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专题十
计数原理
第三十一讲
二项式定理
2019
年
1.（2019 全国III 理4）（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中x3的系数为
A．
12
B．
16
C．
20
D．24
2．（
）在二项式
2019 浙江13
9
( 2
)x
+
的展开式中，常数项是
，系数为有理数的
________
项的个数是_______.
3.（2019天津理10）
8
3
1
2
8
x
x
−
是展开式中的常数项为 .
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
．
全国卷Ⅲ)
2
5
2
(
)
x
x
+
的展开式中
4
x 的系数为
A
B
C
D
．10
．20
．40
．80
2
2017
．（
新课标Ⅰ）
6
2
1
(1
)(1
)x
x
+
+
展开式中
2x 的系数为
A
15
B
20
C
D
．
．
．30
．35
3
2017
．（
新课标Ⅲ）
5
(
)(2
)
x
y
x
y
+
−
的展开式中
3
3
x y 的系数为
A．−
80 B．−
40 C
40
D
．
．80
4
(2016
．
年四川) 设i 为虚数单位，则
6
(
)
x
i
+
的展开式中含
4x 的项为
A．－15
4
x B．15
4
x
C．－20
4
ix
D．20
4
ix
5．（2015 湖北）已知
(1
)n
x
+
的展开式中第
项与第
项的二项式系数相等，则奇数项的二
4
8
项式系数和为
A．
12
2
B．
11
2
C．
10
2
D．
92
6
2015
．（
陕西）二项式
(
1) (
)
n
x
n
N+
+
的展开式中
2x
的系数为15，则 n =
A
4
B
．
．
．
．
5
C
6 D
7
7
2015
．（
湖南）已知
5
(
)
a
x
x
−
的展开式中含
3
2
x
的项的系数为
，则
30
a =
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A．3
B．
3
−
C
6 D
6
．
．－
8
2014
．（
浙江）在
4
6
)
1(
)
1(
y
x
+
+
的展开式中，记
n
m y
x
项的系数为
)
,
(
n
m
f
，
则
(3,0)
f
+
(2,1)
f
+
(1,2)
f
+
(0,3)
f
=
A
45 B
60 C
120 D
210
．
．
．
．
9
2014
．（
湖南）
5
1
(
2 )
2 x
y
−
的展开式中
2
3
x y 的系数是
A
20 B
5 C
5 D
．－
．－
．
．20
10．（2013 辽宁）使得
(
)
1
3
n
x
n
N
x x
+
+
的展开式中含常数项的最小的n 为
A．4
B
．5 C．6 D．7
11．（2013 江西）
5
2
3
2
x
x
−
展开式中的常数项为
A
80 B
80 C
40 D
．
．－
．
．－40
12．（ 2012 安徽）
2
5
2
1
(
2)(
1)
x
x
+
−
的展开式的常数项是（
）
A．3
−
B．2
−
C．
D
．
13．（2012 天津）在
2
5
1
(2
)
x
x
−
的二项展开式中，x 的系数为
A
10
B
．
．－10 C．40
40
D．－
14．（ 2011 福建）
5
(1
2 )
x
+
的展开式中，
2
x 的系数等于
A
80 B
40 C
20 D
．
．
．
．10
15．（ 2011 陕西）
6
(4
2
)
x
x
−
−
（xR）展开式中的常数项是
A．20
−
B．15
−
C
15 D
．
．20
二、填空题
16．(2018 天津)在
5
1
(
)
2
x
x
−
的展开式中，
2
x
的系数为
．
17．(2018 浙江)二项式
8
3
1
(
)
2
x
x
+
的展开式的常数项是___________
．
18
2017
．（
浙江）已知多项式
3
2
(
1) (
2)
x
x
+
+
=
5
4
3
2
1
2
3
4
5
x
a x
a x
a x
a x a
+
+
+
+
+
，则
4
a =___，
5a =___．
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19．（ 2017 山东）已知
(1
3 )n
x
+
的展开式中含有
2
x 项的系数是54，则 n =
．
20．(2016 年山东若
)
2
5
1
(
)
ax
x
+
的展开式中
5x
的系数是-80，则实数a=_______
．
21．(2016 年全国I)
5
(2
)
x
x
+
的展开式中，x3
的系数是 ．（用数字填写答案）
22．（
北京）在
2015
(
)
5
2
x
+
的展开式中，
3x
的系数为
．（用数字作答）
23．（ 2015 新课标）
2
4
(
)(1
)
a
x
x
+
+
的展开式中x
的奇数次幂项的系数之和为
，
32
则a =______
．
24．（2014
1
新课标）
8
(
)(
)
x
y x
y
−
+
的展开式中
2
7
x y
的系数为
．
(用数字填写答案)
25．（2014
2
新课标） (
)
10
x
a
+
的展开式中，
7
x
的系数为15，则a =___．(用数字填写答案)
26．（ 2014 山东）若
6
2
b
ax
x
+
的展开式中
3x
项的系数为
，则
20
2
2
a
b
+
的最小值为
．
27．（ 2013 安徽）若
8
3
a
x
x
+
的展开式中
4x
的系数为，则实数
7
a =______．
28．（ 2012 广东）
2
6
1
(
)
x
x
+
的展开式中
3
x 的系数为______．（用数字作答）
29．(2012 浙江)若将函数
5
( )
f x
x
=
表示为
2
0
1
2
( )
(1
)
(1
)
f x
a
a
x
a
x
=
+
+
+
+
5
5
(1
)
a
x
+
+
+
，其中
0
a ，1a ，
2
a ，…，
5
a 为实数，则
3 a = ．
30．（ 2011 浙江）设二项式
)
0
(
)
(
6
−
a
x
a
x
的展开式中
3
x
的系数为A，常数项为
，若
B
B
A
=4 ，则a 的值是
．
31．（ 2010 安徽）
6
(
)
x
y
y
x
−
展开式中，
3
x 的系数等于
．
