十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题
目录
题型一：三角恒等变换..........................................................................1
题型二：三角函数与向量综合...............................................................2
题型三：三角函数的图像与性质...........................................................3
题型四：正余弦定理的应用...................................................................6
题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................10
题型六：三角函数的建模应用.............................................................12
题型七：结构不良型试题.....................................................................14
题型一：三角恒等变换
1 ．(2023 年天津卷· 第16 题) 在
中，角
所对
边分別是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
．
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第17 题)已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
3．(2018 年高考数学江苏卷·第16 题)(本小题满分14 分)已知
为锐角，
，
．
(1)求
的值； (2)求
的值．
4．(2018 年高考数学浙江卷·第18 题)已知角
的顶点与原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，它的
终边过点
．
(1)求
的值;
(2)若角
满足
，求
值．
5．(2014 高考数学广东理科·第16 题)已知函数
f (x)=Asin(x+ π
4 ), x∈R
，且
，
(1)求A 的值；
(2)若
f (θ)+f (−θ)=3
2 ，
θ∈(0, π
2 )
，求
f ( 3
4 π−θ)
．
6．(2014 高考数学江苏·第15 题)已知
α ∈( π
2 ,π )
，
sinα=√5
5 ．
(1)求
sin( π
4 +α )
的值；
(2)求
cos( 5 π
6 −2α )
的值．
题型二：三角函数与向量综合
1．(2014 高考数学山东理科·第16 题)已知向量
，
，设函数
，
且
的图象过点
和点
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)将
的图象向左平移
(
)个单位后得到函数
的图象．若
图
象上各最高点到点
的距离的最小值为1，求
的单调递增区间．
2．(2017 年高考数学江苏文理科·第16 题)已知向量
(cos , sin ),
(3,
3),
[0,π].
x
x
x
a
b
(1)若a b
,求x 的值;
(2)记
( )
f x
a b ,求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
3．(2014 高考数学辽宁理科·第17 题)(本小题满分12 分)
在
中，内角A，B，C 的对边a，b，c，且
，已知
，
，
，求：
(1)a 和c 的值；
(2)
的值．
4．(2015 高考数学陕西理科·第17 题)(本小题满分12 分)
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，
．向量
与
平行．
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)若
，
求
的面积．
5．(2015 高考数学广东理科·第16 题)(本小题满分12 分)
在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
．
(1)若
，求
的值;
(2)若
与
的夹角为
π
3 ，求
的值．
题型三：三角函数的图像与性质
1 ．(2014 高考数学江西理科· 第17 题) 已知函数
( )
sin(
)
cos(
2 )
f x
x
a
x
, 其中
,
(
,
)
2 2
a
R
(1)当
2,
4
a
时,求
( )
f x 在区间[0, ]
上的最大值与最小值;
(2)若
(
)
0,
( )
1
2
f
f
,求,a 的值．
2．(2019·浙江·第18 题)设函数
，
．
(Ⅰ)已知
，函数
是偶函数，求
的值；
(Ⅱ)求函数
的值域．
3．(2018 年高考数学上海·第18 题)(本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分)
设常数
，函数
．
(1)若
为偶函数，求
的值；
(2)若
，求方程
在区间
上的解．
4．(2014 高考数学重庆理科·第17 题)已知函数
的图像关于
直线
对称，且图像上相邻两个最高点的距离为
．
(I)求
和
的值；
(II)若
，求
的值．
5．(2014 高考数学天津理科·第15 题)已知函数
,
．
(Ⅰ)求
的最小正周期;
(Ⅱ)求
在闭区间
上的最大值和最小值．
6．(2014 高考数学四川理科·第16 题)已知函数
(Ⅰ)求
的单调递增区间；
(Ⅱ)若
是第二象限角，
求
的值
7．(2014 高考数学福建理科·第16 题)(本小题满分13 分)
已知函数
(1)若
，且
，求
的值；
(2)求函数
的最小正周期及单调递增区间．
8．(2015 高考数学重庆理科·第18 题)(本小题满分13 分，(1)小问7 分，(2)小问6 分)
已知函数
(1)求
的最小正周期和最大值；
(2)讨论
在
上的单调性．
9．(2015 高考数学天津理科·第15 题)(本小题满分13 分)已知函数
2
2
sin
sin
6
f x
x
x
，
R
x
(Ⅰ)求
( )
f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求
( )
f x 在区间
上的最大值和最小值．
10 ．(2015 高考数学湖北理科· 第17 题)( 本小题满分11 分) 某同学用“ 五点法” 画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
的解析式；
(Ⅱ)将
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到
的图象．若
图象的一个对称中心为
，求
的最小值．
11．(2015 高考数学福建理科·第19 题)已知函数
的图像是由函数
的图像经如下变换得
到：先将
图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移
个单位长度．
(Ⅰ)求函数
的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于
的方程
在
内有两个不同的解
．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)证明：
12．(2015 高考数学北京理科·第15 题)(本小题13 分)已知函数
．
(Ⅰ)求
的最小正周期；
(Ⅱ)求
在区间
上的最小值．
13．(2017 年高考数学浙江文理科·第18 题)已知函数
2
2
( )
sin
cos
2 3sin cos
(
)
f x
x
x
x
x x
R ．
(Ⅰ)求
2
(
)
3
f
的值;
(Ⅱ)求
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
14．(2017 年高考数学山东理科·第16 题)设函数
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
,其中0
3
．已
知
(
)
0
6
f
．
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数
