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冲刺：几何综合问题(基础)
一、选择题
1.（2016•天水）如图，边长为2 的等边△ABC 和边长为1 的等边△A′B′C′，它们的边
B′C′，BC 位于同一条直线l 上，开始时，点C′与B 重合，△ABC 固定不动，然后把
△A′B′C′自左向右沿直线l 平移，移出△ABC 外（点B′与C 重合）停止，设△A′B′C′平
移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y 关于x 的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 如图，将直角三角形ABC 沿着斜边AC 的方向平移到△DEF 的位置（A、D、C、F 四点在
同一条直线上）．直角边DE 交BC 于点G．如果BG=4，EF=12，△BEG 的面积等于4，那么梯形
ABGD 的面积是（ ）
A. 16 B. 20 C. 24 D. 28
二、填空题
3.（2016•海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原
理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的
高度．如图所示，木杆EF 的长为2m，它的影长FD 为3m，测得OA 为201m，则金字塔的高度BO
为______ m．
4. 如图，线段AB=8cm，点C 是AB 上任意一点（不与点A、B 重合），分别以AC、BC 为斜边
在AB 的同侧作等腰直角三角形（△AMC 和△CNB），则当BC=_____________cm 时，两个等腰直
角三角形的面积和最小．
三、解答题
5. 有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它
的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE 与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重
合； 将直尺沿AB 方向平移（如图②），设平移的长度为xcm（ 0≤x≤10 ），直尺和三角形
纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．
（1）当x=0 时（如图①），S=________；
（2）当0＜x≤4 时（如图②），求S 关于x 的函数关系式；
（3）当4＜x＜6 时，求S 关于x 的函数关系式；
（4）直接写出S 的最大值．
6. 问题情境：如图①，在△ABD 与△CAE 中，BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证：
△ABD≌△CAE.（不需要证明）
特例探究：如图②,在等边△ABC 中,点D、E 分别在边BC、AB 上，且BD=AE,AD 与CE 交于
点F.求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC 中，点D、E 分别在边CB、BA 的延长线上，且BD=AE．
△ABD 与△CAE 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O 是AB 边的垂直平分线与AC 的交点，点
D、E 分别在OB、BA 的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD 的度数．
7. 如图正三角形ABC 的边长为6cm,⊙O 的半径为rcm，当圆心O 从点A 出发，沿着线路
AB－BC－CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动.
⑴若r=
cm,求⊙O 首次与BC 边相切时，AO 的长；
⑵在⊙O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下
r 的取值范围及相应的切点的个数；
⑶设⊙O 在整个移动过程中，在△ABC 内部，⊙O 未经过的部分面积为S，在S＞0 时，求关
于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围.
8. （2015•德州）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，
∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ 时，上述结
论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5，点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出了，沿边
AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A，设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径
的圆与AB 相切时，求t 的值．
9. 如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点P 是线
段AB 上一个动点.设BP 为x cm，△PCD 的面积为y cm2．
（1）求AD 的长；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
（3）在线段AB 上是否存在点P，使得△PCD 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存
在，请说明理由.
10. 如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿边线AB—BC
以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停下运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交
AD 或DC 于Q.设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S.求S 关于t 的
函数解析式.
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】B.
【解析】如图1 所示：当0＜x≤1 时，过点D 作DE⊥BC′．
∵△ABC 和△A′B′C′均为等边三角形，
∴△DBC′为等边三角形．
∴DE=
BC′=
x．
∴y=
BC′•DE=
x2．
当x=1 时，y=
，且抛物线的开口向上．
如图2 所示：1＜x≤2 时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．
∵y=
B′C′•A′E=
×1×
=
．
∴函数图象是一条平行与x 轴的线段．
如图3 所示：2＜x≤3 时，过点D 作DE⊥B′C，垂足
为E．
y=
B′C•DE=
（x﹣3）2，
函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：B．
2.【答案】B.
二、填空题
3.【答案】134.
4.【答案】4.
