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中考冲刺：代数综合问题(提高)
一、选择题
1. 如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB
交于点D，点E、F、G 分别是CD、BD、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标
系，则G、E、D、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是（ ）
A．点G B．点E C．点D D．点F
2．已知函数y=
，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（2016 秋•重庆校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为（﹣1，
0），下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
4．若a+b-2
-4
=3
-
c-5，则a+b+c 的值为______.
5．已知关于x 的方程x2+（k-5）x+9=0 在1＜x＜2 内有一实数根，则实数k 的取值范围是
______．
6. （和平区校级期中）关于x 的方程，2kx2-2x-3k=0 的两根一个大于1，一个小于1，则
实数k 的的取值范围是______.
三、解答题
7．（2016•梅州）关于x 的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0 有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k 的取值范围．
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k 的值．
8. 已知关于
的一元二次方程
．
（1）求证：不论
取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线
与函数
的图象
的一个交点的横坐标为2，求
关于
的一元二次方程
的解．
（3）在（2）的条件下，将抛物线
绕原点旋转
，得到图象
，点
为
轴上的一个动点，过点
作
轴的垂线，分别与图象
、
交于
两点，
当线段
的长度最小时，求点
的坐标
9. 抛物线
，a＞0，c＜0，
．
（1）求证：
；
（2）抛物线经过点
，Q
．
① 判断
的符号；
② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A
，点B
（点A 在点B 左侧），
请说明
，
．
10. 已知：二次函数y=
．
（1）求证：此二次函数与x 轴有交点；
（2）若m-1=0,求证方程
有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程
的另一根为a,当x=2 时，关
于n 的函数
与
的图象交于点A、B（点A 在点B
的左侧），平行于y 轴的直线L 与
、
的图象分
别交于点C、D，若CD=6，求点C、D 的坐标.
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】A；
【解析】
在直角梯形AOBC 中
∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9
∴点A 的坐标为（9，12）
∵点G 是BC 的中点
∴点G 的坐标是（18，6）
∵9×12=18×6=108
∴点G 与点A 在同一反比例函数图象上，故选A．
2.【答案】D；
【解析】
函数y=
的图象如图：
根据图象知道当y=3 时，对应成立的x 有恰好有三个，∴k=3．故选D．
3.【答案】B；
【解析】①∵抛物线开口朝上，∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为x=﹣
=﹣1，∴b=2a＞0．
当x=0 时，y=c+2＞2，∴c＞0．∴abc＞0，①错误；
②∵抛物线与x 轴只有一个交点，
∴b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a=0，
∴b2﹣4ac=8a＞0，②错误；
③∵抛物线的顶点为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，
∴a=c+2＞2，③正确；
④∵b=2a，c＞0，
∴4a﹣2b+c=c＞0，④正确．
故选B．
二、填空题
4.【答案】20；
【解析】整理得：（a-1-2
+1）+（b-2-4
+4）+
（c-3-6
+9）=0
（
-1）2+（
-2）2+
（
-3）2=0，
∴
=1，
=2，
=3，
∵a≥1，b≥2，c≥3，
∴a=2，b=6，c=12，
∴a+b+c=20．
故答案为： 20．
5.【答案】
【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x2+（k-5）x+9 图象开口向上，
与x 轴的一个交点的
横坐标在1＜x＜2 内，故有两种情况，分析得出结论.
6.【答案】k＞0 或k＜-2.
【解析】设y=2kx2-2x-3k,
∵方程2kx2-2x-3k=0d 的两根一个大于1，一个小于1，
∴当k＞0，抛物线开口向上，x=1 时，y＜0，即2k-2-3k＜0，解得k＞-2，∴k＞0
∴当k＜0，抛物线开口向下，x=1 时，y＞0，即2k-2-3k＞0，解得k＜-2. ∴k＜-2
∴k 的取值范围为：k＞0 或k＜-2.
三、解答题
7.【答案与解析】
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得：k＞
，
即实数k 的取值范围是k＞
；
（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，
又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，
∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），
解得：k1=0，k2=2，
∵k＞
，
∴k 只能是2．
8.【答案与解析】
（1）证明：
∵不论
取何值时，
∴
，即
∴不论
取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）将
代入方程
，得
再将
代入，原方程化为
，解得
．
（3）将
代入得抛物线：
，将抛物线
绕原点旋转
得到
的图象
的解析式
为：
．
设
，则
，
∴当
时，
的长度最小，
此时点
的坐标为
9.【答案与解析】
（1）证明：∵
，
∴
．
∵ a＞0，c＜0，
∴
，
．
∴
．
（2）解：∵ 抛物线经过点P
，点Q
，
∴
① ∵
，a＞0，c＜0，
∴
，
．
∴
＜0．
＞0．
∴
．
② 由a＞0 知抛物线
开口向上．
∵
，
，
∴ 点P
和点Q
分别位于x 轴下方和x 轴上方．
∵ 点A，B 的坐标分别为A
，B
（点A 在点B 左侧），
∴ 由抛物线
的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标
满足
．
（如图所示）
∵ 抛物线的对称轴为直线
，由抛物线的对称性可
，
由（1）知
，
∴
．
∴
，即
．
10.【答案与解析】
（1）证明：令
，则有
△=
∵
，∴△≥0
∴二次函数y=
与x 轴有交点
（2）解：解法一：由
，方程
可化为
解得：
∴方程
有一个实数根为1
解法二：由
，方程
可化为
当x=1 时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0
方程右边=0
∴左边=右边
∴方程
有一个实数根为1
（3）解：方程
的根是：
∴
当
=2 时，
，
设点C（
）则点D（
）
∵CD=6 ， ∴
∴
∴C、D 两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）
