文档文本内容
秀
先
翔梦想
优
领
飞
成人成才
难点探究专题：动态变化中的三角形全等
——以“静”制“动”，不离其宗
类型一 动点变化
1．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝
6，BC＝3，PQ＝AB，点P 与点Q 分别在AC
和AC 的垂线AD 上移动，则当AP ＝
_________时，△ABC 和△APQ 全等．
2．如图，△ABC 中，AB＝AC＝12cm，
∠B＝∠C，BC＝8cm，点D 为AB 的中点．如
果点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点
向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C
点向A 点运动．若点Q 的运动速度为
vcm/s，则当△BPD 与△CQP 全等时，v 的值
为____________【提示：三角形中有两个角
相等，则这两个角所对的边相等】．
3．(2016·达州中考)△ABC 中，∠BAC＝
90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D
为直线BC 上一动点(点D 不与B，C 重合)，
以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF，连
接CF.【方法11】
(1)观察猜想：如图①，当点D 在线段
BC 上时，
①BC 与CF 的位置关系为_______；
②线段BC，CD，CF 之间的数量关系为
___________ (将结论直接写在横线上)．
(2)数学思考：如图②，当点D 在线段
CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正
确结论再给予证明．
类型二 图形变换
4．如图甲，已知A，E，F，C 在一条直线
上，AE＝CF，过E，F 分别作DE⊥AC，
BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.
(1)试问OE＝OF 吗？请说明理由；
(2)若△DEC 沿AC 方向平移到如图乙
的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成
立？请说明理由．
www.youyi100.com
第 1 页 共 3 页
秀
先
翔梦想
优
领
飞
成人成才
5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
点D，F 分别在AB，AC 上，CF＝CB，连接
CD，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转
90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．
www.youyi100.com
第 2 页 共 3 页
秀
先
翔梦想
优
领
飞
成人成才
参考答案与解析
1．3 或6 解析：∵△ABC 和△APQ 全
等，AB ＝PQ ，∴有△ABC≌△QPA 或
△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QPA 时，则有
AP＝BC＝3；当△ABC≌△PQA 时，则有AP
＝AC＝6，∴当AP＝3 或6 时，△ABC 和
△APQ 全等，故答案为3 或6.
2．2 或3 解析：当BD＝PC 时，△BPD
与△CQP 全等．∵点D 为AB 的中点，∴BD
＝AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝
2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度
由B 点向C 点运动，∴运动时间为
1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，
∴v ＝2÷1 ＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，
△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B＝∠CQP.
又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CQP，∴PQ＝
PC，∴PB＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB
＝PC，∴QC＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时
间为4÷2＝2(s)，∴v＝6÷2＝3(cm/s)，故答案
为2 或3.
3．解：(1)①垂直 ②BC＝CD＋CF
(2)CF⊥BC 成立；BC＝CD＋CF 不成立，
正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：
∵正方形ADEF 中，AD＝AF，∠DAF＝
∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.
在
△
DAB
与
△
FAC
中
，
∴△DAB≌△FAC(SAS) ，∴∠ABD ＝
∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝
∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，
∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，
∴CD＝CF＋BC.
4 ．解：(1)OE ＝OF. 理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝
90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF
＝CE. 在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在
△
BFO
和
△
DEO
中
，
∴△BFO≌△DEO(AAS)，∴OE＝OF.
(2)结论依然成立．理由如下：∵AE＝
CF，∴AE－EF＝CF－EF，∴AF＝CE.同(1)
可得△BFO≌△DEO，∴FO＝EO，即结论
依然成立．
5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时
针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，
∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝
90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD 和△FCE
中，
∴△BCD≌△FCE(SAS)．
(2) 解：由(1) 可知∠DCE ＝90° ，
△
BCD≌△FCE
，
∴
∠
BDC
＝
∠E.∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝
90°，∴∠BDC＝90°.
www.youyi100.com
第 3 页 共 3 页
