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专题十一
概率与统计
第三十六讲二项分布及其应用、正态分布
答案部分
1
C
．【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，
2
1
1
(
,
)
X
N
，
2
2
2
(
,
)
Y
N
的密度曲
线分别关于直线
1
x
=
，
2
x
=
对称，因此结合题中所给图象可得，
1
2
<
，所以
2
1
(
)
(
)
P Y
P Y
<
≥
≥
，故A 错误．又
2
1
1
(
,
)
X
N
得密度曲线较
2
2
2
(
,
)
Y
N
的密度曲线“瘦高”，所以
1
2
<
，所以
2
1
(
)
(
)
P X
P X
>
≤
≤
，B 错误．对任意正
数t，
(
)
(
)
P X
t
P Y
t
≤
≥
≤
，
(
)
(
)
P X
t
P Y
t
≥
≥
≥
，
正确，
错误．
C
D
2
B
．【解析】
1
(3
6)
(95.44%
68.26%)
13.59%
2
P
=
−
=
．
3
A
．【解析】根据条件概率公式
(
)
(
|
)
( )
P AB
P B A
P A
=
，可得所求概率为0.6
0.8
0.75 =
．
4
C
．【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，
函数关于直线
2
=
x
对称，所以
(
)
5.0
2 =
P
，并且
(
)
(
)
4
2
2
0
=
P
P
则
(
)
(
)
(
)
2
4
2
0
−
=
P
P
P
3.0
5.0
8.0
=
−
=
所以选C.
5
1.
．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即
(
)
~
100,0.02
X
B
，由
二项分布的期望公式可得
(
)
1
100 0.02 0.98
1.96
DX
np
p
=
−
=
=
6．3
2
【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反
反），所以在
次试验中成功次数
1
的取值为0,1,2 ，
其中
1
1
1
(
0)
, (
1)
, (
2)
,
4
2
4
P
P
P
=
=
=
=
=
=
在
次试验中成功的概率为
1
1
1
3
(
1)
4
2
4
P
=
+
=
≥
，
所以在
次试验中成功次数
2
X 的概率为
1
2
3
1
3
(
1)
4
4
8
P X
C
=
=
=
，
x
y
O
4
2
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2
3
9
(
2)
( ) 4
16
P X =
=
=
，
3
9
3
1
2
8
16
2
EX =
+
=
．
解法
由题意知，实验成功的概率
2
3
4
p =
，故
3
(2, )
4
X
B
，所以
3
3
(
)
2
4
2
E X =
=
．
7．1
3
【解析】由
30
(1
)
20
np
np
p
=
−
=
，得
1
3
p =
．
8．3
8
【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
2
(1000,50 )
N
得：三个电子元件
的使用寿命超过
小时的概率为
1000
1
2
p =
，
小时时元件
或元件
正常工作
超过1000
1
2
的概率
2
1
3
1 (1
)
4
P
p
= −
−
=
，那么该部件的使用寿命超过
小时的概率为
1000
2
1
3
8
p
p
p
=
=
．
9．【解析】（）抽取的一个零件的尺寸在
1
(
3 ,
3 )
−
+
之内的概率为．
0
9974，从而零
件的尺寸在
(
3 ,
3 )
−
+
之外的概率为．
0
0026，故
~ (16,0.0026)
X B
．因此
(
1)
1
(
0)
1 0.9974
0.0408
P X
P X
= −
=
= −
=
．
X 的数学期望为
16 0.0026
0.0416
EX =
=
．
（
）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
2）
（i
(
3 ,
3 )
−
+
之外的概率只有．
0 0026，
一天内抽取的
个零件中，出现尺寸在
16
(
3 ,
3 )
−
+
之外的零件的概率只有
0
0408
．
，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产
过程的方法是合理的．
（）由
ii
9.97
x =
，
0.212
s
，得的估计值为ˆ
9.97
=
，的估计值为
ˆ
0.212
=
