十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数解答题
目录
题型一：导数的概念及几何意义...............................................................1
题型二：导数与函数的单调性...................................................................2
题型三：导数与函数的极值、最值...........................................................4
题型四：导数与函数零点问题...................................................................7
题型五：导数与不等式的证明...................................................................9
题型六：导数与其他知识的交汇题型.....................................................11
题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题.........................................12
题型八：导数的综合应用.........................................................................14
题型一：导数的概念及几何意义
1．(2020 北京高考·第19 题) 已知函数
．
(Ⅰ)求曲线
的斜率等于
的切线方程；
(Ⅱ)设曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的最小值．
2．(2018 年高考数学天津（理）·第20 题) (本小题满分14 分)已知函数
，
，其中
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明
；
(3)证明当
时，存在直线，使是曲线
的切线，也是曲线
的切线．
3．(2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第21 题) 已知函数
．
(1)当
时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a
取值范围．
4．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第22 题) 已知函数
．
(1)当
时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处
切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a 的取值范围．
5．(2018 年高考数学浙江卷·第22 题) (本题满分15 分)已知函数
．
(1)若在
处导数相等，证明：
；
(2)若
，证明：对于任意
，直线
与曲线
有唯一公共点．
6．(2014 高考数学课标1 理科·第21 题) 设函数
1
( )
ln
x
x
be
f x
ae
x
x
-
=
+
,曲线
( )
y
f x
=
在点(1,
(1))
f
处的切
线
(
1)
2
y
e x
=
-
+ ．
(1)求,a b ;
(2)证明:
( )
1
f x > ．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第20 题)已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)是否存在
，使得
在区间
最小值为
且最大值为1？若存在，求出
的所有值；
若不存在，说明理由．
8．(2019·全国Ⅱ·理·第20 题)已知函数
．
讨论
的单调性，并证明
有且仅有两个零点；
设
是
的一个零点，证明曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
题型二：导数与函数的单调性
1．(2022 高考北京卷·第20 题) 已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意
，有
．
2．(本小题满分12 分)已知函数
，其中
，
为参数，且
．
(Ⅰ)当
时，判断函数
是否有极值；
(Ⅱ)要使函数
的极小值大于零，求参数
的取值范围；
(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数
，函数
在区间
内都是增函数，求实数
的
取值范围．
3．(2014 高考数学重庆理科·第20 题) 已知函数
的导函数
为偶
函数，且曲线
在点
处的切线的斜率为
．
（1）
确定
的值；
（2）
若
，判断
的单调性；
(3)若
有极值，求
的取值范围．
4．(2014 高考数学天津理科·第20 题) 设
．已知函数
有两个零点
,且
．
(Ⅰ)求
的取值范围;
(Ⅱ)证明
随着
的减小而增大;
(Ⅲ)证明
随着
的减小而增大．
5．(2014 高考数学江西理科·第19 题) 已知函数
．
(1)当
时,求
的极值;
(2)若
在区间
1
(0, )
3 上单调递增,求b 的取值范围．
6．(2015 高考数学重庆理科·第20 题) (本小题满分12 分，(1)小问7 分，(2)小问5 分)
设函数
．
(1)若
在
处取得极值，确定
的值，并求此时曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
上为减函数，求
的取值范围．
7．(2016 高考数学北京理科·第18 题)(本小题13 分)设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(I)求
的值；
(Ⅱ)求
的单调区间．
8．(2021 年高考全国甲卷理科·第21 题)已知
且
，函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
9．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第21 题)已知函数
．
(1)当a=1 时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0 时，f(x)≥
x3+1，求a 的取值范围．
题型三：导数与函数的极值、最值
1．(2023 年北京卷·第20 题) 设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第22 题) (1)证明：当
时，
；
(2)已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
3．(2021 高考北京·第19 题) 已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
处取得极值，求
的单调区间，以及其最大值与最小值．
4．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第21 题) 已知函数
．
(1)若
，证明：当
时，
，当
时，
；
(2)若
是
的极大值点，求
．
5．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第21 题) (12 分)已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
，证明：
．
6．(2018 年高考数学北京（理）·第18 题) (本小题13 分)设函数
．
(Ⅰ)若曲线
在点
处的切线与
轴平行，求
；
(Ⅱ)若
在
处取得极小值，求
的取值范围．
7．(2014 高考数学山东理科·第20 题) 设函数
(
为常数，
是自然
对数的底数)．
(Ⅰ)当
时，求函数
的单调区间；
(Ⅱ)若函数
在
内存在两个极值点，求
的取值范围．
8．(2014 高考数学湖南理科·第22 题) 已知常数
函数
．
(Ⅰ)讨论
在区间
上的单调性；
(Ⅱ)若
存在两个极值点
，且
求
的取值范围．
9．(2014 高考数学安徽理科·第18 题) 设函数
，其中
．
(Ⅰ)讨论
在其定义域上的单调性；
(Ⅱ)当
时，求
取得最大值和最小值时的
的值．
10．(2015 高考数学安徽理科·第21 题) (本小题满分13 分)设函数
．
(Ⅰ)讨论函数
在
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(Ⅱ)记
，求函数
在
上的最大值D；
(Ⅲ)在(Ⅱ)中，取
，求
满足
时的最大值．
11．(2017 年高考数学浙江文理科·第20 题) 已知函数
1
( )
(
2
1)
(
).