( )
y
f x
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左
平移4
个单位,得到函数
( )
y
g x
的图象,求( )
g x 在
3
,
4
4
上的最小值．
15．(2016 高考数学天津理科·第15 题) 已知函数
．
(Ⅰ)求
的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论
在区间
上的单调性．
16．(2021 年高考浙江卷·第18 题)设函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
在
上的最大值．
17．(2014 高考数学江苏·第26 题)已知函数
＝
(
)，记
为
的导数，n∈N*．
(1)求
的值；
(2)证明：对任意n∈N*，等式
都成立．
题型四：正余弦定理的应用
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第17 题)记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积
为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第19 题)记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
，
点
在边
上，
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
3．(2020 年浙江省高考数学试卷·第18 题)在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
4．(2022 新高考全国I 卷·第18 题)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
5．(2020 天津高考·第16 题)在
中，角
所对的边分别为
．已知
．
(Ⅰ)求角
的大小；
(Ⅱ)求
的值；
(Ⅲ)求
的值．
6．(2020 江苏高考·第16 题)在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)在边
上取一点
，使得
，求
的值．
7 ．(2019· 全国Ⅰ· 理· 第17 题)
的内角
的对边分别为
．设
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
8．(2019·江苏·第15 题)在
中，角
的对边分别为
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
9．(2019·北京·理·第15 题)在△ABC 中，
，
，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求sin(B–C)的值．
10．(2018 年高考数学天津(理)·第15 题)在
中，内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)设
，求
和
的值．
11．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第17 题)(12 分)在平面四边形
中，
，
，
,
．
(1)求
; (2)若
,求
．
12．(2018 年高考数学北京(理)·第15 题)(本小题13 分)在
中，
，
，
．
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)求
边上的高．
13．(2014 高考数学陕西理科·第18 题)
的内角
所对的边分别为
．
⑴若
成等差数列，证明：
；
⑵若
成等比数列，求
的最小值．
14．(2014 高考数学湖南理科·第18 题)如图右,在平面四边形
中,
．
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若
求
的长．
A
D
C
B
15 ．(2014 高考数学大纲理科· 第17 题)ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为
，已知
，
，求角
．
16．(2014 高考数学北京理科·第15 题)如图, 在△ABC 中, ∠B=
(0,−1,1)⋅(2λ,λ,2−2λ)=0. , AB=8, 点D 在BC 边上, 且CD=2,
cos∠ADC=
λ=
2
3
(1)求sin∠BAD
(2)求BD, AC 的长
17 ．(2014 高考数学安徽理科· 第16 题) 设
的内角
所对边的长分别是
，且
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的值．
18．(2015 高考数学四川理科·第19 题)如图，
为平面四边形
的四个内角．
A
B
C
D
(1)证明：
(2)若
求
的值．
19．(2015 高考数学湖南理科·第19 题)设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，且
为钝角．
(1)证明：
；
(2)求
的取值范围．
20．(2015 高考数学江苏文理·第15 题)在Δ ABC 中，已知AB =2,AC =3, A=60∘．
(1)求BC 的长；
(2)求sin2C 的值．
21．(2015 高考数学安徽理科·第16 题)(本小题满分12 分)在
中，
,点
D 在
边上，
，求
的长．
22．(2017 年高考数学天津理科·第15 题)在
ABC
△
中,内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知a
b
,
5,
6
a
c
,
3
sin
5
B
．
(1)求b 和sin A 的值;
(2)求
π
sin(2
)
4
A
的值．
23 ．(2016 高考数学四川理科· 第17 题) 在
中，角
所对的边分别是
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
24．(2016 高考数学山东理科·第16 题)(本小题满分12 分)在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
(Ⅰ)证明：
;
(Ⅱ)求
的最小值．
25．(2016 高考数学江苏文理科·第15 题)在
中，
，
，
．
(1)求
的长；
(2)求
的值．
26．(2016 高考数学北京理科·第15 题)(本小题13 分)在
中，
．
(I)求
的大小
(II)求
的最大值．
27．(2019·天津·理·第15 题)在
中，内角
所对的边分别为
．已知
，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的值．
题型五：与三角形周长、面积有关问题
1．(2023 年全国乙卷理科·第18 题)在
中，已知
，
，
．
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积．
2．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第18 题)在
中，角
、
、
所对的边长分别为
、
、
，
，
．．
(1)若
，求
的面积；
(2)是否存在正整数
，使得
为钝角三角形?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
3．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第17 题)
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求
周长的最大值．
4．(2022 高考北京卷·第16 题)在
中，
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
5．(2022 年浙江省高考数学试题·第18 题)在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
6．(2022 新高考全国II 卷·第18 题)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为
边长的三个正三角形的面积依次为
，已知
．
(1)求
