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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题17 三角函数与解三角形第四缉
1．【2016 年新疆预赛】函数f (x)=cos2 x +2|sin x|的最大值为______.
【答案】3
2
【解析】
依题意知
f (x)=1-2sin
2 x +2|sin x|
=-2(|sin x|- 1
2)
2
+ 3
2
.
又|sin x|∈[0,1]，故当|sin x|= 1
2
时，f (x)取得最大值3
2
.
2 ．【2016 年新疆预赛】设△ABC 的∠A 、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足
acos B -bcos A = 4
5 c. 则tan A
tan B =______.
【答案】9
【解析】
由余弦定理得a⋅a
2+c
2-b
2
2ac
-b⋅b
2+c
2-a
2
2bc
= 4
5 c
⇒a
2-b
2= 4
5 c
2.
从而，由正弦定理得
tan A
tan B = sin A ⋅cos B
sin B⋅cos A =
a⋅a
2+c
2-b
2
2ac
b⋅b
2+c
2-a
2
2bc
= a
2+c
2-b
2
b
2+c
2-a
2 =9.
3．【2016 年四川预赛】若实数α 、β 、γ构成以2 为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ 构成等比数列，
则cosa=_____.
【答案】- 1
2
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【解析】
设β =2a，γ = 4 a.
由sin β
sin α = sin γ
sin B ⇒sin 2α
sin α = sin 4 α
sin 2α
⇒2sin α ⋅cosα
sin α
= 2sin 2α ⋅cos2α
sin 2α
⇒2cos
2α -cosα -1=0
⇒cosα =- 1
2
或1.
若cosα =1，则sin α =0（舍去）.
从而，cosα =- 1
2
.
4 ．【2016 年江西预赛】如图,P 为正方形ABCD 内切圆上的一点, 记∠APC =α ,∠BPD = β则
tan
2a+tan
2 β =______.
【答案】8
【解析】
如图,建立直角坐标系.
设圆方程为x
2+ y
2=r
2
则正方形顶点坐标分别为A (-r ,-r),B (r ,-r),c (r ,r),d (-r ,r)
若P(rcosθ ,rsinθ), 则直线PA 、PB 、PC 、PD 的斜率分别为k PA = 1+sinθ
1+cosθ
, k PB=- 1+sinθ
1-cosθ
,
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k PC =- 1-sinθ
1-cosθ
, k PD=- 1-sinθ
1+cosθ
.
故tan
2α =(
k PC -k PA
1+k PA k PC)
2
= 4 (cosθ -sinθ)
2
tan
2 β =(
k PD-k PB
1+ k PBk PD)
2
= 4 (cosθ+sinθ)
2
因此tan
2α + tan
2 β =8.
5．【2016 年江西预赛】设x 为锐角.则函数y =sin x⋅sin2 x的最大值为______.
【答案】4 ❑√3
9
【解析】
由 y = sin
2 x⋅cosx
⇒y
2= 4 sin
4 x⋅co s
2 x ≤2(
2sin
2 x +2cos
2 x
3
)
3
= 16
27 ⇒y = 4 ❑√3
9
当cos
2 x = 1
3
时,以上各式等号成立.
6．【2016 年湖南预赛】方程16sinπ x⋅cosπ x =16 x + 1
x
的解集为______.
【答案】{ 1
4 ,- 1
4 }.
【解析】
当x>0时，
16 x + 1
8 ≥8，当且仅当x = 1
4
时，上式等号成立.
又16sinπ x⋅cosπ x =8sin 2π x ≤8， ①
当且仅当x = 1
4 +k(k ∈Z )时，式①等号成立.
于是，当x>0时，方程只有解x = 1
4
.
由奇函数的性质，知x =- 1
4
为另一解.
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故方程的解集为{ 1
4 ,- 1
4 }.
7．【2016 年甘肃预赛】已知函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0), x∈R,若函数f ( x)在区间(-ω,ω)内单
调递增,且函数f ( x)的图像关于直线x =ω对称,则ω的值为 ．
【答案】
❑√π
2
【解析】由f ( x)在区间(-ω,ω)内单调递增, 且f ( x)的图像关于直线x =ω对称, 可得2ω≤π
ω
, 且
f (ω)=sin ω
2+cosω
2= ❑√2⇒sin(ω
2+π
4 )=1,所以ω
2+π
4 =π
2 ⇒ω=
❑√π
2
.