2
x
f x
x
x
e
x
≥
(Ⅰ)求
( )
f x 的导函数;
(Ⅱ)求
( )
f x 在区间
1
[
)
2
，
上的取值范围．
12．(2017 年高考数学山东理科·第20 题)已知函数
,
,
其中
是自然对数的底数．
(Ⅰ)求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)令
,讨论
的单调性并判断有无极值;有极值时,求出极值．
13．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21 题)(12 分)已知函数
1
ln
f x
x
a
x
．
(1)若
0
f x
，求a 的值；
(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2n
m
，求m 的最小值．
14．(2017 年高考数学江苏文理科·第20 题)已知函数
3
2
( )
1(
0,
)
f x
x
ax
bx
a
b
R 有极值,且导函数
( )
f
x
的极值点是
( )
f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:
2
3
b
a
;
(3)若
( )
f x ,
( )
f
x
这两个函数的所有极值之和不小于
7
2
,求a 的取值范围．
15．(2017 年高考数学北京理科·第19 题)已知函数
( )
e cos
x
f x
x
x
．
(Ⅰ)求曲线
( )
y
f x
在点(0,
(0))
f
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数
( )
f x 在区间
π
[0,
]
2 上的最大值和最小值．
16．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第21 题)(12 分)已知函数
3
( )
ln ,
f x
ax
ax
x
x
且
( )
0
f x
．
(1)求a ；
(2)证明：
( )
f x 存在唯一的极大值点
0x ，且
2
2
0
(
)
2
e
f x
．
17．(2016 高考数学天津理科·第20 题)设函数
，其中
．
(Ⅰ)求
的单调区间；
(Ⅱ)若
存在极值点
，且
，其中
，求证：
；
(Ⅲ)设
，函数
，求证：
在区间
上的最大值不小于
．
18．(2023 年全国乙卷理科·第21 题)已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处
切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明
理由．
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围．
19．(2019·北京·理·第19 题)已知函数
．
(Ⅰ)求曲线
的斜率为1 的切线方程；
(Ⅱ)当
时，求证：
；
(Ⅲ)设
，记
在区间
上的最大值为
，当
最小时，
求a 的值．
题型四：导数与函数零点问题
1．(2022 年高考全国甲卷数学（理）·第21 题) 已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则环
．
2．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第21 题) (12 分)
已知函数
．
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
在
只有一个零点，求
．
3．(2014 高考数学四川理科·第21 题) 已知函数
其中
为自
然对数的底数．
(Ⅰ)设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；
(Ⅱ)若
，函数
在区间
内有零点，求a 的取值范围．
4．(2014 高考数学辽宁理科·第21 题) (本小题满分12 分)
已知函数
，
．
证明：(1)存在唯一
，使
；
(2)存在唯一
，使
，且对(1)中的
．
5．(2015 高考数学新课标1 理科·第21 题) (本小题满分12 分)
已知函数
(Ⅰ)当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
(Ⅱ)用
表示
中的最小值，设函数
，讨论
零点的个
数．
6．(2015 高考数学天津理科·第20 题) (本小题满分14 分))已知函数
，其中
．
(I)讨论
的单调性；
(II)设曲线
与
轴正半轴的交点为
，曲线在点
处的切线方程为
,求证：对于任意的正
实数
，都有
；
(III)若关于
的方程
为实数)有两个正实根
，求证：
．
7．(2015 高考数学四川理科·第21 题) 已知函数
，其中
．
(1)设
是
的导函数，评论
的单调性；
(2)证明：存在
，使得
在区间
内恒成立，且
在
内有唯一解．
8．(2015 高考数学江苏文理·第19 题) 已知函数
．
(1)试讨论
的单调性；
(2)若
(实数
是
与无关的常数)，当函数
有三个不同的零点时，
的取值范围恰好是
，求
的值．
9．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第21 题)已知函数
2
2
x
x
f x
ae
a
e
x
．
(1)讨论
f x 的单调性;
(2)若
f x 有两个零点,求a 的取值范围．
10．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第21 题)(本小题满分12 分)已知函数
有两个
零点．
(I)求a 的取值范围；
(II)设
是
的两个零点，证明：
．
11．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第21 题)设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切
线与y 轴垂直．
(1)求b．
(2)若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
