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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(基础)
一、选择题
1. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒
cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C
运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为
菱形，则t 的值为（ ）
A.
B. 2 C.
D. 3
2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°.若动点E 以2cm/s
的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当
△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）
A.
B. 1 C.
或1 D.
或1 或
3. （2015•盘锦）如图，边长为1 的正方形ABCD，点M 从点A 出发以每秒1 个单位长度的
速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3 个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运
动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s，运动时间为t 秒，
则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．如图,已知点A（0,2）、B（
,2）、C(0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是
射线上的动点,连结AP 以AP 为边在其左侧作等边△APQ 连结PB、BA.若四边形ABPQ 为梯形,
则（1）当AB 为梯形的底时,点P 的横坐标是 ___；
（2）当AB 为梯形的腰时,点P 的横坐标是 ______.
5．如图,矩形纸片ABCD,AB=2，点E 在BC 上,且AE=EC．若将纸片沿AE 折叠,点B 恰好落
在AC 上，则AC 的长是______.
6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE．将△ADE
沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；
②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是______．
三、解答题
7．如图所示是规格为8×8 的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A 点坐标为(-2，4)，B 点坐标为(-4，2)；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角
形，且腰长是无理数，则C 点的坐标是________，△ABC 的周长是________ (结果保留根号)；
（3）画出△ABC 以点C 为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说
出四边形
是何特殊四边形，并说明理由．
8. （1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD，
展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到
△AEF(如图②)．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE(如图
③)；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片
(如图⑤)．求图⑤中∠α 的大小．
9. 如图（1），已知△ABC 中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板
DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角
三角形板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．
（1）在图（1）中，DE 交AB 于M，DF 交BC 于N．
①证明：DM＝ND；
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边
形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面
积；
（2）继续旋转至如图（2）所示的位置，延长AB 交DE 于M，延长BC 交DF 于N，DM＝DN 是否
仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图（3）所示的位置，延长FD 交BC 于N，延长ED 交AB 于M，DM＝DN 是否
仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．
10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD 对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B
两点的坐标分别为（﹣2
，0）、
（0，﹣
），直线DE⊥DC 交AC 于E，动点P 从点A 出发，以每
秒2 个单位的速度沿着A→D→C 的路线向终点C 匀速运动，设△PDE 的面积为S（S≠0），点P
的运动时间为t 秒．
（1）求直线DE 的解析式；
（2）求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP 与直线AC 所夹锐角的正切
值．
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】B；
【解析】
连接PP′交BC 于点D，若四边形QPCP 为菱形，则PP′⊥BC，CD＝
CQ=
（6-t），
∴BD=6-
（6-t）=3+
t.在Rt△BPD 中，PB=AB-AP=6
-
t，而PB=
BD，
∴6
-
t=
（3+
t），解得：t=2，故选B.
2.【答案】D；
【解析】
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC 中，BC=2，∠ABC=60°；
∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF 中，∠ABC=60°，
则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E 点运动的距离为：2cm 或6cm，
故t=1s 或3s；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②
当∠BEF=90°时；
同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm，
故t=1.75s 或2.25s；
综上所述，当t 的值为1、1.75 或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D．
3.【答案】D.
【解析】
（1）如图1，
当点N 在AD 上运动时，
s= AM•AN= ×t×3t= t2．
（2）如图2，
当点N 在CD 上运动时，
s= AM•AD=t×1 = t．
（3）如图3，
当点N 在BC 上运动时，
s= AM•BN= ×t×（3﹣3t）=﹣t2+ t
综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D．
二、填空题
4.【答案】（1）
；（2）0，
；
【解析】
（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB∥PQ，即PQ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC
＝2，由几何关系知，
点P 的横坐标是
.
（2）当AB 为梯形的腰时，当PB∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的
横坐标是
.
5.【答案】4；
【解析】
由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，
三角的和为90°，
所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.
