1 / 6
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题18 三角函数与解三角形第五缉
1．【2021 年吉林预赛】在△ABC 中,|⃑AB|=2,|⃑AC |=3,⃑AB⋅⃑CA >0 ,且△ABC 的面积为3
2
,则
∠BAC 等于(
)
A.150
∘
B.30
°
C.120
°
D.60
°
2．【2019 年北京预赛】在平面直角坐标系中,已知两点A (cos110
°,sin110
°), B(cos50
°,sin50
°),则由坐
标原点O到AB中点M的距离是
A.1
2
B.
❑√2
2
C.
❑√3
2
D.1
3．【2019 年吉林预赛】函数f ( x)=(❑√3sin x +cos x)(❑√3cos x -sin x)的最小正周期是( )
A.π
2
B.2
3 π
C.π
D.2π
4．【2018 年陕西预赛】若0< x< π
2 ，且sin
4 x
9
+ cos
4 x
4
= 1
13
，则tan x的值是（ ）
A．1
2
B．2
3
C．1 D．3
2
5．【2018 年吉林预赛】已知f (x)=
sin x
2+cos x
，则对任意x∈R，下列说法中错误的是（ ）
A．f (x)≥1
3 sin x
B．|f (x)|≤|x|
C．|f (x)|≤
❑√3
3
D．f (π + x)+ f (π - x)=0
6．【2018 年天津预赛】设f (x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f (1)+ f (2)+⋯+ f (2018)的值是（ ）.
A．0
B．1
C．1
2
D．
❑√3
2
7．【2018 年四川预赛】函数y = (sin x -1)(cos x -1)
2+sin 2 x
(x∈R)的最大值为（ ）.
A．
❑√2
2
B．1
C．1
2 +
❑√2
2
D．❑√2
8．【2017 年辽宁预赛】△ABC的三个内角为A 、B、C,若sin
2 A +sin
2B+sin
2C =2则
cos A +cosB+2cosC的最大值为(
)
2 / 6
(A)3 ❑√2
2
(B)❑√5
(C)4 ❑√3
3
(D)❑√6
9．【2017 年吉林预赛】在△ABC中,AB =1,BC =2,则∠C的取值范围是(
)
(A)(0, π
6]
(B)(
π
4 , π
2)
(C)(
π
6 , π
3)
(D)(0, π
2)
10．【2017 年四川预赛】已知α , β ∈(0,π ),tanα ,tan β是方程x
2+3 x +1=0的两个根,则cos(α - β)的
值是(
)
(A)1
3
(B)2
3
(C)
❑√5
3
(D)
❑√5
2
11．【2017 年四川预赛】已知在△ABC中,⃗AB⋅⃗BC =3⃗CA ⋅⃗AB,则|⃗AC|+|⃗AB|
|⃗BC|
的最大值是(
)
(A)
❑√5
2
(B)❑√3
(C)2
(D)❑√5
12 ．【2017 年陕西预赛】在空间直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A (3,4 ,1)、
B (0,4 ,5),C (5,2,0),则tan A
2
的值是(
)
(A)❑√5
(B)
❑√5
5
(C)❑√6
(D)
❑√6
6
13．【2017 年黑龙江预赛】已知tanα =- 1
2
,则sin2α +2cos2α
4cos2α - 4sin2α
的值是(
)
(A)5
2
(B)- 5
2
(C) 1
14
(D)- 1
14
14．【2017 年黑龙江预赛】函数y =tanωx (ω>0)与直线y =a相交于A 、B两点,且|AB|最小值为π,则函
数f (x)= ❑√3sinωx -cosωx的单调增区间是(
)
(A)[2kπ - π
6 ,2kπ + π
6](k ∈Z)
(B)[2kπ - π
3 ,2kπ + 2π
3 ](k ∈Z)
(C)[2kπ - 2π
3 ,2kπ + π
3](k ∈Z)
(D)[2kπ - π
6 ,2kπ + 5 π
6 ](k ∈Z)
3 / 6
15．【2017 年贵州预赛】已知△ABC的三边长分别为a,b、c,且a
π +b
π =c
π(π是圆周率),则△ABC为(
)
(A)锐角三角形
(B)直角三角形
(C)钝角三角形
(D)以上皆有可能
16．【2017 年湖南预赛】如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(
)
(A)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2也是锐角三角形
(B)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2也是钝角三角形
(C)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2则是钝角三角形
(D)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2则是锐角三角形
17．【2016 年天津预赛】函数f (x)=|sin 2 x +cos2 x|的最小正周期为( )
A．2π B．π C．π
2
D．π
4
18．【2016 年吉林预赛】设x∈(- 3 π
4 , π
4)
，且cos(
π
4 - x)=- 3
5
.则cos2 x的值为（）
A．- 7
25
B．- 24
25
C．24
25
D．7
25
19．【2016 年吉林预赛】在△ABC 中，“∠A <∠B<∠C”是“cos2 A >cos2B>cos2C”的（）条件.
A．既不充分也不必要 B．充分必要 C．必要不充分 D．充分不必要
22．【2016 年吉林预赛】设x∈(- 3 π
4 , π
4)
，且cos(
π
4 - x)=- 3
5
.则cos2 x的值为（）
A．- 7
25
B．- 24
25
C．24
25
D．7
25
20．【2016 年吉林预赛】在△ABC 中，“∠A <∠B<∠C”是“cos2 A >cos2B>cos2C”的（）条件.
A．既不充分也不必要 B．充分必要 C．必要不充分 D．充分不必要
21．【2016 年浙江预赛】函数f (x)= 4 sin
3 x -sin x +2(sin x
2 -cos x
2)
2的最小正周期为（ ）
A．2π B．π
2
C．2π
3
D．π
4 / 6
22 ．【2016 年辽宁预赛】在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边a 、b 、c 成等比数列. 则
sinA ⋅cotC +cosA
sinB⋅cotC +cosB
的取值范围是( ).
A．(0,+∞) B．(
❑√5-1
2
,
❑√5+1
2 )
C．(0,
❑√5+1
2 )
D．(
❑√5-1
2
,+ ∞)
23．【2015 年浙江预赛】已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m、m+1、m+2. 则实数m的取
值范围是（ ）.
A．m>1 B．m>3
C．3
2 <m<3 D．1<m< 3
2
24．【2015 年浙江预赛】已知等腰Rt△PQR的三个顶点分别在等腰Rt△ABC的三条边上. 则S△PQR
S△ABC
的最
小值为（ ）.
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
25．【2015 年天津预赛】设ΔABC的周长为12，内切圆半径为1.则（ ）
A．ΔABC必为直角三角形 B．ΔABC必为锐角三角形
C．ΔABC必为直角三角形或锐角三角形 D．以上结论均不对
26 ．【2015 年四川预赛】在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c 。若
a
cos A =
b
2cos B =
c
3cosC
,则∠A 的大小为（）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5 π
12
37．【2015 年辽宁预赛】已知△ABC的三边长a、b、c成等比数列,边a、b、c所对的角依次为
∠A 、∠B、∠C,且sin A ⋅sin B+sin B⋅sinC +cos2B =1.则∠B为( )
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
28．【2015 年黑龙江预赛】函数y =(sin x)|
cos x
sin x|(0＜x＜π )的图像大致为（）。
5 / 6
A．
B．
C．
D．
6 / 6
