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专题二
函数概念与基本初等函数
Ⅰ
第五讲
函数与方程
2019
年
1.（2019 全国Ⅱ理12）设函数
( )
f x 的定义域为R，满足
(
1)
2 ( )
f x
f x
+
=
，且当
(0,1]
x
时，
( )
(
1)
f x
x x
=
−
.若对任意
(
,
]
x
m
−
，都有
8
( )
9
f x −
，则m 的取值范围是
A．
9
, 4
−
B．
7
, 3
−
C．
5
, 2
−
D．
8
, 3
−
2.（
江苏
）设
2019
14
( ), ( )
f x g x
是定义在
上的两个周期函数，
R
( )
f x
的周期为，
4
( )
g x 的
周期为
2 ，且
( )
f x
是奇函数
当
.
2
(
]
0,
x
时，
2
( )
1 (
1)
f x
x
=
−
−
，
(
2),0
1
( )
1
,1
2
2
k x
x
g x
x
+
=
−
，其中
若在区间
，
上，关于
k>0.
(0
9]
x 的方程
( )
( )
f x
g x
=
有8
个不同的实数根，则
的取值范围是
k
.
3.（2019 浙江9）已知,a bR ，函数
3
2
,
0
( )
1
1
(
1)
,
0
3
2
x x
f x
x
a
x
ax x
=
−
+
+
，若函数
( )
y
f x
ax
b
=
−
−
恰有3 个零点，则
A．a<-1，
b<0
B．a<-1，
b>0
C．a＞-1，
b<0
D．a＞-1，
b
>0
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
)
．
全国卷Ⅰ已知函数
0
( )
ln
0
=
，≤，
，
，
xe
x
f x
x
x
( )
( )
=
+ +
g x
f x
x
a ．若( )
g x
存在
个
2
零点，则a 的取值范围是
A． [ 1,0)
−
B．
[0,
)
+
C．
[ 1,
)
−+
D．
[1,
)
+
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2
2017
．（
新课标Ⅲ）已知函数
2
1
1
( )
2
(
)
x
x
f x
x
x
a e
e
−
−+
=
−
+
+
有唯一零点，则a =
A．1
2
−
B．1
3
C．1
2
D
1
．
3
2017
．（
山东）已知当
[0,1]
x
时，函数
2
(
1)
y
mx
=
−
的图象与
y
x
m
=
+
的图象有且只
有一个交点，则正实数m 的取值范围是
A．(
)
0,1
2 3,
+
B．(
)
0,1
3,+
C． (
)
0,
2
2 3,
+
D．(
)
0, 2
3,
+
4．(2016
)
年天津已知函数( )
f x =
2
(4
,
0,
log (
1)
1
3
,
0
3)
a
x
a
x
a
x
x
x
+
+
+
−
+
（ 0
a
,且 1
a
）在R 上单
调递减，且关于x 的方程
|
( ) | 2
f x
x
=
−
恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围
是
A
(0
．
，2
3
]
B
[
．2
3
，3
4
]
C
[
．1
3
，2
3
]
{ 3
4
}
D
[
．1
3
，2
3
）
{ 3
4
}
5
2015
．（
安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A． y
cosx
=
B．
y
sin x
=
C
．
y
ln x
=
D
．
2
1
y
x
=
+
6
2015
．（
福建）若,a b 是函数
( )
(
)
2
0,
0
f x
x
px
q p
q
=
−
+
的两个不同的零点，且
, , 2
a b − 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p
q
+
的
值等于
A
6 B
7 C
8 D
9
．
．
．
．
7
2015
．（
天津）已知函数
( )
(
)
2
2
,
2
2
,
2
x
x
f x
x
x
−
=
−
函数
( )
(
)
2
g x
b
f
x
=
−
−
，其中
b
R
，若函数
( )
( )
y
f x
g x
=
−
4
恰有
个零点，则b的取值范围是
A．7
( ,
)
4 +
B．
7
(
, )
4
−
C．
7
(0, )
4
D．7 ( ,2)
4
8
2015
．（
陕西）对二次函数
2
( )
f x
ax
bx
c
=
+
+
（a 为非零整数），四位同学分别给出下列
结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
A
1
．－是( )
f x
的零点
．是
B
1
( )
f x 的极值点
C
3
．是
( )
f x
的极值
．点
D
(2,8)在曲线
( )
y
f x
=
上
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9．(2014 山东)已知函数
( )
1
2 +
−
= x
x
f
，
( )
kx
x
g
=
．若方程
( )
( )
f x
g x
=
有两个不相等
的实根，则实数k 的取值范围是
A．
）
，
（
2
1
0
B． ）
，
（
1
2
1
C． ）
，
（2
1
D．
）
，
（
+
2
10．（
北京）已知函数
2014
( )
2
6
log
f x
x
x
=
−
，在下列区间中，包含
( )
f x 零点的区间是
A． (
)
0,1
B． (
)
1,2 C． (
)
2,4 D． (
)
4,+
11．
（2014 重庆）已知函数
1
3,
( 1,0]
( )
1
,
(0,1]
x
f x
x
x x
−
−
=
+
, 且
( )
( )
g x
f x
mx
m
=