面积；
(2)若
，求b．
7．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第17 题)记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的周长．
8．(2014 高考数学浙江理科·第18 题)在
ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，
(I)求角C 的大小；
(II)若
求
的面积。
9．(2015 高考数学浙江理科·第16 题)(本题满分14 分)在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
，
=
．
(1)求
的值；
(2)若
的面积为
，求
的值．
10．(2015 高考数学新课标2 理科·第17 题)(本题满分12 分)
中，
是
上的点，
平分
，
面积是
面积的2 倍．
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)若
，
，求
和
的长．
11．(2015 高考数学山东理科·第16 题)设
．
(Ⅰ)求
的单调区间；
(Ⅱ)在锐角
中，角
的对边分别为
,若
,求
面积的最大值．
12．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17 题)
ABC
△
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ,已知
ABC
△
的面积为
2
3sin
a
A ．
(1)求sin
sin
B
C ; (2)若6cos
cos
1
B
C
,
3
a
,求
ABC
△
的周长．
13．(2017 年高考数学上海(文理科)·第18 题)(本题满分14 分,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8
分)
已知函数
2
2
1
( )
cos
sin
2
f x
x
x
,
(0, )
x
．
(1)求
( )
f x 的单调递增区间;
(2)设ABC
为锐角三角形,角A 所对边
19
a
,角B 所对边
5
b
,若
( )
0
f A
,求ABC
的面积．
14．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17 题)(12 分)
ABC
△
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．已知
sin
3 cos
0
A
A
，
2 7
a
，
2
b
．
(1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD
AC
，求
ABD
△
的面积．
15．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17 题)(12 分) ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ,已知
2
sin(
)
8sin 2
B
A
C
．
(1)求cos B
(2)若
6
a
c
, ABC
面积为2,求.b
16．(2017 年高考数学北京理科·第15 题)在ABC
中,
60
A
,
3
7
c
a
．
(Ⅰ)求sinC 的值;
(Ⅱ)若
7
a
,求ABC
的面积．
17．(2016 高考数学浙江理科·第16 题)(本题满分14 分)在
中，内角
所对的边分别为
．
已知
．
(Ⅰ)证明：
；
(Ⅱ)若
的面积
，求角
的大小．
18．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第17 题)(本题满分为12 分)
的内角
的对边分别为
，已知
(I)求
；
(II)若
，
的面积为
，求
的周长．
19．(2019·全国Ⅲ·理·第18 题)
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且12
25 ，求
面积的取值范围．
题型六：三角函数的建模应用
1．(2014 高考数学湖北理科·第17 题)某实验室一天的温度(单位：
∘C )随时间t (单位：h )的变化近似满
足函数关系；
f (t )=10−√3cos π
12 t−sin π
12 t
，t ∈[0,24)．
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11
∘C ，则在哪段时间实验室需要降温？
2 ．(2019· 上海· 第19 题) 如图，
为海岸线，
为线段，弧BC 为四分之一圆弧，
，
，
，
.
(1)求弧BC 长度；
(2)若
，求
到海岸线
的最短距离.(精确到
)
3．(2014 高考数学上海理科·第21 题)如图，某公司要在
、
两
地连线上
的定点
处建造广告牌
，其中
为顶端，
长35 米，
长
80
米．设点
、
在同一水平面上，从
和
看
的仰角分别为
和
．
(1)设计中
是铅垂方向，若要求
，问
的长至
多为多少
(结果精确到0．01 米)？
(2)施工完成后，
与铅垂方向有偏差，现在实测得
，
，求
的长(结果
精确到0．01 米)．
β
α
A
B
C
D
4．(2019·江苏·第18 题)如图，一个湖的边界是圆心为
的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有
桥
(
是圆
的直径)．规划在公路上选两个点
，并修建两段直线型道路
．规划
要求:线段
上的所有点到点
的距离均不小于圆
的半径．已知点
到直线的距离分别
为
和
(
为垂足)，测得
，
，
(单位:百米)．
(1)若道路
与桥
垂直，求道路
的长；
(2)在规划要求下，
和
中能否有一个点选在
处？并说明理由；
(3)对规划要求下，若道路
和
的长度均为
(单位：百米).求当
最小时，
两点间的距离．
5．(2018 年高考数学江苏卷·第17 题)(本小题满分14 分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O
的一段圆弧
(P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离
为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块
形状为
，要求
均在线段
上，
均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为
．
(1)用
分别表示矩形
和
的面积，并确定
的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
．求当
为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七：结构不良型试题
1．(2023 年北京卷·第17 题)设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
2．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17 题)在①
，②
，③
这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17 题)在①
，②
，③
这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，若问题中
三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明
理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．(2021 高考北京·第16 题)在
中，
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求
边上中线的长．
条件①：
；
条件②：
周长为
；
条件③：
的面积为
；
5．(2020 北京高考·第17 题)在
中，
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
己知，求：
(Ⅰ)
的值：
(Ⅱ)
和
的面积．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