考点:本题主要考查三角函数的性质.
视频
8．【2016 高中数学联赛（第01 试）】设函数f ( x)=(sin kx
10)
4
+(cos kx
10)
4，其中k 是一个正整数.若对任
意实数a，均有{f ( x)|a< x<a+1}={f ( x)| x∈R}，则k 的最小值为
.
【答案】16
【解析】由条件知，f ( x)=(sin
2 kx
10 +cos
2 kx
10)
2
-2sin
2 kx
10 cos
2 kx
10
=1- 1
2 sin
2 kx
5 = 1
4 cos 2kx
5 + 3
4
，
其中当且仅当x = 5mπ
k
(m∈Z )时，f(x)取到最大值.
根据条件知，任意一个长为1 的开区间(a，a+1)至少包含一个最大值点，
从而5 π
k <1，即k>5π.
反之，当k>5π 时，任意一个开区间(a，a+1)均包含f(x)的一个完整周期，
此时{f ( x)|a< x<a+1}={f ( x)| x∈R}成立.
综上可知，正整数k 的最小值为[5 π ]+1=16.
9．【2015 年全国】若
，则
__________．
【答案】2
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【解析】由
有
，而
，求出
（负值舍去），所以
。
10．【2015 年全国】设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得sin ωa+sin ωb=2，则ω的取值
范围是______.
【答案】ω∈[ 9
4 , 5
2 ]∪[ 13
4 ,+ ∞)
【解析】
由sin ωa+sin ωb=2⇒sin ωa=sin ωb=1.
而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数k 、l(k <l)，使得
ωπ≤2k π+ π
2 <2lπ+π
2 ≤2ωπ. ①
当ω≥4时，区间[ωπ,2ωπ]的长度不小于4π，故必存在k 、l满足式①.
当0<ω<4时，注意到，[ωπ,2ωπ]⊆(0,8π).
故只要考虑如下几种情形：
（1）ωπ≤π
2 < 5π
2 ≤2ωπ，此时，ω≤1
2
，且ω≥5
4
，无解；
（2）ωπ≤5π
2 < 9π
2 ≤2ωπ，此时，9
4 ≤ω≤5
2
；
（3）ωπ≤9π
2 < 13π
2
≤2ωπ，此时，13
4 ≤ω≤9
2 ⇒13
4 ≤ω<4.
综上，并注意到ω≥4也满足条件，知ω∈[ 9
4 , 5
2 ]∪[ 13
4 ,+ ∞).
故答案为：ω∈[ 9
4 , 5
2 ]∪[ 13
4 ,+ ∞)
11．【2015 年浙江预赛】若16
sin
2 x+16
cos
2 x =10
，则cos 4 x =______.
【答案】- 1
2
【解析】
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设t =16
sin
2 x(1≤t ≤16).
则16
cos
2 x =16
1-sin
2 x = 16
t
.
代入原方程得t + 16
t =10⇒t =2或8.
解得sin
2 x = 1
4 或3
4
.
从而，cos 4 x =- 1
2
.
12．【2015 年上海预赛】已知cos(θ+ π
4)<3(sin
5θ -cos
5θ)，其中，θ∈[- π ,π ].则θ的取值范围是
________.
【答案】[- π ,- 3 π
4 ]∪[
π
4 ,π]
【解析】
注意到，cos(θ+ π
4)<3(sin
5θ -cos
5θ)
⇔
❑√2
2 cosθ+3cos
5θ<
❑√2
2 sinθ+3sin
5θ.