12．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第21 题)已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处
切线方程；
(2)若
在区间
各恰有一个零点，求a 的取值范围．
13．(2019·全国Ⅰ·理·第20 题)已知函数
，
为
的导数．证明：
(1)
在区间
存在唯一极大值点；
(2)
有且仅有2 个零点．
14．(2019·江苏·第19 题)设函数
、
为
的导函数．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若
，且
和
的零点均在集合
中，求
的极小值；
(3)若
，且
的极大值为
，求证:
．
题型五：导数与不等式的证明
1．(2022 年浙江省高考数学试题·第22 题) 设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，曲线
上不同的三点
处的切线都经过点
．证明：
(ⅰ)若
，则
；
(ⅱ)若
，则
．
(注：
是自然对数的底数)
2．(2014 高考数学大纲理科·第22 题) 函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，证明：
．
3．(2015 高考数学广东理科·第19 题) (本小题满分14 分)
设
，函数f ( x)=(1+x2)ex−a ．
(1) 求f ( x)的单调区间 ；
(2) 证明：f ( x)在
上仅有一个零点；
(3) 若曲线
在点P 处的切线与
轴平行，且在点
处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原
点),证明：
m≤
3√a−2
e −1
．
4．(2017 年高考数学天津理科·第20 题)设aZ ,已知定义在R 上的函数
4
3
2
( )
2
3
3
6
f x
x
x
x
x
a
在区间(1,2) 内有一个零点
0x , ( )
g x 为
( )
f x 的导函数．
(1)求( )
g x 的单调区间;
(2)设
0
0
[1,
)
(
,2]
m
x
x
,函数
0
( )
( )(
)
( )
h x
g x m
x
f m
,求证:
0
( ) (
)
0
h m h x
;
(3)求证:存在大于0 的常数A ,使得对于任意的正整数
,p q ,且
0
0
[1,
)
(
,2],
p
x
x
q
满足
0
4
1
|
|
p
x
q
Aq
．
5．(2021 年高考浙江卷·第22 题)设a，b 为实数，且
，函数
(1)求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
(3)当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，满足
．
(注：
是自然对数的底数)
6．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第22 题)已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：
有一个零点
①
；
②
．
7．(2021 年新高考Ⅰ卷·第22 题)已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
．
8．(2022 新高考全国II 卷·第22 题)已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
9．(2021 年高考全国乙卷理科·第20 题)设函数
，已知
是函数
的极值点．
(1)求a；
(2)设函数
．证明:
．
题型六：导数与其他知识的交汇题型
1．(2022 新高考全国I 卷·第22 题) 已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等差数列．
2．(2015 高考数学湖南理科·第23 题) 已知
，函数
．记
为
的从
小到大的第
个极值点．证明：
(1)数列
是等比数列;
(2)若
，则对一切
，
恒成立．
3 ．(2015 高考数学湖北理科· 第22 题) ( 本小题满分14 分) 已知数列
的各项均为正数，
，e 为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数
的单调区间，并比较
与e 的大小；
(Ⅱ)计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
(Ⅲ)令
，数列
，
的前
项和分别记为
,
, 证明：T n<eS n．
4．(2015 高考数学广东理科·第21 题) (本小题满分14 分)
数列
满足
a1+2a2+¿⋅¿+na n=4−n+2
2n−1 , n∈N∗¿ ¿．
(1) 求a3 的值；
(2) 求数列
前
项和
；
(3) 令
，
，证明：数列
的前
项和
满足
Sn <2+2lnn ．
5．(2023 年天津卷·第20 题)已知函数
．
(1)求曲线
在
处切线的斜率；
(2)当
时，证明：
；
(3)证明：
．
6．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第19 题)已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
7．(2018 年高考数学江苏卷·第19 题)(本小题满分16 分)记
分别为函数
的导函数．若
存在
，满足
且
，则称
为函数
与
的一个“S 点”．
(1)证明：函数
与
不存在“S 点”；
(2)若函数
与
存在“S 点”，求实数a 的值；
(3)已知函数
，
．对任意
，判断是否存在
，使函数
与
在
区间
内存在“S 点”，并说明理由．
题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题
1．(2023 年全国甲卷理科·第21 题)已知函数
(1)当
时，讨论
单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
2．(2014 高考数学浙江理科·第22 题) 已知函数f (x)=x3+3|x−a|(a∈R).
