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中考冲刺：代数综合问题(基础)
一、选择题
1. 如图所示，已知函数
和y＝kx(k≠0)的图象交于点P，则根据图象
可得，关于
的二元一次方程组的解是( )
A．
B．
C．
D．
2.（2016•河北模拟）如图，点A 是x 轴正半轴上的任意一点，过点A 作EF∥y 轴，分别交
反比例函数
和
的图象于点E、F，且
，连接OE、OF，
有下列结论：①这两个函数的图象关于x 轴对称；②△EOF 的面积为（k1﹣k2）；③
；
④当∠EOF=90°时，
，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．下列说法中
①若式子
有意义，则x＞1.
②已知∠α=27°，则∠α 的补角是153°.
③已知x=2 是方程x2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.
④在反比例函数
中，若x＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k
＞2. 其中正确的命题
有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题
4．如图所示，是二次函数
(a≠0)和一次函数
(n≠0)的图
象，观察图象写出y2≥y1时，x 的取值范围______________．
5．已知二次函数
若此函数图象的顶点在直线y＝-4 上,则
此函数解析式为______．
6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有下列5 个结论：①
abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④b＞a+c；⑤a+2b+c＞0，其中正确的结论有______．
三、解答题
7．（北京校级期中）已知关于x 的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值；
（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，直线
y=﹣x 上有一个动点P．求使PA+PB 取得最小值时的点P 的坐标，并求PA+PB 的最小值．
8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小
迪有20 分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关
系如图1 所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y 的关系如图2 所示(其中OA
是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；
（2）求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式；
（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20 分钟的学习收益总量最大?
9. 已知P（
)和Q（1，
）是抛物线
上的两点．
（1）求
的值；
（2）判断关于
的一元二次方程
=0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；
若没有，请说明理由
（3）将抛物线
的图象向上平移（
是正整数）个单位，使平移后的图
象与
轴无交点，求
的最小值．
10. 已知：关于x 的一元二次方程
，其中
．
（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；
（2）设抛物线
与x 轴交于A、B 两点（A 在B 的左侧）,若点D 的坐标为
（0，-2）,且AD·BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，
）、F（2a，y ）、G（3a，y ）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有
、y
、y ，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】C；
【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．
2.【答案】B；
【解析】①∵点E 在反比例函数
的图象上，
点F 在反比例函数
的图象上，且
，
∴k1=OA•EA，k2=﹣OA•FA，
∴
，
∴这两个函数的图象不关于x 轴对称，即①错误；
②∵点E 在反比例函数y1=
的图象上，点F 在反比例函数y2=
的图象
上，
∴S△OAE=
k1，S△OAF=﹣
k2，
∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=
（k1﹣k2），即②正确；
③由①可知
，∴③错误；
④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，
由勾股定理可知：OE=
，OF=
．
∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2，
∴
=
，④正确．
综上可知：正确的结论有②④．
3.【答案】B；
【解析】
若式子
有意义，则x≥1，①错误；
由∠α=27°得∠α 的补角是=180°-27=153°，②正确.
把x=2 代入方程x2-6x+c=0 得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数
中，
若x＞0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④错误.故选B.
二、填空题
4.【答案】-2≤x≤1；
【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．
5.【答案】
，
；
【解析】
∵顶点在直线y＝-4 上，∴
．
，
m＝±1．
∴此函数解析式为：
，
．
6.【答案】①②④⑤；
【解析】∵抛物线开口朝下，∴a＜0，
∵对称轴x=﹣
=1，∴b＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；
根据图象知道当x=2 时，y=4a+2b+c＞0，故②正确；
根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；
根据图象知道当x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正确；
∵对称轴x=﹣
=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c，
∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
三、解答题
7.【答案与解析】
（1）证明：由题意得m≠0，
∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：方程的两个实数根为x=
，
∴x1=1，x2=
，
∵方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，
∴m=±1；
（3）由（2）知，m=±1．
∵抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1 的开口向上，
∴m=1，
则该抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．
易求得A（1，0），B（0，1）．
如图，点B 关于直线y=﹣x 的对称点C 的坐标为（﹣1，0），连接AC，与直线y=﹣x
的交点即为符合条件的点P．此时点P 与原点重合，则P（0，0）．所以PA+PB=AC=2．
8.【答案与解析】
（1）设y＝kx，当x＝1 时，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．
（2）当0≤x＜4 时，设y＝a(x-4)2+16．
由题意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16，
即当0≤x＜4 时，
．当4≤x≤10 时，y＝16．
（3）设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟，学习收益总量为y，则她用于解题
的时间为(20-x)分钟．
当0≤x＜4 时，
．当x
＝3 时，
．
当4≤x≤10 时，y＝16+2(20-x)＝56-2x．y 随x 的增大而减小，因此当x＝4 时，
，
综上，当x＝3 时，
，此时20-x＝17．
答：小迪用于回顾反思的时间为3 分钟，用于解题的时间为17 分钟时，学习收益总
量最大．
9.【答案与解析】
解：
（1）因为点P、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称
轴距离相等．
所以抛物线对称轴
，所以
．
（2）由（1）可知，关于
的一元二次方程为
=0．
因为，
=16-8=8
0．
所以，方程有两个不同的实数根，分别是
，
．
（3）由（1）可知，抛物线
的图象向上平移（
是正整数）个单位后的解
析式
为
．
若使抛物线
的图象与
轴无交点，只需
无实数解即可．
由
=
=
<0，得
又
是正整数，所以
的最小值为2．
10.【答案与解析】
解：
（1）将原方程整理，得
，
△=
＞0
∴
．
∴
或
．
（2）由（1）知，抛物线
与
轴的交点分别为（m，0）、（4,0），
∵A 在B 的左侧，
.
∴A（m，0），B（4,0）.
则
，
．
∵AD·BD=10，
∴AD2·BD2=100.
∴
.
解得
.
∵
，
∴
.
∴
，
.
∴抛物线的解析式为
.
（3）答：存在含有
、y 、y ，且与a 无关的等式，
如：
（答案不唯一）.
证明：由题意可得
，
，
.
∵左边=
.
右边=－
－4
=
.
∴左边=右边.
∴
成立.
