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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题18 三角函数与解三角形第五缉
1．【2021 年吉林预赛】在△ABC 中,|⃑AB|=2,|⃑AC |=3,⃑AB⋅⃑CA >0 ,且△ABC 的面积为3
2
,则
∠BAC等于( )
A.150
∘
B.30
°
C.120
°
D.60
°
【答案】A
【解析】△ABC 的面积S△ABC = 1
2 × AB× AC ×sin∠BAC = 1
2 ×2×3×sin∠BAC = 3
2
,
所以sin∠BAC = 1
2
,又由已知∠BAC 为钝角.从而∠BAC =150
°.
选A .
2．【2019 年北京预赛】在平面直角坐标系中,已知两点A (cos110
°,sin110
°), B(cos50
°,sin50
°),则由坐
标原点O到AB中点M的距离是
A.1
2
B.
❑√2
2
C.
❑√3
2
D.1
【答案】C
【解析】画草图,易知OA =1,OB =1,∠AOB =110° -50° =60°.所以,△AOB是正三角形｡
所以,|AB|=1.由点O到AB中点M的距离是边长为1的正三角形的高线的长,即等于
❑√3
2
.
3．【2019 年吉林预赛】函数f ( x)=(❑√3sin x +cos x)(❑√3cos x -sin x)的最小正周期是( )
A.π
2
B.2
3 π
C.π
D.2π
【答案】C
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【解析】f ( x)=2sin(2 x + π
3)
.故f(x)的最小正周期是π.
4．【2018 年陕西预赛】若0< x< π
2 ，且sin
4 x
9
+ cos
4 x
4
= 1
13
，则tan x的值是（ ）
A．1
2
B．2
3
C．1 D．3
2
【答案】D
【解析】
由柯西不等式(9+ 4)(
sin
4 x
9
+ cos
4 x
4 )≥(sin
2 x +cos
2 x)
2，
由取等条件知sin
4 x
81
= cos
4 x
16
⇒tan x = 3
2
.
5．【2018 年吉林预赛】已知f (x)=
sin x
2+cos x
，则对任意x∈R，下列说法中错误的是（ ）
A．f (x)≥1
3 sin x
B．|f (x)|≤|x|
C．|f (x)|≤
❑√3
3
D．f (π + x)+ f (π - x)=0
【答案】A
【解析】
由f (x)≥1
3 sin x得sin x(1-cos x ）≥0，∵1-cos x ≥0，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所
以选项A 错误；
|f (x)|= |sin x|
|2+cos x|≤|sin x|≤|x|.所以选项B 正确；
|f (x)|= |sin x|
|2+cos x|=|
sin x -0
cos x -(-2) |表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察
得到|f (x)|≤
❑√3
3
，所以选项C 正确；
f (π + x)+ f (π - x)= -sin x
2-cos x +
sin x
2-cos x =
0
2-cos x =0，所以选项D 正确.
故答案为：A
6．【2018 年天津预赛】设f (x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f (1)+ f (2)+⋯+ f (2018)的值是（ ）.
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A．0
B．1
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】A
【解析】
由最小正周期为6 可知6ω=2π，即ω= π
3
.
于是当k 为整数时，
f (6 k +1)+ f (6 k +2)+ f (6k +3)+ f (6k + 4)+ f (6 k +5)+ f (6k +6)=0
即每个完整周期内的6 个函数值之和为零.注意2018=6×336+2，
所以原式=f (1)+ f (2)=cos π
3 +cos 2π
3 =0.
故答案为：A
7．【2018 年四川预赛】函数y = (sin x -1)(cos x -1)
2+sin 2 x
(x∈R)的最大值为（ ）.
A．
❑√2
2
B．1
C．1
2 +
❑√2
2
D．❑√2
【答案】B
【解析】
因为y = sin x⋅cos x -(sin x +cos x)+1
2+2sin x⋅cosx
，令
t =sin x +cos x = ❑√2sin(x + π
4)∈[- ❑√2,❑√2]，
则sin x⋅cos x = 1
2 (1-t
2)，于是
y =
1
2 (t
2-1)-t +1
2+(t
2-1)
= 1
2 -
t
t
2+1
.