由f (x)=
❑√2
2 x +3 x
5为R 上的增函数，知原不等式等价于
f (cosθ)<f (sinθ)(θ∈[- π ,π ])
⇔cosθ<sinθ(θ∈[- π ,π ])
⇔- π ≤θ<- 3 π
4 或π
4 ≤θ<π
13．【2015 年上海预赛】有一个单摆，在夏季摆的周期T = 1 秒，到了冬季，摆长缩短了0.01 厘米.在冬季
这只单摆在24 小时中比在冬季大约快 ______秒（精确到1 秒）.注：单摆周期公式为T =2π ❑√
l
g
，其中，
周期T 的单位为秒，摆长l 的单位为厘米，重力加速度g = 980 厘米/秒2.
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【答案】17
【解析】
将T = 1 秒代入公式得
夏季摆长l =(
T
2π)
2
g≈24.824厘米，
冬季摆长l' =l -0.01≈24.814厘米，
冬季摆的周期T ' =2π ❑√
l'
g ≈0.9998秒.
故24 小时内冬季摆比夏季的快约为24×60×(T -T ' )=17秒
14．【2015 年新疆预赛】已知n 为正整数.则lg12、lg75、lg(n
2-16n+947)这三个数能构成_____个不
同的三角形.
【答案】5
【解析】
由三角不等式得
lg(n
2-16n+947)<lg75+lg12，
lg(n
2-16n+947)>lg75-lg12
.
则75
12 <n
2-16n+947<900.
由n 为整数，知n
2-16n+947也为整数.
故7≤n
2-16n+947≤899.
于是，n 的取值可以为4,5,⋯,12.
注意到，函数
f (n)=n
2-16n+947=(n-8)
2+883的图像关于n=8对称.
故f (4)= f (12),f (5)= f (11),f (6)= f (10),f (7)= f (9).
从而，f (n)=n
2-16n+947只能取到五个不同的值.
因此，lg12、lg75、lg(n
2-16n+947)这三个数能构成5 个不同的三角形.
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15．【2015 年新疆预赛】已知α 、β均为锐角，且(1+ tan α )(1+ tan β)=2.则α + β =________.
【答案】π
4
【解析】
由已知得
tan α + tan β =1- tan α ⋅tan β
⇒tan (α + β)=
tan α + tan β
1- tan α ⋅tan β =1.
因为α 、β ∈(0, π
2)
，所以，α + β = π
4
.
16 ．【2015 年四川预赛】设x +sin x⋅cos x -1=0，2cos y -2 y + π + 4 =0，则sin (2 x - y)的值为
________。
【答案】-1
【解析】
由x +sin x⋅cos x -1=0，得2 x +sin2 x =2；①
由2cos y -2 y + π + 4 =0，得π
2 - y +sin(
π
2 - y)=-2②
设f (x)= x +sin.则f
' (x)=1-cos x ≥0.
故f (x)在R 上单调递增且为奇函数.
由式①、②得
f (2 x)=2,f(
π
2 - y)=-2⇒2 x + π
2 - y =0
⇒2 x - y =- π
2 ⇒sin (2 x - y)=-1.
17．【2015 年安徽预赛】设a为实数，且关于x的方程(a+cos x)(a-sin x)=1有实根.则a的取值范围是
______.
【答案】[-1-
❑√2
2 ,-1+
❑√2
2 ]∪[1-
❑√2
2 ,1+
❑√2
2 ]
【解析】
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设u=a+cos x，v =a-sin x.
方程有实根
⇔双曲线uv =1与圆(u-a)
2+(v -a)
2=1有公共交点.
注意到，圆心位于直线y = x之上，只需找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.
当圆与双曲线切于点A (1,1)时，a=1+
❑√2
2
.
当圆与双曲线切于点B (-1,-1)时，a=-1±
❑√2
2
.
因此，a的取值范围是[-1-
❑√2
2 ,-1+
❑√2
2 ]∪[1-
❑√2
2 ,1+
❑√2
2 ]
.
18．【2015 年陕西预赛】已知sin α + ❑√3sin β =1，cosα + ❑√3cos β = ❑√3.则cos(α - β)的值为______.
【答案】0
【解析】
将已知两式平方相加得:
4+2❑√3(sin α ⋅sin β +cosα ⋅cos β)= 4 ⇒cos(α - β)=0.
19．【2015 年陕西预赛】在△ABC中，若tan A
2 + tan B
2 =1，则tan C
2
的最小值为______.
