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九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分。在每小题给出的四个选项A、B、C、D
中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）
1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：
D．2：1
2．在△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则sinB 的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD=15°，则∠BAD 的度数为（ ）
A．15°
B．30°
C．60°
D．75°
4．如图所示，给出下列条件：①∠B= ACD
∠
；②∠ADC= ACB
∠
；③
；④AC2=AD•AB．
其中单独能够判定△ABC
ACD
△
∽
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在△ABC 中，若cosA=
，tanB=
，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A，如果PA=4，PB=2，那么
线段BC 的长等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧
的中点，点D 是优弧
上一点，且∠D=30°，
下列四个结论：
OA BC
①
⊥
；②BC=6
；③sin AOB=
∠
；④四边形ABOC 是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①②③④C．②③④
D．①③④
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为 ．
10．弧长为6π 的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是 ．
11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则
的值是 ．
12．如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F，如果
，则
=
．
13．如图，AB、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B、C，D 是优弧BC 上的一点，已知
∠BAC=80°，那么∠BDC= 度．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2 的正方形，顶点A、C 分别在x，y
轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P．则点
P 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7 个小题，共78 分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤
15．计算：tan30°•sin60°+cos230°
sin
﹣
245°•tan45°．
16．如图，△ABC 中，DE BC
∥
，DE=1，AD=2，DB=3，求BC 的长．
17．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O，点C 恰好在半圆上，过C 作CD AB
⊥
交AB 于
D．已知cos ACD=
∠
，BC=4，求AC 的长．
18．如图，△ABC 的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O 为位
似中心，且与△ABC 相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需
画出一种情况，A1B1：AB= ）
19．如图1 表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显
示3 点30 分时，分针垂直与桌面，A 点距桌面的高度为10 公分．如图2，若此钟面显示3 点
45 分时，A 点距离桌面的高度为16 公分，则钟面显示3 点50 分时，A 点距桌面的高度为多少
公分？
20．如图，小明为测量某铁塔AB 的高度，他在离塔底B 的10 米C 处测得塔顶的仰角α=43°，
已知小明的测角仪高CD=1.5 米，求铁塔AB 的高．（精确到0.1 米）
（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）
21．如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E，点M 是
的中点，OM 交AC 于点D，
∠BOE=60°，cosC= ，BC=2
．
（1）求∠A 的度数；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）求MD 的长度．
22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部
门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向
东航行的海监船A、B，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监
船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C 与船B
的距离是多少．（结果保留根号）
23．在矩形ABCD 中，DC=2
，CF BD
⊥
分别交BD、AD 于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC
FDC
∽△
；
（2）当F 为AD 的中点时，求sin FBD
∠
的值及BC 的长度．
24．如图，在Rt
ABC
△
中，斜边BC=12，∠C=30°，D 为BC 的中点，△ABD 的外接圆⊙O 与
AC 交于F 点，过A 作⊙O 的切线AE 交DF 的延长线于E 点．
（1）求证：AE DE
⊥
；
（2）计算：AC•AF 的值．
九年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分。在每小题给出的四个选项A、B、C、D
中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）
1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：
D．2：1
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴（1：2）2=1：4．故选B．
【点评】本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．
2．在△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则sinB 的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1 解答．
【解答】解：∵在Rt
ABC
△
，∠C=90°，
A+ B=90°
∴∠
∠
，
sin
∴
2A+sin2B=1，sinB＞0，
sinA=
∵
，
sinB=
∴
= ．
故选：C．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握sin2A+sin2B=1 是解题的关键．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD=15°，则∠BAD 的度数为（ ）