，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
−
+
之外，因此需
对当天的生产过程进行检查．
剔除
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
−
+
之外的数据．
，剩下数据的平均数为
9
22
1
(16 9.97
9.22)
10.02
15
−
=
，
因此
的估计值为
．
．
10
02
16
2
2
2
1
16 0.212
16 9.97
1591.134
i
i
x
=
=
+
，
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剔除
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
(
3 ,
3 )
−
+
之外的数据．
，剩下数据的样本方差为
9
22
2
2
1
(1591.134
9.22
15 10.02 )
0.008
15
−
−
，
因此的估计值为
0.008
0.09
．
10．【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，
( )
1
( )
1
(0.30
0.15)
0.55
P A
P A
= −
= −
+
=
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60% 为事件B ，
(
)
0.10
0.05
3
(
)
( )
0.55
11
P AB
P B A
P A
+
=
=
=
．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X ．
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
0.85 0.30
0.15
1.25
0.20 1.5
0.20 1.75
0.10
2
0.05
EX
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
0.255
0.15
0.25
0.3
0.175
0.1
1.23
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
=
，
∴平均保费与基本保费比值为1.23 ．
11．【解析】（Ⅰ）记事件
1A
=｛从甲箱中摸出的
个球是红球｝，
1
2A
=｛从乙箱中摸出的
个球是红球
1
｝，
1B
=｛顾客抽奖
次获一等奖｝，
1
2B =｛顾客抽
奖
次获二等奖｝，
1
C
=｛顾客抽奖
次能获奖｝．
1
由题意，
1A 与
2A 相互独立，
1
2
A A 与
1
2
A A 互斥，
1B 与
2B 互斥，
且
1B =
1
2
A A ，
2B =
1
2
A A +
1
2
A A ，C=
1B +
2B ．
因P (
1A )= 4
10
= 2
5
，P (
2A )= 5
10
=1
2
，
所以P (
1B )= P (
1
2
A A )=P (
1A )P (
2A )= 2
5
1
2
= 1
5
，
P (
2B )=P (
1
2
A A +
1
2
A A )= P (
1
2
A A )+ P (
1
2
A A )
= P (
1A ) (1- P (
2A ))+(1-P (
1A ))P (
2A )= 2
5
(1- 1
2
)+(1- 2
5
)1
2
= 1
2
，
故所求概率为P (C)= P (
1B +
2B )= P(
1B )+ P (
2B )= 1
5
+ 1
2
= 7
10
.
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（Ⅱ）顾客抽奖
次独立重复试验，由（）知，顾客抽奖
次获一等奖的概率为
3
I
1
1
5
，
所以
1
(3, )
5
X
B
．于是 P ( X =0)=
0
0
3
3
1
4
( ) ( )
5
5
C
= 64
125
，
P (X =1)=
1
1
2
3
1
4
( ) ( )
5
5
C
= 48
125
，
P (X =2)=
2
2
1
3
1
4
( ) ( )
5
5
C
= 12
125
，P ( X =3)=
3
3
0
3
1
4
( ) ( )
5
5
C
= 1
125
．
故X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
64
125
48
125
12
125
1
125
X 的数学期望为 E ( X )=31
5
=3
5
．
12．【解析】（）设每天
Ⅰ
,
A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有
2
1.5
,
1.5
12,
2
0,
0,
0.
