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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(提高)
一、选择题
1. （2015 春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去
一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1 进行两次对折，折成一个正方形，
从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，
展开后的这个图形的内角和是多少度？（ ）
A．1080° B．360° C．180° D．900°
3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN（图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B′处.得到
Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD 于F，所得到的△EAF 是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角
形
4. 如图，已知边长为5 的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF
折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED⊥BC，则CE 的长是（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题
5. 如图（1）是一个等腰梯形，由6 个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个
菱形．对于图（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正
确结论：______．
6．如图,△ABC 中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=
,D 是线段BC 上的一个动点,以AD
为直径画⊙O 分别交AB,AC 于E,F ,连接EF,则线段EF 长度的最小值为___________
7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q 从
点B 出发，以1cm/S 的速度沿BC 运动到点C 停止，同时，动点P 也从B 点出发，沿折线
B→A→D 运动到点D 停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P 运动的路程为y（cm），在直角
坐标系中画出y 关于t 的函数图象为折线段OE 和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE 上，
则图①中AB 的长是______cm．
三、解答题
8．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼
接成一个新的正方形．
他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点D 旋转至三角形
纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．
请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示．请将其分割后拼接成
一个平行四边形．要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平
行四边形即可)；
（2）如图（4），在面积为2 的平行四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的
中点，分别连结AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图（4）中探究平行四边形
MNPQ 面积的大小(画图并直接写出结果)．
9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸、
“16 开”纸……．已知标准纸的短边长为a．
（1）如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16 开”张纸按如下步骤折叠：
第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B′处，铺平后得折
痕AE；
第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF；
则AD:AB 的值是________，AD，AB 的长分别是________，________；
（2）“2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这
个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；
（3）如图(c)，由8 个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4 个顶点E，F，G，H 分
别在“16 开”纸的边AB，BC，CD，DA 上，求DG 的长；
（4）已知梯形MNPQ 中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q 都在“4
开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
10. 操作与探究
（1）图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A 与点C 重合，
DE 为折痕．试证明△CBE 是等腰三角形；
（2）再将图(b)中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两
个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样
的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，
请在图(c)中画出折痕；
（3）请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形
为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；
（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个
顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、
梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?
11. 在图1 至图5 中，正方形ABCD 的边长为a，等腰直角三角形FAE 的斜边AE＝2b，且
边AD 和AE 在同一直线上．
操作示例：
当2b＜a 时，如图1，在BA 上选取点G，使BG＝b，连接FG 和CG，裁掉△FAG 和△CGB 并分
别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH．
思考发现：
小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，
易知EH 与AD 在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将
△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所
示)，过点F 作FM⊥AE 于点M(图略)，利用SAS 公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝
FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．
实践探究：
（1）正方形FGCH 的面积是________；(用含a、b 的式子表示)
（2）类比图1 的剪拼方法，请你就图2 至图4 的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形
的示意图．
联想拓展：
小明通过探究后发现：当b≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置
在BA 方向上随着b 的增大不断上移．
当b＞a 时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示
意图；若不能，简要说明理由．
12. （2016•宿迁）已知△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=2，D 是边AB 上一动点（A、B 两点
除外），将△CAD 绕点C 按逆时针方向旋转角α 得到△CEF，其中点E 是点A 的对应点，点F 是
点D 的对应点．
（1）如图1，当α=90°时，G 是边AB 上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；
（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE 与DF 相交于点M．
①当点M 与点C、D 不重合时，连接CM，求∠CMD 的度数；
②设D 为边AB 的中点，当α 从90°变化到180°时，求点M 运动的路径长．
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】B；
【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D 不正确；四个圆
形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A 不正确；选项C 的位置也不符合原题意的要求，故只
有B 是按要求得到的．故选B．
2.【答案】A；
【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．
3.【答案】B；
【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF 为等边三角形.
4.【答案】D.
二、填空题
5.【答案】
答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；
②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．
【解析】
拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平
角，上底和腰相等.
6.【答案】
；
【解析】
由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，
此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE 最短时，EF 最短，连接OE，
OF，
过O 点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB 中，解直角三角形求直径AD，
由圆周角定理可知∠EOH=12
∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH 中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．
如图，连接OE，OF，过O 点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=
，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH=
∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH 中，EH=OE.sin∠EOH=1×
=
，
由垂径定理可知EF=2EH=
，
故答案为：
．
7.【答案】10；
【解析】
解：设OE 的解析式为y=kt，
∵点M（4，5），
∴k= ，
如图，当Q 运动到G 点时，点P 运动到A 点，BQ=t，AB=
，
∵AG⊥BC，
∴四边形ADCG 是矩形，
∴AG=DC=6，
∴AB2=BG2+AG2，
∴（
）2=t2+62，
解得：t=8，
∴AB= ×8=10（cm）．
三、解答题
8.【答案与解析】
解：
（1）拼接成的平行四边形是
ABCD(如图所示)．
（2）正确画出图形(如图所示)．
平行四边形MNPQ 的面积为
．
9.【答案与解析】
解：
（1）
，
，
．
（2）相等，比值为
．
（3）设DG＝x．
在矩形ABCD 中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．
∵∠HGF＝90°，
∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，
∴△HDG∽△GCF，
∴
．
∴CF＝2DG＝2x．
同理∠BEF＝∠CFG．
∵EF＝FG．
∴△FBE∽△GCF，
∴BF＝CG＝
．
∴
．
解得
，即
．
（4）
，
．
10.【答案与解析】
（1）由对称性可证∠ECB＝∠B．
（2）如图所示，有3 种折法．
（3）答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．
（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．
11.【答案与解析】
解：实验探究
（1）
（2）剪拼方法如图（1）（2）（3）．
联想拓展
能，剪拼方法如图（4）(图中BG＝DH＝b)．
(注意；图（4）用其他剪拼方法能拼接成面积为
的正方形均可)
12.【答案与解析】
解：（1）如图1 中，∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α 得到，α=90°，
∴CB 与CE 重合，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∵BG=AD=BF，
∴∠BGF=∠BFG=45°，
∴∠A=∠BGF=45°，
∴GF∥AC．
（2）①如图2 中，∵CA=CE，CD=CF，
∴∠CAE=∠CEA，
∠CDF=∠CFD，
∵∠ACD=∠ECF，
∴∠ACE=∠DCF，
∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，
∴∠CAE=∠CDF，
∴A、D、M、C 四点共圆，
∴∠CMF=∠CAD=45°，
∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．
②如图3 中，O 是AC 中点，连接OD、CM．
∵AD=DB，CA=CB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由①可知A、D、M、C 四点共圆，
∴当α 从90°变化到180°
时，
点M 在以AC 为直径的⊙O 上，
运动路径是弧CD，
∵OA=OC，CD=DA，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴
的长=
=
．
∴当α 从90°变化到180°时，点M 运动的路径长为
．