【答案】3
4
【解析】
由题设知
tan C
2 =
1
tan A + B
2
=
1- tan A
2 ⋅tan B
2
tan A
2 + tan B
2
=1- tan A
2 ⋅tan B
2 ≥1-(
tan A
2 + tan B
2
2
)
2
=1-(
1
2)
2
= 3
4
.
当且仅当tan A
2 = tan B
2 = 1
2
时，上式等号成立.
故tan C
2
的最小值为3
4
.
20．【2015 年山西预赛】若sin α +cosα = 1
5
，则|sin α -cosα|=_________.
【答案】7
5
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【解析】
由条件得2sin α ⋅cosα =(sin α +cosα )
2-1=- 24
25
，
⇒(sin α -cosα )
2=1-2sin α ⋅cosα = 49
25
，
⇒|sin α ⋅cosα|= 7
5
.
21．【2015 年山东预赛】方程sin
4 x -co s
4 x =1的解为______.
【答案】x =kx + π
2 (k ∈Z )
【解析】
由方程得：sin
4 x =1+co s
4 x ≥1，
⇒cosx =0,sinx =±1，
⇒x =kπ + π
2 (k ∈Z ).
22．【2015 年山东预赛】在△ABC 中, ∠A <∠B<∠C, sinA + sinB+ sinC
cosA +cosB+cosC = ❑√3.则∠B =______.
【答案】π
3
【解析】
由已知得：
(sinA - ❑√3cosA)+(sinB - ❑√3cosB)+ (sinC - ❑√3cosC)=0，
⇒sina+ sinβ + sinγ =0,
其中,a=∠A - π
3 ,B =∠B - π
3 , y =∠C - π
3
，
则2sin α + β
2
⋅cos α - β
2
-2sin α + β
2
⋅cos α + β
2
=0，
⇒4 sin α
2 ⋅sin β
2 ⋅sin γ
2 =0，
故∠A、∠B、∠C 中至少有一个为π
3
.
又∠A <∠B<∠C,从而, ∠B = π
3
.
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23．【2015 年江西预赛】 求值
＝
【答案】
【解析】解：因为
24．【2015 年江苏预赛】函数f (x)=2cos x +sin 2 x (x∈R)的值域为________.
【答案】[- 3 ❑√3
2
, 3 ❑√3
2 ]
【解析】
注意到
f
2(x)=(2cos x +sin 2 x)
2
= 4 cos
2 x (1+sin x)
2
= 4
3
(3-3sin x)(1+sin x)
3
≤4
3[
(3-3sin x)+3(1+sin x)
4
4
]= 27
4
当且仅当3-3sin x =1+sin x，即sin x = 1
2
时，等号成立.
从而，当sin x = 1
2 ，cos x =
❑√3
2 ，f (x)取得最大值3 ❑√3
2
；
当sin x = 1
2 ，cos x =
❑√3
2 ，f (x)取得最小值- 3 ❑√3
2
；
故函数f (x)的值域为[- 3 ❑√3
2
, 3 ❑√3
2 ]
.
25．【2015 年江苏预赛】设△ABC 的外心为O，内心为I，∠B=45°.若OI∥BC，则cosC 的值为_________.
【答案】1-
❑√2
2
【解析】
设△ABC 的外接圆半径、内切圆半径分别为R，r.
记BC 的中点为M，D 为由点I 向BC 所作垂线的垂足.
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因为OI ∥BC，所以，ON = ID =r.
由∠BOC =2∠A ,BC = BD+ DC =2BM，
⇒
r
tan B
2
+
r
tan C
2
=2rtanA
⇒
cos A
2
sin B
2 ⋅sin C
2
= 2sin A
cos A
⇒cosA = 4 sin A
2 ⋅sin B
2 ⋅sin C
2
=cosA -1+(cos B+cosC)
⇒cosB+cosC =1
⇒cosC =1-
❑√2
2 .
26．【2015 年吉林预赛】已知函数f (x)=sin(ωx +π
2 )⋅sin(ωx +π
4 )(ω>0)的最小正周期为π.则f (x)
在区间[0,π
2 ]上的值域为______.