6.【答案】①②③．
【解析】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；
②正确．因为：EF=DE=
CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG 中，
根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；
③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
④错误．过F 作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴
=
，
EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：
=
=
，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=
×3×4﹣
×4×（
×3）=
≠3．
故答案为：①②③．
三、解答题
7.【答案与解析】
（1）如图所示建立平面直角坐标系．
（2）如图画出点C，C(-1，1)．△ABC 的周长是
．
（3）如图画出△A′B′C，四边形ABA′B′是矩形．
理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，
∴四边形ABA′B′是平行四边形.
又∵CA＝CB，
∴CA＝CA′＝CB＝CB′．
∴AA′＝BB′．
∴四边形ABA′B′是矩形．
8.【答案与解析】
解：
（1）同意．
如图所示，设AD 与EF 交于点G．
由折叠知，AD 平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．
又由折叠知，∠AGE＝∠AGF＝90°，
所以∠AEF＝∠AFE，
所以AE＝AF，即△AEF 为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB＝45°，
所以∠BED＝135°．
又由折叠知，∠BEG＝∠DEG，
所以∠DEG＝67.5°．
从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．
9.【答案与解析】
解：
（1）①连接DB，利用△BMD≌△CND 或△ADM∽△BDN 即可证明DM＝DN．
②由△BMD≌△CND 知，
，
∴
．
即在直角三角板DEF 旋转过程中，四边形DMBN 的面积始终等于
，不发生变化．
（2）连接DB，由△BMD≌△CND 可证明DM＝DN，即DM＝DN 仍然成立．
（3）连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND 仍成立．
10.【答案与解析】
解：由菱形的对称性可得，C（2
，0），D（0，
），
∴OD=
，OC=2
，tan∠DCO=
=
，
∵DE⊥DC，
∴∠EDO+∠CDO=90°，
∵∠DCO+∠CD∠=90°，
∴∠EDO=∠DCO，
∵tan∠EDO=tan∠DCO=
，
∴
，
∴OE=
，
∴E（﹣
，0），
∴D（0，
），
∴直线DE 解析式为y=2x+
，
（2）由（1）得E（﹣
，0），
∴AE=AO﹣OE=2
﹣
=
，
根据勾股定理得，DE=
=
，
∴菱形的边长为5，
如图1，
过点E 作EF⊥AD，
∴sin∠DAO=
，
∴EF=
=
，
当点P 在AD 边上运动，即0≤t＜
，
S=
PD×EF=
×（5﹣2t）×
=﹣
t+
，
如图2，
点P 在DC 边上运动时，即
＜t≤5 时，
S=
PD×DE=
×（2t﹣5）×
=
t﹣
；
∴S=
，
（3）设BP 与AC 相交于点Q，
在菱形ABCD 中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，
∴DE⊥AB，
∴∠DAB+∠ADE=90°，
∴∠DCB+∠ADE=90°，
∴要使∠EPD+∠DCB=90°，
∴∠EPD=∠ADE，
当点P 在AD 上运动时，如图3，
∵∠EPD=∠ADE，
∴EF 垂直平分线PD，
∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2
，
∴2t=5﹣
，
∴t=
，
此时AP=1，
∵AP∥BC，
∴△APQ∽△CBQ，
∴
，
∴
，
∴
，
∴AQ=
，
∴OQ=OA﹣AQ=
，
在Rt△OBQ 中，tan∠OQB=
=
=
，
当点P 在DC 上运动时，如图4，
∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°
∴△EDP∽△EFD，
∴
，
∴DP=
=
=
，
∴2t=AD﹣DP=5+
，
∴t=
，
此时CP=DC﹣DP=5﹣
=
，
∵PC∥AB，
∴△CPQ∽△ABQ，
∴
，
∴
，
∴
，
∴CQ=
，
∴OQ=OC﹣CQ=2
﹣
=
，
在Rt△OBD 中，tan∠OQB=
=
=1，
即：当t=
时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP 与直线AC 所夹锐角的正切值为
．
当t=
时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP 与直线AC 所夹锐角的正切值为1．