令g(t )=
t
t
2+1
(t ∈- ❑√2,❑√2)，则g
' (t )= 1-t
2
(t
2+1)
2.
由g
' (t )=0 知t =-1或1.
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因为g(- ❑√2)=-
❑√2
3 ,g(-1)=- 1
2 ,g(1)= 1
2 ,g(❑√2)=
❑√2
3
，于是g(t )的最小值是g(-1)=- 1
2，所以y的最大
值是1
2 -(- 1
2)=1.
故答案为:B
8．【2017 年辽宁预赛】△ABC的三个内角为A 、B、C,若sin
2 A +sin
2B+sin
2C =2则
cos A +cosB+2cosC的最大值为(
)
(A)3 ❑√2
2
(B)❑√5
(C)4 ❑√3
3
(D)❑√6
【答案】B
【解析】提示:若sin
2 A +sin
2B+sin
2C =2,则
0=2-sin
2 A -sin
2B -sin
2C
=cos
2 A +cos
2B -sin
2( A + B)
=cos
2 A +cos
2B -(sin
2 A cos
2B+2sin A sin Bcos A cosB+cos
2 A sin
2B)
=cos
2 A (1-sin
2B)+cos
2B(1-sin
2 A)-2sin A sin Bcos A cosB
=2cos
2 A cos
2B -2sin A sin Bcos A cosB
=2cos A cosB (cos A cosB -sin A sin B)
=2cos A cosBcos( A + B)
=-2cos A cosBcosC .
所以,cos A ,cosB、cosC中必有一个为0,即角A 、B、C中必有一个为π
2 .
如果cos A =0,则A = π
2 ,B+C = π
2
.
5 / 15
因此f (B)=cos A +cosB+2cosC =cosB+2sin B(0<B< π
2)
的最大值为❑√5.
如果cosB =0,则最大值为❑√5.
如果cosC =0,则最大值为❑√2.
综上所述,cos A +cosB+2cosC的最大值为❑√5,故选B.
9．【2017 年吉林预赛】在△ABC中,AB =1,BC =2,则∠C的取值范围是(
)
(A)(0, π
6]
(B)(
π
4 , π
2)
(C)(
π
6 , π
3)
(D)(0, π
2)
【答案】A
【解析】AB =c =1,BC =a=2, 由正弦定理
a
sin A =
c
sinC
, 得sinC = c
a sin A = 1
2 sin A ∈(0, 1
2]
故
C ∈(0, π
6]
.
10．【2017 年四川预赛】已知α , β ∈(0,π ),tanα ,tan β是方程x
2+3 x +1=0的两个根,则cos(α - β)的
值是(
)
(A)1
3
(B)2
3
(C)
❑√5
3
(D)
❑√5
2
【答案】B
【解析】提示：由已知得tanα +tan β =-3,tanα ⋅tan β =1于是tanα、tan β均小于0.
不妨设α ≥β,则π >α ≥β > π
2
,从而tanα ≥tan β ,0≤α - β < π
2
又由(tanα -tan β)
2=(tanα +tan β)
2- 4tanα ⋅tan β =5知tanα -tan β = ❑√5.
于是tan(α - β)=tanα -tan β
1+tanα tan β =
❑√5
2
所以cos(α - β)=
1
❑√1+tan
2(α - β)
= 2
3 .
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11．【2017 年四川预赛】已知在△ABC中,⃗AB⋅⃗BC =3⃗CA ⋅⃗AB,则|⃗AC|+|⃗AB|
|⃗BC|
的最大值是(
)
(A)
❑√5
2
(B)❑√3
(C)2
(D)❑√5
【答案】B
【
解
析
】
提
示
：
由
条
件
知
，
a
2+c
2-b
2=3(b
2+c
2-a
2),即
2a
2=2b
2+c
2,
则
(b+c)
2=(
❑√2
2 ⋅❑√2b+1⋅c)
2
≤[(
❑√2
2 )
2
+1
2]⋅[(❑√2b)
2+c
2]= 3
2 (2b
2+c
2)=3a
2，
故b+c
a
≤❑√3.当且仅当
❑√2b
❑√2
2
= c
1 ,2a
2=2b
2+c
2
时等号成立,即a:b:c = ❑√3:1:2.