−
−
在 ( 1,1]
−
内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是
A．
]
2
1
,0
(
]
2
,
4
9
(
−
−
B．
]
2
1
,0
(
]
2
,
4
11
(
−
−
C．
]
3
2
,0
(
]
2
,
4
9
(
−
−
D．
]
3
2
,0
(
]
2
,
4
11
(
−
−
12．（
湖北）已知
2014
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，当 0
x
时，
2
( ) =
3
f x
x
x
−
．则函数
( )
( )
+3
g x
f x
x
=
−
的零点的集合为
A．
{1, 3} B．
{
3, 1,1, 3}
−
−
C
．
{2
7 ,1, 3}
−
D
．
{
2
7 , 1, 3}
−
−
13．（ 2013 安徽）已知函数
3
2
( )
f x
x
ax
bx
c
=
+
+
+
有两个极值点
1
2
,
x x ，若
1
1
2
(
)
f x
x
x
=
，则关于x 的方程
2
3( ( ))
2
( )
0
f x
af x
b
+
+
=
的不同实根个数为
A
3 B
4
C
5 D
6
．
．
．
．
14．（2013 重庆）若a
b
c
，则函数
( ) (
)(
) (
)(
) (
)(
)
f x
x
a
x b
x b
x
c
x
c
x
a
=
−
−
+
−
−
+
−
−
的两个零点分别位于区间
A． (
)
,a b 和 (
)
,b c 内
．
B
(
)
,a
−
和 (
)
,a b 内
C． (
)
,b c 和 (
)
,c +内
．
D
(
)
,a
−
和 (
)
,c +内
15．(2013 湖南)函数
( )
2ln
f x
x
=
的图像与函数
( )
2
4
5
g x
x
x
=
−
+
的图象的交点个数为
A
3
B
2
C
1 D
．
．
．
．0
16．（ 2013 天津）函数
0.5
( )
2 | log
| 1
x
f x
x
=
−的零点个数为
A
1
B
2
C
3 D
．
．
．
．4
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17．（
北京）函数
2012
1
2
1
( )
( )
2
x
f x
x
=
−
的零点个数为
A
B
1 C
．0
．
．
．
2 D
3
18．（ 2012 湖北）函数
2
( )
cos
f x
x
x
=
在区间[0,4]上的零点个数为
A
4 B
．
．
．
．
5
C
6
D
7
19．
（2012 辽宁）设函数
)
(x
f
(
)
x
R
满足
(
)
( )
f
x
f x
−
=
，
( )
(2
)
f x
f
x
=
−
，且当
0,1
x
时，
( )
3
=
f x
x ．又函数
( )
(
)
=
cos
g x
x
x
，则函数
( )
( )
( )
h x
g x
f x
=
−
在
1 3
[
, ]
2 2
−
上
的零点个数为
A
5
B
6
C
7
．
．
．
D
8
．
20．(2011 天津)对实数a 与b ，定义新运算“”：
,
1,
,
1.
a a
b
a
b
b a
b
−
=
−
设函数
(
)
(
)
2
2
( )
2
,
.
f x
x
x
x
x
R
=
−
−
若函数
( )
y
f x
c
=
−
的图像与x 轴恰有两个公共点，
则实数c 的取值范围是
A．(
3
, 2
1, 2
−−
−
B．(
3
, 2
1,
4
−−
−−
C．
1
1
,
,
4
4
−
+
D．
3
1
1,
,
4
4
−−
+
21．（2011 福建）若关于x 的方程
2
1
0
x
mx
+
+ =
有两个不相等的实数根，则实数m 的取值
范围是
A．（−1,1
B
）
．（−2,2）
C．（−∞，−2）∪（2
+
D
，∞）
．（−∞，−1）∪（1
+
，∞）
22．(2011 全国新课标)函数
1
1
y
x
=
−
的图像与函数
2sin
( 2
4)
y
x
x
=
−≤≤
的图像所有交
点的横坐标之和等于
A
2
4
6
8
．
B．
C．
D．
23．(2011 山东)已知
( )
f x 是R
上最小正周期为
的周期函数，且当
2
0
2
x
≤
时，
3
( )
f x
x
x
=
−
，则函数
( )
y
f x
=
的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为
A
6
B
7
C
8 D
9
．
．
．
．
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24．（
年福建）
2010
函数
2
2
3,
0
( )
2
ln ,
0
x
x
x
f x
x
x
+
−
=
−+
≤，的零点个数为
A
0 B
1 C
2 D
3
．
．
．
．
25．(2010 天津)函数
( )
2
3
x
f x
x
=
+
的零点所在的一个区间是
A．（−2，−1
B
）
．（−1
0
C
，）
．（，
0
1
D
）
．（1
2
，）
26．（ 2010 广东）“
1
4
m
”
“
是一元二次方程
2
0
x
x
m
+
+
=
有实数解”的
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件
．非充分非必要条件
D
27．（2010 浙江）设函数
( )
4sin(2
1)
f x
x
x
=
+
−
，则在下列区间中函数
( )
f x 不．存在零点的
是
A．
4, 2
−−
B．
2,0
−
C．
0,2 D．
2,4
二、填空题
28．(2018 全国卷Ⅲ)函数
( )
cos(3
)
6
f x
x
=
+
在
[0, ]
的零点个数为________．
29．(2018
)
天津已知
0
a
，函数
2
2
2
,
0,
( )
2
2 ,
0.
