4< x3<5.
⑴求x2的整数部分；
⑵求arctan x1+arctan x2+arctan x3的值.
20．【2018 年河南预赛】已知cos(α + β)=cosα +cos β，试求cosα的最大值．
21．【2018 年河南预赛】已知△ABC的三边长分别为．a、b、c，且满足abc =2(a-1)(b-1)(c -1)，
是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．
22．【2018 年河北预赛】已知将函数g( x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不
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变），再将所得到的图象向右平移π
2
个单位长度得到函数y = f ( x)的图象，且关于x 的方程
f ( x)+ g( x)=m在[0,2π )内有两个不同的解α 、β.
（1）求满足题意的实数m 的取值范围；
（2）求cos(α - β)（用含m 的式子表示）.
23．【2018 年河北预赛】设α , β ∈(0, π
2)
，证明： cosα +cos β + ❑√2sin α sin β ⩽3 ❑√2
2
24 ．【2017 年天津预赛】设△ABC的三个内角分别为A ,B ,C. 若BC的中点为M, 证明:
cot∠BAM =2cot A +cotB.
25．【2017 年河北预赛】△ABC中,角A 、B、C所对的边分别为a,b、c,有等式
lntan A +lntanC =2lntan B.
(1)求证:tan A +tan B+tanC =tan A tan BtanC;
(2)当B最小时,若△ABC面积的最大值为❑√3,求a、b、c的值.
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