3.解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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　解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧
——明模型，先观察，再猜想，后证明
类型一　全等三角形的基本模型
1．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠A＝50°，
∠B＝90°，则∠C＝________.
 
  第1 题图              第2 题图
2．如图，锐角△ABC 的高AD，BE 相交
于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF 的
长为_________.
3．如图，点A，D，C，E 在同一条直线上，
AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝
6，则CD 的长为  （     ）
A．2      B．4    C．4.5       D．3
4．如图，在△ABC，△ADE 中，∠BAC＝
∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E
在同一直线上，连接BD 交AC 于点F.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)猜想BD，CE 有何特殊位置关系，并
说明理由．
类型二　证明线段间的等量关系
一、等线段代换
5．如图，Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC
＝90°，直线l 为经过点A 的任一直线，
BD⊥l 于D，CE⊥l 于E，若BD＞CE，试问：
(1)AD 与CE 的大小关系如何？请说明
理由；
(2)线段BD，DE，CE 之间的数量关系如
何？请说明理由．
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二、截长补短法
6．如图，在四边形ABDE 中，C 是BD
边的中点，若AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，
猜想线段AE、AB、DE 的长度满足的数量关
系，并证明．
三、倍长中线法
7．在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，则BC
边上的中线AD 的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8
B．2＜AD＜14
C．1＜AD＜7
D．无法确定
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参考答案与解析
1．110°　2.3　3.A
4．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即
∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)解：BD⊥CE.理由如下：由(1)可知
△
BAD≌△CAE
，
∴
∠
ABD
＝
∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AFB＝
90°. 又∵∠AFB ＝∠DFC ，∴∠ACE ＋
∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE.
5．解：(1)AD＝CE.理由如下：∵BD⊥l
于D，CE⊥l 于E，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°.∵∠BAC＝∠90°，
∴∠BAD ＋∠CAE ＝90° ，∴∠BAD ＝
∠
ACE.
又
∵
AB
＝
AC
，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE.
(2)BD＝DE＋CE.理由如下：由(1)可知
△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE.又
∵AE＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.
6．解：AE＝AB＋DE.证明如下：如图，
在AE 上截取AF＝AB，并连接CF.∵AC 平
分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAF.又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△FAC(SAS)，∴BC＝FC，∠ACB
＝∠ACF.∵∠ACE＝90°，∴∠ACF＋∠FCE
＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠FCE＝
∠DCE.又∵C 为BD 的中点，∴BC＝DC，
∴
DC
＝
FC.
又
∵
CE
＝
CE
，
∴△FCE≌△DCE(SAS)，∴DE＝FE，∴AE
＝AF＋FE＝AB＋DE.
7．C
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