A．15°
B．30°
C．60°
D．75°
【考点】圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】由AB 是圆的直径，则∠ADB=90°，由圆周角定理知，∠ABD= ACD=15°
∠
，即可求
∠BAD=90°
B=75°
﹣∠
．
【解答】解：连接BD，
AB
∵
是圆的直径，
ADB=90°
∴∠
，
ABD= ACD=15°
∴∠
∠
，
BAD=90°
ABD=75°
∴∠
∠
﹣
．
故选：D．
【点评】本题考查了直径对的圆周角定理是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．如图所示，给出下列条件：①∠B= ACD
∠
；②∠ADC= ACB
∠
；③
；④AC2=AD•AB．
其中单独能够判定△ABC
ACD
∽△
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由图可知△ABC 与△ACD 中∠A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应
边成比例即可解答．
【解答】解：有三个．
B= ACD
①∠
∠
，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
ADC= ACB
②∠
∠
，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判
定；
③中∠A 不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
5．在△ABC 中，若cosA=
，tanB=
，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．
【解答】解：∵cosA=
，tanB=
，
A=45°
∴∠
，∠B=60°．
C=180°
45°
60°=75°
∴∠
﹣
﹣
．
ABC
∴△
为锐角三角形．
故选A．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在2016 届中考中经常出
现，题型以选择题、填空题为主．
6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可
得出答案．
【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC 分别为
、2、
、
只有选项B 的各边为1、
、
与它的各边对应成比例．
故选：B．
【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．
7．如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A，如果PA=4，PB=2，那么
线段BC 的长等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】切线的性质．
【分析】如图，连接OA．根据切线的性质得到∠OAP=90°，所以在直角△AOP 中，利用勾股定
理来求该圆的半径，则易求直径BC 的长度．
【解答】解：设该圆的半径为r（r＞0），
如图，连接OA，
PA
∵
切⊙O 于点A，
OA AP
∴
⊥
，即∠OAP=90°，
又∵PA=4，PB=2，
∴在直角△AOP 中，利用勾股定理得到：PA2+OA2=OP2，即42+r2=（r+2）2，
则r=3，
O
∴⊙
的直径BC=2r=6，
故选D．
【点评】本题考查了切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆
心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答此题的关键．
8．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧
的中点，点D 是优弧
上一点，且∠D=30°，
下列四个结论：
OA BC
①
⊥
；②BC=6
；③sin AOB=
∠
；④四边形ABOC 是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①②③④C．②③④
D．①③④
【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即
可．
【解答】解：∵点A 是劣弧
的中点，OA 过圆心，
OA BC
∴
⊥
，故①正确；
D=30°
∵∠
，
ABC= D=30°
∴∠
∠
，
AOB=60°
∴∠
，
∵点A 是劣弧
的中点，
BC=2CE
∴
，
OA=OB
∵
，
OA=OB=AB=6cm
∴
，
BE=AB•cos30°=6×
∴
=3
cm，
BC=2BE=6
∴
cm，故②正确；
AOB=60°
∵∠
，
sin AOB=sin60°=
∴
∠
，
故③正确；
AOB=60°
∵∠
，
AB=OB
∴
，
∵点A 是劣弧
的中点，
AC=AB
∴
，
AB=BO=OC=CA
∴
，
∴四边形ABOC 是菱形，
故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道
好题．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为
．
【考点】解直角三角形．
【分析】易求腰长．作底边上的高，根据三角函数的定义求解．
【解答】解：如图，AB=AC，BC=10，AD 为底边上的高，周长为36，
则AB=AC=（36
10
﹣
）÷2=13．
BD=5
∵
，
∴由勾股定理得，AD=12．
tan ABC=AD
∠
：BD=12：5．
【点评】本题利用了等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念．
10．弧长为6π 的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是
18
．
【考点】弧长的计算．
【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．
【解答】解：
=6π，
解得r=18．
【点评】解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长
公式和圆的周长公式求值．
11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则
的值是
．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由∠BAC= ACD=90°
∠
，可得AB CD
∥
，即可证得△ABE
DCE
∽△
，然后由相似三角形的
对应边成比例，可得：
，然后利用三角函数，用AC 表示出AB 与CD，即可求得答案．
【解答】解：∵∠BAC= ACD=90°
∠
，
AB CD
∴
∥
，
ABE
DCE
∴△
△
∽
，
∴
，
∵在Rt
ACB
△
中∠B=45°，
AB=AC
∴
，
∵在Rt
ACD
△
中，∠D=30°，
CD=
∴
=
AC，
∴
=
=
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数
形结合思想的应用．
12．如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F，如果
，则
=
．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，易得△BEF
DAF
∽△
，即可得
=
，然后由
，求