(1)若f (x)在[−1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a),m(a)，求M (a)−m(a)；
(2)设b∈R,若[f (x)+b]
2≤4 对x∈[−1,1]恒成立，求3a+b 的取值范围．
3．(2014 高考数学陕西理科·第23 题) 设函数
，其中
是
的导函
数．
⑴
，求
的表达式；
⑵若
恒成立，求实数
的取值范围；
⑶设
，比较
与
的大小，并加以证明．
4．(2014 高考数学福建理科·第20 题) (本小题满分14 分)
已知函数
(
为常数)的图像与
轴交于点
，曲线
在点
处的切线斜率为
．
(1)求
的值及函数
的极值；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：对任意给定的正数
，总存在
，使得当
，恒有
．
5．(2014 高考数学北京理科·第18 题) 已知PH =√( 4
3 )2+( 2
3 )2+(−4
3 )2=2., f(x)=xcosx−sinx
(1)求证：f
'
(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx
(2)(0 , π
2 )
在f
'
(x)=−xsinx<0,上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值
6．(2015 高考数学新课标2 理科·第21 题) (本题满分12 分)设函数
．
(Ⅰ)证明：
在
单调递减，在
单调递增；
(Ⅱ)若对于任意
，都有
，求
的取值范围．
7．(2015 高考数学山东理科·第21 题) 设函数
，其中
．
(Ⅰ)讨论函数
极值点的个数，并说明理由；
(Ⅱ)若
成立，求
的取值范围．
8．(2015 高考数学北京理科·第18 题) (本小题13 分)已知函数
．
(Ⅰ)求曲线
在点
处的切线方程；
(Ⅱ)求证：当
时，
；
(Ⅲ)设实数
使得
对
恒成立，求
的最大值．
9．(2016 高考数学四川理科·第21 题)设函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)确定
的所有可能取值，使得
在区间
内恒成立，(
为自然对数的
底数)
10．(2016 高考数学山东理科·第20 题)(本小题满分13 分)已知
．
(I)讨论
的单调性；
(II)当
时，证明
对于任意的
成立．
11．(2015 高考数学福建理科·第20 题)已知函数
，
(Ⅰ)证明：当
；
(Ⅱ)证明：当
时，存在
,使得对
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在
，对任意的
恒有
．
题型八：导数的综合应用
1．(2014 高考数学课标2 理科·第21 题) (本小题满分12 分)
已知函数
=
．
(Ⅰ)讨论
的单调性；
(Ⅱ)设
，当
时，
, 求
的最大值；
(Ⅲ)已知
，估计ln2 的近似值(精确到0．001)
2．(2014 高考数学湖北理科·第22 题) π 为圆周率，e=2.71828⋅¿⋅¿ ¿为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数
f ( x)=ln x
x
的单调区间；
(Ⅱ)求e3 ，3e ，eπ ，π e ，3π ，π3 这6 个数中的最大数与最小数；
(Ⅲ)将e3 ，3e ，eπ ，πe ，3π ，π3 这6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
3．(2014 高考数学江苏·第19 题) 已知函数f ( x)=ex+e−x
，其中e 是自然对数的底数．
(1)证明：f ( x)是R 上的偶函数；
(2)若关于x 的不等式mf (x)≤e−x+m−1在(0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)已知正数a 满足：存在x0∈[1,+∞)，使得f ( x0)<a(−x0
3+3 x0)成立． 试比较ea−1与ae−1的大小，并证明
你的结论．
4．(2015 高考数学江苏文理·第17 题) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交
通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为
，山区边界曲
线为
，计划修建的公路为．如图所示，
为
的两个端点，测得点
到
的距离分别为5
千米和40 千米，点
到
的距离分别为20 千米和2．5 千米，以
所在的直线分别为
轴，
建立平面直角坐标系
．假设曲线
符合函数
(其中
为常数)模型．
(1)求
的值；
(2)设公路与曲线
相切于
点,
的横坐标为．
①请写出公路长度的函数解析式
，并写出其定义域；
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．
5．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第21 题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明：
；
(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
6．(2020 天津高考·第20 题)已知函数
，
为
的导函数．
(Ⅰ)当
时，
(i)求曲线
在点
处的切线方程；
(ii)求函数
的单调区间和极值；
(Ⅱ)当
时，求证：对任意的
，且
，有
．
7．(2019·浙江·第22 题)已知实数
，设函数
，
．
(Ⅰ)当
时，求函数
的单调区间；
(Ⅱ)对任意
均有
，求
的取值范围．
注：
为自然对数的底数．
8．(2019·天津·理·第20 题)设函数
为
的导函数．
(Ⅰ)求
的单调区间；
(Ⅱ)当
时，证明
；
C
O
(Ⅲ) 设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
．