x
y
W
x
y
x
y
x
y
+
+
−
（）目标函数为
1
1000
1200
z
x
y
=
+
．
当
12
W =
时，（1）表示的平面区域如图，三个顶点分别为
1
(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)
A
B
C
．
将
1000
1200
z
x
y
=
+
变形为
5
6
1200
z
y
x
= −
+
，
当
2.4,
4.8
x
y
=
=
时，直线l ：
5
6
1200
z
y
x
= −
+
在y 轴上的截距最大，
最大获利
max
2.4 1000
4.8 1200
8160
Z
z
=
=
+
=
．
当
15
W =
时，（1）表示的平面区域如图，三个顶点分别为
2
(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)
A
B
C
．
将
1000
1200
z
x
y
=
+
变形为
5
6
1200
z
y
x
= −
+
，
当
3,
6
x
y
=
=
时，直线l ：
5
6
1200
z
y
x
= −
+
在y 轴上的截距最大，
第
题解答图
10
1
第
题解答图
10
2
第
题解答图
10
3
y
x
A(0,0)
D(9,0) 12
8
O
C(6,4)
12
y
x
A(0,0)
C(6,0)
12
8
O
B(2.4,4.8)
y
x
A(0,0)
C(7.5,0)
12
8
O
B(3,6)
10
B(3,6)
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最大获利
max
3 1000
6 1200
10200
Z
z
=
=
+
=
．
当
18
W =
时，（）表示的平面区域如图，
1
3
四个顶点分别为
(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)
A
B
C
D
．
将
1000
1200
z
x
y
=
+
变形为
5
6
1200
z
y
x
= −
+
，
当
6,
4
x
y
=
= 时，直线l ：
5
6
1200
z
y
x
= −
+
在y 轴上的截距最大，
最大获利
max
6 1000
4 1200
10800
Z
z
=
=
+
=
．
故最大获利Z 的分布列为
Z
8160
10200
10800
P
0.3
0.5
0.2
因此，
( )
8160 0.3 10200 0.5 10800 0.2
9708
E Z =
+
+
=
．
（）由（
Ⅱ
Ⅰ）知，一天最大获利超过
元的概率
10000
1
(
10000)
0.5
0.2
0.7
p
P Z
=
=
+
=
，
由二项分布，天中至少有
天最大获利超过
元的概率为
3
1
10000
3
3
1
1 (1
)
1 0.3
0.973
p
p
= -
-
= -
=
．
13．【解析】（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
Ⅰ
通过茎叶图可以看出，
地区用户满意度评分的平均值高于
地区用户满意度评分的
A
B
平均值；
地区用户满意度评分比较集中，
地区用户满意度评分比较分散．
A
B
（Ⅱ）记
1
A
C
表示事件：“
地区用户满意度等级为满意或非常满意”；
A
2
A
C
表示事件：“
地区用户满意度等级为非常满意”；
A
1
B
C
表示事件：“
地区用户满意度等级为不满意”；
B
2
B
C
表示事件：“
地区用户满意度等级为满意”．
B
则
1
A
C
与
1
B
C
独立，
2
A
C
与
2
B
C
独立，
1
B
C
与
2
B
C
互斥，
1
1
2
2
B
A
B
A
C
C C
C C
=
．
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1
1
2
2
( )
(
)
B
A
B
A
P C
P C C
C C
=
1
1
2
2
(
)
(
)
B
A
B
A
P C C
P C C
=
+
1
1
2
2
(
) (
)
(
) (
)
B
A
B
A
P C
P C
P C
P C
=
+
．
由所给数据得
1
A
C
，
2
A
C
，
1
B
C
，
2
B
C
发生的概率分别为16
20
，4
20
，10
20
，8
20
．
故
1
(
)
A
P C
16
= 20
，
2
(
)=
A
P C
4
20
，
1
(
)=
B
P C
10
20
，
2
(
)
B
P C
8
= 20
，
故
10
16
8
4
( )=
+
0.48
20
20
20
20
P C
=
．
14．【解析】：（1）记“甲队以3：0 胜利”为事件
1
A ，“甲队以3：1 胜利”为事件
2
A ，“甲
队以3：2 胜利”为事件
3
A ，由题意，各局比赛结果相互独立，
故
3
1
2
8
(
)
( ) 3
27
P A =
=
，
2
2
2
3
2
2
2
8
(
)
( ) (1
)
3
3
3
27
P A
C
=
−
=
，
1
2
2
3
4
2
2
1
4
(
)
( ) (1
)
3
3
2
27
P A
C