得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC
∴
∥
，AD=BC，
BEF
DAF
∴△
△
∽
，
∴
=
，
∵
，
∴
= ，
∴
= ．
故答案为：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌
握数形结合思想的应用．
13．如图，AB、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B、C，D 是优弧BC 上的一点，已知
∠BAC=80°，那么∠BDC=
50
度．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【分析】先用切线的性质得出∠BAD= ACD=90°
∠
，再用四边形内角和定理得出∠BOC，
∠BDC 可求．
【解答】解：连接OB、OC，则∠ABO= ACO=90°
∠
，
BAC+ BOC=360°
∠
∠
﹣（∠ABO+ ACO
∠
）=360°
180°=180°
﹣
，
BOC=180°
BAC=180°
80°=100°
∠
∠
﹣
﹣
，
故∠BDC=
BOC=
∠
×100=50°．
【点评】本题考查的是切线的性质及圆周角定理，四边形内角和定理，比较简单．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2 的正方形，顶点A、C 分别在x，y
轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P．则点
P 的坐标为 （
2 ，
4
2
﹣
） ．
【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
【分析】根据正方形的对角线等于边长的
倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ 和
△OCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP 的长，再求出AP，即可得到点P 的
坐标．
【解答】解：∵四边形OABC 是边长为2 的正方形，
OA=OC=2
∴
，OB=2
，
QO=OC
∵
，
BQ=OB
OQ=2
∴
﹣
2
﹣，
∵正方形OABC 的边AB OC
∥
，
BPQ
OCQ
∴△
△
∽
，
∴
=
，
即
=
，
解得BP=2
2
﹣，
AP=AB
BP=2
∴
﹣
﹣（2
2
﹣）=4
2
﹣
，
∴点P 的坐标为（2，4
2
﹣
）．
故答案为：（2，4
2
﹣
）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的
倍的性质，以
及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP 的长是解题的关
键．
三、解答题（本大题共7 个小题，共78 分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤
15．计算：tan30°•sin60°+cos230°
sin
﹣
245°•tan45°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】把特殊角的三角函数值代入，然后化简求值即可．
【解答】解：原式=
×
+（
）2﹣（
）2×1
= + ﹣= ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地2016 届中考题中常见的计算题型．解决此类
题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
16．如图，△ABC 中，DE BC
∥
，DE=1，AD=2，DB=3，求BC 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定定理得出△ADE
ABC
∽△
，再根据相似三角形的对应边成比例
即可得出BC 的长．
【解答】解：∵DE BC
∥
，
ADE
ABC
∴△
△
∽
，
∴
，
DE=1
∵
，AD=2，DB=3，
AB=AD+DB=5
∴
，
BC=
∴
= ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比相等是解答此
题的关键．
17．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O，点C 恰好在半圆上，过C 作CD AB
⊥
交AB 于
D．已知cos ACD=
∠
，BC=4，求AC 的长．
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°，得∠ACB=90°，再由CD AB
⊥
．易得∠ACD= B
∠，又
由cos ACD=
∠
，得出tanB，即可求得答案．
【解答】解：∵AB 为直径，
ACB=90°
∴∠
，
ACD+ BCD=90°
∴∠
∠
，
CD
AB
∵
⊥
，
BCD+ B=90°
∴∠
∠
，
B= ACD
∴∠
∠
，
cos ACD=
∵
∠
，
cos B=
∴
∠
，
tan B=
∴
∠
，
BC=4
∵
，
tan B=
∴
∠
，
∴
=
AC=
∴
．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想
的应用．
18．如图，△ABC 的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O 为位
似中心，且与△ABC 相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需
画出一种情况，A1B1：AB= ）
【考点】作图-位似变换；坐标确定位置．
【分析】先以原点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形，使相似比为，再根据所作三角形三
点的位置写出三点的坐标．
【解答】解：如图
A
△
1B1C1就是所求的三角形，A1（﹣2，﹣2），B1（1，﹣1），C1（﹣1.5，0）．
【点评】此题考查位似三角形的作法和点的坐标的写法，难度中等．
19．如图1 表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显
示3 点30 分时，分针垂直与桌面，A 点距桌面的高度为10 公分．如图2，若此钟面显示3 点
45 分时，A 点距离桌面的高度为16 公分，则钟面显示3 点50 分时，A 点距桌面的高度为多少
公分？
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据当钟面显示3 点30 分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10 公分得出
AD=10，进而得出A′C=16，从而得出A′A″=3，得出答案即可．
【解答】解：连接A″A′，
∵当钟面显示3 点30 分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10 公分．
AD=10
∴
，
∵钟面显示3 点45 分时，A 点距桌面的高度为16 公分，
A′C=16
∴
，
AO=A″O=6
∴
，
则钟面显示3 点50 分时，
A″OA′=30°
∠
，
A′A″=3
∴
，
A
∴
点距桌面的高度为：16+3=19 公分．
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出∠A′OA=30°，进而得出A′A″=3，是
解决问题的关键．
20．如图，小明为测量某铁塔AB 的高度，他在离塔底B 的10 米C 处测得塔顶的仰角α=43°，
已知小明的测角仪高CD=1.5 米，求铁塔AB 的高．（精确到0.1 米）