【答案】[0, 2+ ❑√2
4 ]
【解析】
由题意可得：
f (x)=cosωx ×
❑√2
2
(sin ωx +cosωx) =
❑√2
2 ×[
❑√2sin(2ωx + π
4)+1]
，
由最小正周期公式可得：2π
2ω = π，则ω=1，函数的解析式为f (x)= 1
2 sin(2 x + π
4)+
❑√2
4
，
∵x∈[0, π
2]，∴2 x + π
4 ∈[
π
4 , 5
4 π]，sin(2 x + π
4)∈[-
❑√2
2 ,1]
，
函数的值域f (x)∈[0, 2+ ❑√2
4 ]
.
27．【2015 年湖南预赛】已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍.则该三角形的周长为
13 / 17
__________.
【答案】15
【解析】
设ΔABC的三边长AB =n+1，BC =n，AC =n-1，边AC所对的角θ，边AB所对的角为2θ.
据正弦定理、余弦定理，分别有
n-1
sinθ = n+1
sin2θ ⇒n+1
n-1 =2cosθ，①
cosθ = (n+1)
2+n
2-(n-1)
2
2n(n+1)
= n+ 4
2(n+1)
. ②
由①、②得
n+1
n-1 = n+ 4
n+1 ⇒n=5.
故三角形的周长为15.
28．【2015 年湖北预赛】已知顶角为20°的等腰三角形的底边长为a，腰长为b.则a
3+b
3
ab
2
的值为
__________.
【答案】3
【解析】
由已知得a=2bsin10°.
故a
3+b
3=8b
3sin
310°+b
3=8b
3⋅1
4
(3sin10° -sin30°)+b
3=6b
3sin10°
⇒a
3+b
3
ab
2 =
6b
3sin10°
2bsin10°⋅b
2 =3.
29．【2015 年湖北预赛】已知点P在Rt ΔABC所在的平面内，∠BAC =90°，∠CAP为锐角，且
|⃑AP|=2,⃑AP⋅⃑AC =2，⃑AP⋅⃑AB =1.当|⃑AB+⃑AC +⃑AP|取得最小值是，tan∠CAP =__________.
【答案】
❑√2
2
【解析】
设∠CAP =α.
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由题意知∠BAP = π
2 -α.
由|⃑AP|=2，⃑AP⋅⃑AC =2，⃑AP⋅⃑AB =1
⇒|⃑AC|=
1
cosα ，|⃑AB|=
1
2sin α
⇒|⃑AB+⃑AC +⃑AP|
2=|⃑AB|
2+|⃑AC|
2+|⃑AP|
2+2⃑AB⋅⃑AC +2⃑AB⋅⃑AP+2⃑AC ⋅⃑AP
= sin
2α +cos
2α
4 sin
2α
+ sin
2α +cos
2α
cos
2α
+10 = cos
2α
4 sin
2α
+ sin
2α
cos
2α
+ 45
4
≥2❑√
cos
2α
4 sin
2α
⋅sin
2α
cos
2α
+ 45
4 = 49
4
，
当且仅当cos
2α
4 sin
2α
= sin
2α
cos
2α
，即tan α =
❑√2
2
时，|⃑AB+⃑AC +⃑AP|取得最小值7
2
.
30
．
【
2015
年
黑
龙
江
预
赛
】
已
知
x、y ∈[- π
4 , π
4]，a∈R，
且
x
3+sin x -2a=0，4 y
3+ 1
2 sin2 y +a=0.则cos(x +2 y)的值为_____________。
【答案】1
【解析】
联立方程，消去a得x =-2 y ⇒cos(x +2 y)=1.
31．【2015 年河南预赛】设f ( x)= sin πx
x
2
(x∈(0,1)). 则g(x)= f (x)+ f (1- x)的最小值为_____.
【答案】8
【解析】
由已知得f ' (x)= πx cos πx -2sin πx
x
3
, f ' ' (x)= (6- π
2 x
2)sin πx -2πx cos πx
x
3
.