=
−
=
所以，甲队以3：0,3:1,3:2 胜利的概率分别是8
27
，8
27
，4
27
；
（2）设“乙队以3:2 胜利”为事件
4
A ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
1
2
2
4
4
2
2
1
4
(
)
(1
) ( )
(1
)
3
3
2
27
P A
C
=
−
−
=
由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得
1
2
1
2
(
0)
(
)
(
)
(
)
P X
P A
A
P A
P A
=
=
+
=
+
16
27
=
,
3
4
(
1)
(
)
27
P X
P A
=
=
=
,
4
4
(
2)
(
)
27
P X
P A
=
=
=
,
(
3)
P X =
=1−
(
0)
P X =
(
1)
P X
−
=
(
2)
P X
−
=
3
27
=
故X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
16
27
4
27
4
27
3
27
所以
16
4
4
3
0
1
2
3
27
27
27
27
EX =
+
+
+
7
9
=
．
15．【解析】（Ⅰ）设
表示事件“作物产量为
，
表示事件“作物市场价格为
元
A
300kg”
B
6
关注微信公众号：加油高三
／
．由题设知
kg”
( )
0.5
P A =
，
( )
0.4
P B =
．
因为利润=产量市场价格−成本，所以X 所有可能的取值为
500 10 1000
4000
−
=
，
500 6 1000
2000
−
=
300 10 1000
2000
−
=
，
300 6 1000
800
−
=
(
4000)
( ) ( )
(1 0.5)(1 0.4)
0.3
P X
P A P B
=
=
=
−
−
=
,
(
2000)
( ) ( )
( ) ( )
(1 0.5) 0.4 0.5 (1 0.4)
0.5
P X
P A P B
P A P B
=
=
+
=
−
+
−
=
,
(
800)
( ) ( )
0.5 0.4
0.2
P X
P A P B
=
=
=
=
,
所以X 的分布列为
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
（Ⅱ）设
iC 表示事件“第i
季利润不少于
元”
2000
(
1,2,3)
i =
，
由题意知
1
2
3
,
,
C C C 相互独立，由（1）知，
(
)
(
4000)
(
2000)
0.3
0.5
0.8
i
P C
P X
P X
=
=
+
=
=
+
=
(
1,2,3)
i =
3 季利润均不少于
元的概率为
2000
3
1
2
3
1
2
3
(
)
(
) (
) (
)
0.8
0.512
P CC C
P C P C P C
=
=
=
3
2
季中有
季利润不少于2000 元的概率为
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)
(
)
3 0.8
0.2
0.384
P C C C
P C C C
P C C C
+
+
=
=
所以，这
季中至少有
季的利润不少于
元的概率为
3
2
2000
0.512 0.384
0.896
+
=
16．【解析】：（）
1
1
2
7,
2
n
n
=
=
，
1
2
0.28,
0.08
f
f
=
=
；
（）样本频率分布直方图为
2
关注微信公众号：加油高三
（）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（
］的概率．
3
30,35
0
2
，
设所取的
人中，日加工零件数落在区间（
4
30,35］的人数为，则
~
(4, 0.2)
B
，
4
(
1)
1
(
0)
1 (1 0.2)
1 0.4096
0.5904
P
P
= −
=
= −
−
= −
=
，
所以
人中，至少有
人的日加工零件数落在区间（
］的概率约为．
4
1
30,50
0
5904
．
17．【解析】记A
表示事件该地的
位车主购买甲种保险；
:
1
B
表示事件该地的
位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
:
1
C
表示事件该地的
位车主至少购买甲、乙两种保险中的种；
:
1
l
D
表示事件该地的
位车主甲、乙两种保险都不购买
:
1
.
（Ⅰ）
( )
0.5
P A =
,
( )
0.3
P B =
,
C
A
B
=
+
( )
(
)
( )
( )
0.8
P C
P A
B
P A
P B
=
+
=
+
=
（Ⅱ）D
C
=
,
( )
1
( )
1 0.8
0.2
P D
P C
= −
= −
=
(100,0.2)
X
B
:
,即X 服从二项分布,
所以期望
100 0.2
20
EX =
=
．
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25 30 35 40 45 50
0