（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】应用题．
【分析】本题是一个直角梯形的问题，可以过点D 作DE AB
⊥
于点E，把求AB 的问题转化求
AE 的长，从而可以在△ADE 中利用三角函数求解．
【解答】解：如图，可知四边形DCBE 是矩形．
EB=DC=1.5
∴
米，DE=CB=10 米．
在Rt
AED
△
中，∠ADE=α=43°．
tanα=
∴
．
AE=DE•tan43°=10×0.9325=9.325
∴
米；
AB=AE+EB=9.325+1.5=10.825≈10.8
∴
（米）．
【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．
21．如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E，点M 是
的中点，OM 交AC 于点D，
∠BOE=60°，cosC= ，BC=2
．
（1）求∠A 的度数；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）求MD 的长度．
【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；证明题；压轴题．
【分析】（1）根据三角函数的知识即可得出∠A 的度数．
（2）要证BC 是⊙O 的切线，只要证明AB BC
⊥
即可．
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度．
【解答】（1）解：∵∠BOE=60°，
A=
∴∠
BOE=30°
∠
．
（2）证明：在△ABC 中，∵cosC= ，
C=60°
∴∠
．
又∵∠A=30°，
ABC=90°
∴∠
，
AB BC
∴
⊥
．
BC
∴
是⊙O 的切线．
（3）解：∵点M 是
的中点，
OM AE
∴
⊥
．
在Rt
ABC
△
中，∵BC=2
，
AB=BC•tan60°=2
∴
×
=6．
OA=
∴
=3，
OD=
∴
OA= ，
MD=
∴
．
【点评】本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆
上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部
门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向
东航行的海监船A、B，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监
船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C 与船B
的距离是多少．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】压轴题．
【分析】首先过点B 作BD AC
⊥
于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可
求得∠ACB 的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
【解答】解：过点B 作BD AC
⊥
于D．
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
ACB=180°
BAC
ABC=30°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
，
在Rt
ABD
△
中，BD=AB•sin BAD=20×
∠
=10
（海里），
在Rt
BCD
△
中，BC=
=
=20
（海里）．
答：此时船C 与船B 的距离是20
海里．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利
用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
23．在矩形ABCD 中，DC=2
，CF BD
⊥
分别交BD、AD 于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC
FDC
∽△
；
（2）当F 为AD 的中点时，求sin FBD
∠
的值及BC 的长度．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据题意可得∠DEC= FDC
∠
，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F 为AD 的中点，可得FB=FC，根据AD BC
∥
，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由
sin FBD=EF
∠
：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在
Rt
CFD
△
中求出FD，继而得出BC．
【解答】解：（1）∵∠DEC= FDC=90°
∠
，∠DCE= FCD
∠
，
DEC
FDC
∴△
△
∽
．
（2）∵F 为AD 的中点，AD BC
∥
，
FE
∴
：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
FE
∴
：FC=1：3，
sin FBD=EF
∴
∠
：BF=EF：FC= ；
设EF=x，则FC=3x，
DEC
FDC
∵△
∽△
，
∴
=
，即可得：6x2=12，
解得：x=
，
则CF=3
，
在Rt
CFD
△
中，DF=
=
，
BC=2DF=2
∴
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定
理及相似三角形的性质：对应边成比例．
24．如图，在Rt
ABC
△
中，斜边BC=12，∠C=30°，D 为BC 的中点，△ABD 的外接圆⊙O 与
AC 交于F 点，过A 作⊙O 的切线AE 交DF 的延长线于E 点．
（1）求证：AE DE
⊥
；
（2）计算：AC•AF 的值．
【考点】切线的性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性
质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）连接OA、OB，证明△ABD 为等边三角形后根据三心合一的定理求出
∠OAC=60°，求出四边形ABDF 内接于圆O，利用切线的性质求出AE DE
⊥
；
（2）由1 可得△ABD 为等边三角形，易证△ADF
ACD
∽△
，可得AD2=AC•AF．
【解答】（1）证明：在Rt
ABC
△
中，∠BAC=90°，∠C=30°，D 为BC 的中点，
ABD=60°
∴∠
，AD=BD=DC．
ABD
∴△
为等边三角形．
O
∴
点为△ABD 的中心（内心，外心，垂心三心合一）．
连接OA，OB，∠BAO= OAD=30°
∠
，
OAC=60°
∴∠
．
又∵AE 为⊙O 的切线，
OA AE
∴
⊥
，∠OAE=90°．
EAF=30°
∴∠
．
AE BC
∴
∥
．
又∵四边形ABDF 内接于圆O，
FDC= BAC=90°
∴∠
∠
．
AEF= FDC=90°
∴∠
∠
，即AE DE
⊥
．
（2）解：由（1）知，△ABD 为等边三角形，
ADB=60°
∴∠
．
ADF= C=30°
∴∠
∠
，∠FAD= DAC
∠
．
ADF
ACD
∴△
△
∽
，则
．
AD
∴
2=AC•AF，
又∵AD= BC=6．
AC•AF=36
∴
．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论
证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