接下来证明(6- π
2 x
2)sin πx -2πx cos πx>0.设t = πx∈(0,π ).
则(6- π
2 x
2)sin πx -2πx cos πx =(6-t
2)sin t -2t cost = p(t ).于是，p' (t )=(4 -t
2)cost .
15 / 17
易知，p' (t )在区间(0, π
2)
上递增，在区间(
π
2 ,2)
上递减，在区间(2,π )上递增.
又p(0)=0, p' (0)>0,故t ∈(0, x)时，p(t )>0,即x∈(0,1)时，f ' ' (x)>0.
从而，f (x)为区间(0,1)上的下凸函数.
由琴生不等式，知当x∈(0,1)时，f (x)+ f (1- x)
2
≥f(
x +(1- x)
2
)= f(
1
2)= 4.
故g(x)≥8，等式根号成立当且仅当x = 1
2
.
因此，所求g(x)的最小值为8
32．【2015 年甘肃预赛】已知△ABC 的外接圆半径为R,且 2 R(sin
2 A - sin
2C)=(❑√2a-b)sinB,其中,a、
b 分别为∠A、∠B 的对边则∠C 的大小为______.
【答案】45
∘
【解析】
题设等式结合正弦定理得：
a
2-c
2=(❑√2a-b)b，
⇒a
2+b
2-c
2= ❑√2ab，
⇒cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
=
❑√2
2
，
⇒∠C = 45°.
33．【2015 年福建预赛】若sin π
9 +sin 2π
9 +⋅⋅⋅+sin nπ
9 = 1
2 tan 4 π
9
，则正整数n的最小值为__________.
【答案】4
【解析】
注意到，2sin π
18(∑
k =1
n
sin kπ
9 )=∑
k =1
n
(cos (2k -1)π
18
-cos (2k +1)π
18 )=cos π
18 -cos (2n+1)π
18
⇒tan 4 π
9 ⋅sin π
18 =cos π
18 -cos (2n+1)π
18
⇒cos π
18 =cos π
18 -cos (2n+1)π
18
⇒cos (2n+1)π
18
=0
⇒n=9k + 4 (k ∈Z).
故正整数n的最小值为4.
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34．【2015 高中数学联赛（第01 试）】若实数α满足cosα = tan α，则
1
sin α +cos
4α的值为
.
【答案】2
【解析】由条件知cos
2α =sin α，反复利用此结论，并注意到cos
2α +sin
2α =1，
得
1
sin α +cos
4α = cos
2α +sin
2α
sin α
+sin
2α =(1+sin α )+(1-cos
2α)=2+sin α -cos
2α =2.
35．【2015 高中数学联赛（第01 试）】设ω为正实数，若存在a,b(π ⩽a<b⩽2π )，使得
sin ωa+sin ωb=2，则ω的取值范围是
.
【答案】[
9
4 , 5
2]∪[
13
4 ,+∞)
【解析】由sin ωa+sin ωb=2知sin ωa=sin ωb=1，而[ωa,ωb]⊆[ωπ ,2ωπ ]，
故题目条件等价于：存在整数k，l(k<l)，使得ωπ ⩽2kπ + π
2 <2lπ + π
2 ⩽2ωπ
①
当ω≥4 时，区间[ωπ ,2ωπ ]的长度不小于4 π，故必存在k，l 满足式①.
当0<ω<4时，注意到[ωπ ,2ωπ ]⊆(0,8 π )，故仅需考虑如下几种情况：
(i)ωπ ⩽π
2 < 5 π
2 ⩽2ωπ，此时ω⩽1
2
且ω⩾5
4
，无解；
(ii)ωπ ⩽5 π
2 < 9 π
2 ⩽2ωπ，此时有9
4 ⩽ω⩽5
2
；
(iii)ωπ ⩽9 π
2 < 13 π
2
⩽2ωπ，此时有13
4 ⩽ω⩽9
2
，得13
4 ⩽ω<4.
综合情形(i)，(ii)，(iii)，并注意到ω⩾4亦满足条件，可知ω∈[
9
4 , 5
2]∪[
13
4 ,+ ∞)
.
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