所以,b+c
a
的最大值是❑√3,即|⃗AC|+|⃗AB|
|⃗BC|
的最大值是❑√3.
12 ．【2017 年陕西预赛】在空间直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A (3,4 ,1)、
B (0,4 ,5),C (5,2,0),则tan A
2
的值是(
)
(A)❑√5
(B)
❑√5
5
(C)❑√6
(D)
❑√6
6
【答案】A
【解析】提示：因为⃗AB =(-3,0,4),⃗AC =(2,-2,-1),
所以cos A =⃗AB⋅⃗AC
|⃗AB|⋅|⃗AC|
=-10
5×3 =- 2
3 .
故tan A
2 = ❑√
1-cos A
1+cos A = ❑√5.
13．【2017 年黑龙江预赛】已知tanα =- 1
2
,则sin2α +2cos2α
4cos2α - 4sin2α
的值是(
)
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(A)5
2
(B)- 5
2
(C) 1
14
(D)- 1
14
【答案】C
【解析】提示:tanα =- 1
2
,则-tan2α =- 4
3
,原式=tan2α +2
4 - 4tan2α = 1
14
.
14．【2017 年黑龙江预赛】函数y =tanωx (ω>0)与直线y =a相交于A 、B两点,且|AB|最小值为π,则函
数f (x)= ❑√3sinωx -cosωx的单调增区间是(
)
(A)[2kπ - π
6 ,2kπ + π
6](k ∈Z)
(B)[2kπ - π
3 ,2kπ + 2π
3 ](k ∈Z)
(C)[2kπ - 2π
3 ,2kπ + π
3](k ∈Z)
(D)[2kπ - π
6 ,2kπ + 5 π
6 ](k ∈Z)
【答案】B
【解析】提示：因为π
ω = π,所以ω=1,所以f (x)=2sin(x - π
6)
,
所以- π
2 +2kπ ≤x - π
6 ≤π
2 +2kπ .
所以单增区间为[2kπ - π
3 ,2kπ + 2π
3 ](k ∈Z).
15．【2017 年贵州预赛】已知△ABC的三边长分别为a,b、c,且a
π +b
π =c
π(π是圆周率),则△ABC为(
)
(A)锐角三角形
(B)直角三角形
(C)钝角三角形
(D)以上皆有可能
【答案】A
【解析】提示：由a
π +b
π =c
π,得a
π<c
π ,b
π<c
π⇒a<c ,b<c ,
从而得△ABC中角C最大.
所以c
π -2a
2+c
π -2b
2>a
π -2a
2+b
π -2b
2=a
π +b
π =c
π⇒a
2+b
2>c
2,
即△ABC是锐角三角形.
8 / 15
故选A.
16．【2017 年湖南预赛】如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(
)
(A)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2也是锐角三角形
(B)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2也是钝角三角形
(C)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2则是钝角三角形
(D)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2则是锐角三角形
【答案】C
【解析】提示：取特殊三角形△A1B1C1各内角依次为60
∘,45
∘,75
∘;
△A2B2C2
各内角依次为30
∘、135
∘,15
∘,
显然满足cos60
∘=sin30
∘;cos45
∘=sin135
∘;cos75
∘=sin15
∘.
此时△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2则是钝角三角形.
17．【2016 年天津预赛】函数f (x)=|sin 2 x +cos2 x|的最小正周期为( )
A．2π B．π C．π
2
D．π
4
【答案】C
【解析】
注意到,f (x)=|sin 2 x +cos2 x|
⇔f (x)=|
❑√2sin(2 x + π
4)|
.
由函数图像之间的关系,可知f (x)与g(x)=|sin 2 x|有相同的最小正周期.