三、解答题
5.【答案与解析】
（1）由题意可知：
当x=0 时，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AE=EF=2，
则阴影部分的面积为：S=
×2×2=2；
故答案为：2；
（2）在Rt△ADG 中，∠A=45°，
∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，
∴S 梯形DEFG=
（x+x+2）×2=2x+2．
∴S=2x+2；
（3）①当4＜x＜6 时（图1），
GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，
则S△ADG=
AD.DG=
x2，
S△BEF=
（10-x）2，
而S△ABC=
×12×6=36，
S△BEF=
（10-x）2，
∴S=36-
x2-
（10-x）2=-x2+10x-14，
S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，
∴当x=5，（4＜x＜6）时，S 最大值=11．
（4）S 最大值=11．
6.【答案与解析】
特例探究：
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，
在△ABD 与△CAE 中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
归纳证明：△ABD 与△CAE 全等．理由如下：
∵在等边△ABC 中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠DBA=∠EAC=120°．
在△ABD 与△CAE 中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
拓展应用：∵点O 在AB 的垂直平分线上，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=50°，
∴∠EAC=∠DBC．
在△ABD 与△CAE 中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BDA=∠AEC=32°，
∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°．
7.【答案与解析】
（1）设⊙O 首次与BC 相切于点D，则有OD⊥BC．
且OD=r=
．
在直角三角形BDO 中，
∵∠OBD=60°，
∴OB=
=2．
∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；
（2）由正三角形的边长为6 厘米．可得出它的一边上的高为3
厘米．
①当⊙O 的半径r=3
厘米时，⊙O 在移动中与△ABC 的边共相切三次，即切点个
数为3；
②当0＜r＜3
时，⊙O 在移动中与△ABC 的边相切六次，即切点个数为6；
③当r＞3
时，⊙O 与△ABC 不能相切，即切点个数为0．
（3）如图，易知在S＞0 时，⊙O 在移动中，在△ABC 内部为经过的部分为正三角形．
记作△A′B′C′，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间
的距离等于r．
连接AA′，并延长AA′，分别交B′C′，BC 于E，F 两点．
则AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．
又过点A′作A′G⊥AB 于G，则A′G=r．
∵∠GAA′=30°，
∴AA′=2x．
∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r，
B′C′=
A′E=2
（3-r）．
∴△A′B′C′的面积S=
B′C′.A′E=3
（3-r）2．
∴所求的解析式为S=3
（3-r）2（0＜r＜3）．
8.【答案与解析】
解：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴
=
，
∴AD•BC=AP•BP；
（2）结论AD•BC=AP•BP 仍然成立．
理由：如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴
=
，
∴AD•BC=AP•BP；
（3）如图3，
过点D 作DE⊥AB 于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以点D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5﹣4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∴∠DPC=∠A=∠B．
由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，
∴5×1=t（6﹣t），
解得：t1=1，t2=5，
∴t 的值为1 秒或5 秒．
9.【答案与解析】
⊥BC 于点E．
据题意知，四边形ABED 是矩形，AB=DE，AD=BE.
在Rt△DEC 中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13，
∴ EC=5． ∴AD=BE=BC-EC=4．
（2）若BP 为x，则AP=12-x.
S△BPC=
BP·BC=
x. S△APD=
AP·AD=24-2x.
∴S△PCD=S 梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-
x-24+2x=-
x+54.
即 y=-
x+54，0≤x≤12.
当x=0 时，y 取得最大值为54 cm2.
（3）若△PCD 是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90°
∴分两种情况讨论，如图2.
①当∠DPC=90°时
∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，
∴∠APD=∠PCB.∴ △APD∽△BCP.
∴
.即
.解得x=6.
∠APD=∠BPC=45°的情况不存在，不考虑.
②当∠P1DC=90°时，
在 Rt△P1BC 中，P1C2=BP1
2+BC2=x2+92，
在 Rt△P1AD 中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，
∵∠P1DC=90°，CD2+P1D2=P1C2.
即132+(12-x)2+42=x2+92.解得
.
综上，当x=6 或
，△PCD 是直角三角形.
10.【答案与解析】
当Q 点与D 点重合时，AQ=AD=6，此时AP=
AQ=3=t
当P 与B 点重合时，t=10，
当 P 点运动到C 时，t=16，
∴分三类情况讨论
（1）当0≤t≤3 时，如图：
AP=t，PQ=
t，
∴S=
AP·PQ=
t2
（2）当3＜t≤10 时，示意图：
过D 作DH⊥AB 于H，AD=t，
则 DH=ADsinA=6·
=3
，AH=ADcosA=3
∴DQ=PH=AP-AH=t-3
∴S=
(AP+DQ)·DH
=
(t+t-3)·3
=3
t-
（3）当10＜t≤16 时，如图：
AB+BP=t
CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t
∴CQ=
CP=8-
QP=
·CQ=8
-
t
∴S=S□ABCD-S△CPQ
=AB·h-
·CQ·PQ
=10·3
-
·(8-
)·
(8-
)
=30
-
(64-8t+
)
=
综上，
.