x
ax
a
x
f x
x
ax
a x
+
+
=
−
+
−
≤
若关于x 的方程
( )
f x
ax
=
恰有
个互异的实数解，则
2
a 的取值范围是
．
30．(2018
)
江苏若函数
3
2
( )
2
1(
)
f x
x
ax
a
=
−
+
R 在
(0,
)
+内有且只有一个零点，则
( )
f x
在 [ 1,1]
−
上的最大值与最小值的和为
．
31．(2018
)
浙江已知R ，函数
2
4,
( )
4
3,
x
x
f x
x
x
x
−
=
−
+
≥
，当
2
=
时，不等式
( )
0
f x
的解集是_____．若函数( )
f x
恰有
个零点，则
2
的取值范围是______
．
32．(2018 浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；
鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设
鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则
100
1
5
3
100
3
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
=
，当 81
z =
时，x = ，
y = ．
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33．
（2017 江苏）设
( )
f x 是定义在R
且周期为
的函数，在区间
1
[0,1) 上，
2,
( )
,
x
x
D
f x
x
x
D
=
其中集合
1
{ |
,
}
n
D
x x
n
n
−
=
=
*
N
，则方程
( )
lg
0
f x
x
−
=
的解的个数是
．
34．(2016
)
年山东已知函数
2
|
|,
( )
2
4 ,
x
x
m
f x
x
mx
m x
m
=
−
+
≤
其中
0
m ，若存在实数b ，使
得关于x 的方程
( )
f x
b
=
有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.
35．（
湖北）函数
2015
2
π
( )
4cos
cos(
)
2sin
| ln(
1) |
2
2
x
f x
x
x
x
=
−
−
−
+
的零点个数为
．
36．（
北京）设函数
2015
( )
(
)(
)
2
1
4
2
1.
x
a x
f x
x
a
x
a
x
−
=
−
−
≥
‚
‚
‚
①若 1
a = ，则
( )
f x
的最小值为
；
②若
( )
f x
恰有
个零点，则实数
2
a
的取值范围是
．
37．（ 2015 湖南）已知函数
3
2
,
( )
,
x
x
a
f x
x
x
a
=
≤，若存在实数b ，使函数
( )
( )
g x
f x
b
=
−
有
两个零点，则a 的取值范围是
．
38．（ 2014 江苏）已知
)
(x
f
是定义在R
上且周期为
的函数，当
3
)
3,0
[
x
时，
|
2
1
2
|
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
．若函数
a
x
f
y
−
=
)
(
在区间
]
4,3
[−
上有
个零点
10
(互不相同)，则实
数a 的取值范围是
．
39．（ 2014 福建）函数
( )
+
−
−
=
0
,
ln
6
2
0
,2
2
x
x
x
x
x
x
f
的零点个数是_________
．
40．（ 2014 天津）已知函数
2
( ) |
3 |
f x
x
x
=
+
，xR .若方程
( )
|
1| 0
f x
a x
−
−=
恰有
个
4
互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.
41．（ 2012 福建）对于实数a 和b ，定义运算“*”：
2
2
,
,
,
,
a
ab a
b
a b
b
ab a
b
−
=
−
„
设
( )
f x =
(2
1) (
1)
x
x
−
−
，且关于x 的方程为
( )
f x
m
=
（m ∈）恰有三个互不相等的
R
实数根
1
2
3
,
,
x x x ，则
1
2
3
x x x 的取值范围是____________
．
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42．(2011 北京)已知函数
3
2 ,
2
( )
(
1) ,
2
x
f x
x
x
x
=
−
，若关于x 的方程
( )
f x =k 有两个不同的
实根，则数k 的取值范围是_______
．
43．(2011 辽宁)已知函数
a
x
e
x
f
x
+
−
=
2
)
(
有零点，则a的取值范围是_____
．