因为|sinx|的最小正周期为π,所以, g(x)的最小正周期为π
2
.
18．【2016 年吉林预赛】设x∈(- 3 π
4 , π
4)
，且cos(
π
4 - x)=- 3
5
.则cos2 x的值为（）
A．- 7
25
B．- 24
25
C．24
25
D．7
25
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【答案】B
【解析】
由已知得sin(
π
4 - x)= 4
5
.故cos2 x =2sin(
π
4 - x)⋅cos(
π
4 - x)=- 24
25
19．【2016 年吉林预赛】在△ABC 中，“∠A <∠B<∠C”是“cos2 A >cos2B>cos2C”的（）条件.
A．既不充分也不必要 B．充分必要 C．必要不充分 D．充分不必要
【答案】B
【解析】
注意到
∠A <∠B<∠C ⇔a<b<c
⇔sinA <sinB<sinC
⇔1-2sin
2 A >1-2sin
2B>1-2sin
2C
⇔cos2 A >cos2B>cos2C
20．【2016 年吉林预赛】设x∈(- 3 π
4 , π
4)
，且cos(
π
4 - x)=- 3
5
.则cos2 x的值为（）
A．- 7
25
B．- 24
25
C．24
25
D．7
25
【答案】B
【解析】
由已知得sin(
π
4 - x)= 4
5
.故cos2 x =2sin(
π
4 - x)⋅cos(
π
4 - x)=- 24
25
21．【2016 年吉林预赛】在△ABC 中，“∠A <∠B<∠C”是“cos2 A >cos2B>cos2C”的（）条件.
A．既不充分也不必要 B．充分必要 C．必要不充分 D．充分不必要
【答案】B
【解析】
注意到
∠A <∠B<∠C ⇔a<b<c
⇔sinA <sinB<sinC
⇔1-2sin
2 A >1-2sin
2B>1-2sin
2C
⇔cos2 A >cos2B>cos2C
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22．【2016 年浙江预赛】函数f (x)= 4 sin
3 x -sin x +2(sin x
2 -cos x
2)
2的最小正周期为（ ）
A．2π B．π
2
C．2π
3
D．π
【答案】C
【解析】
化简得f (x)=-sin3 x +2.则函数f (x)的最小正周期为2π
3
.
23 ．【2016 年辽宁预赛】在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边a 、b 、c 成等比数列. 则
sinA ⋅cotC +cosA
sinB⋅cotC +cosB
的取值范围是( ).
A．(0,+∞) B．(
❑√5-1
2
,
❑√5+1
2 )
C．(0,
❑√5+1
2 )
D．(
❑√5-1
2
,+ ∞)
【答案】B
【解析】
设a、b、c 的公比为q.则b=aq, c =aq
2.
故sin A ⋅cot C +cos A
sin B⋅cot C +cos B
= sin A ⋅cosC +cos A ⋅sinC
sin B⋅cosC +cos B⋅sinC
= sin ( A +C)
sin (B+C) = sin B
sin A = b
a =q.
由¿.
24．【2015 年浙江预赛】已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m、m+1、m+2. 则实数m的取
值范围是（ ）.
A．m>1 B．m>3
C．3
2 <m<3 D．1<m< 3
2
【答案】D
【解析】
由题意知，¿.
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25．【2015 年浙江预赛】已知等腰Rt△PQR的三个顶点分别在等腰Rt△ABC的三条边上. 则S△PQR
S△ABC
的最
小值为（ ）.
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
【答案】D
【解析】
分两种情形讨论.
（1）当△PQR的直角顶点在△ABC的斜边上式，如图
则P、C 、Q、R四点共圆⇒∠APR =∠CQR =180° -∠BQR ⇒sin ∠APR =sin ∠BQR.
在△APR、△BQR中分别应用正弦定理得PR
sin A =
AR
sin∠APR ，QR
sin B =
BR
sin∠BQR
.
又∠A =∠B = 45°，故PR =∨¿.
从而，AR = BR，即R 为AB的中点.
过点R作RH ⊥AC于点H.
则
PR≥PH = 1
2 BC ⇒S△PQR
S△ABC
= P R
2
BC
2 ≥(
1
2 BC)
2
BC
2
= 1
4
.
此时，S△PQR
S△ABC
的最小值为1
4
.
（2）当△PQR的直角顶点在△ABC的直角边上时，如图
12 / 15
设BC =1，CR = x (0≤x<1)，∠BRQ =α(0<α <π
2 ).
则∠CPR =90° =∠PRC =∠BRQ =α.
在Rt△CPR中，PR = CR
sin α =
x
sin α
.
在△BRQ中，由正弦定理得
RQ
sin B =
RB
sin ∠RQB ⇔
x
sin α
sinπ
4
=
1- x
sin(
3π
4 -α)
⇔
x
sin α =
1
cosα +2sin α .
则S△PQR= 1
2 P R
2= 1
2(
x
sin α)
2
= 1
2(
1
cosα +2sin α)
2.
故S△PQR
S△ABC
=(
1
cosα +2sin α)
2
≥
1
(1+2
2)(cos
2α +sin
2α)
= 1
5
，
当且仅当α =arctan 2时，上式等号成立，此时，S△PQR
S△ABC
的最小值为1
5
.
26．【2015 年天津预赛】设ΔABC的周长为12，内切圆半径为1.则（ ）
A．ΔABC必为直角三角形 B．ΔABC必为锐角三角形
C．ΔABC必为直角三角形或锐角三角形 D．以上结论均不对
【答案】D
【解析】
因为ΔABC的周长为12，所以ΔABC的内切圆半径为1 当且仅当ΔABC的面积为12
2 ×1=6.
则¿
由式②得
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a
2+b
2-2abcosC
=a
2+b
2+144+2ab-24 a-24 b
⇒a+b=6+ 1
12 ab(1+cosC).
由式①得ab= 12
sinC
，代入上式得
a+b=6+ 1+cosC
sinC
.
于是，a、b为方程x
2-(6+ 1+cosC
sinC )x + 12
sinC =0 ③的两个根.
特别地，当∠C =90°时 ，解得{a,b}= {3,4}.此时，c =5，方程③的判别式Δ=7
2- 4×12=1.
又∠C 由90°增加一个非常小的角度，可使方程的判别式Δ仍大于0，此时，仍可由方程组解出a、b，再
得到c，这时，三边长与3、4、5 也相差很小.
因此，由钝角三角形满足周长为12，内切圆半径为1.
27 ．【2015 年四川预赛】在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c 。若
a
cos A =
b
2cos B =
c
3cosC
,则∠A 的大小为（）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5 π
12
【答案】B
【解析】
由正弦定理知sin A
cos A = sin B
2cos B = sinC
3cosC
,
即tan A = 1
2 tan B = 1
3 tanC.
故∠A 、∠B、∠C ∈(0, π
2)
.
由3 tan A = tanC = tan[π -( A + B)]
14 / 15
=- tan ( A + B)=-
tan A + tan B
1- tan A ⋅tan B
=- tan A +2tan A
1-2tan
2 A
⇒tan
2 A =1⇒∠A = π
4
28．【2015 年辽宁预赛】已知△ABC的三边长a、b、c成等比数列,边a、b、c所对的角依次为
∠A 、∠B、∠C,且sin A ⋅sin B+sin B⋅sinC +cos2B =1.则∠B为( )
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
【答案】B
【解析】
由a、b、c成等比数列,知b
2=ac.
由已知等式得
sinA ⋅sinB+ sinB⋅sinC +1-2sin
2B =1.
而sinB≠0,故
sinA + sinC =2sinB⇒a+c =2b.
由cosB = a
2+c
2-b
2
2ac
= (a+c)
2-2ac -b
2
2ac
= 1
2 ⇒∠B = π
3
.
29．【2015 年黑龙江预赛】函数y =(sin x)|
cos x
sin x|(0＜x＜π )的图像大致为（）。
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
y =(sin x)|
cos x
sin x|=¿ ，据此确定函数的图像即可.
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