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丰富的图形世界（提高）知识讲解
【学习目标】
1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合
图形中分离出基本几何体；
2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；
3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；
4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．
【要点梳理】
要点一、立体图形
1．定义：
图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球
等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．
要点诠释：
常见的立体图形有两种分类方法：
2．棱柱的相关概念：
在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底
面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别
为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）
要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行
四边形．
（2）长方体、正方体都是四棱柱．
（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四
边形．
3．点、线、面、体：
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的
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是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和
线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运
动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．
要点二、展开与折叠
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，
也可得到不同的平面图．
要点三、截一个几何体
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五
边形、六边形或圆等等．
要点四、从三个方向看物体的形状
一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到
的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图）
【典型例题】
类型一、立体图形
1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．
【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、
球来划分．
【答案与解析】
解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它
的面至少有一个是曲面．
若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．
【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是
否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．
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类型二、点、线、面、体
2. 18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存
在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问
题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______
_；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30 条棱，则这个多面体的面数是________；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而
成，且有24 个顶点，每个顶点处都有3 条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形
的个数为y 个，求x+y 的值．
【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点
数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题．
【答案与解析】
解：(1)6， 6， V+F-E＝2；
(2)20；
(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为
条，
根据V+F-E＝2 可得24+(x+y)-36＝2，
∴ x+y＝14．
【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2
3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确
的是（ ）
A．从正面看相同 B．从左面看相同 C．从上面看相同 D．
三个方向都不相同
【答案】D
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【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同
方向看所得到的图形做出判断．
【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．
举一反三：
【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
类型三、展开与折叠
4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( )
【答案】D
【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图，然后再折叠后进行对照即
可．也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成4 块的面中的4 个小正方形中有3
块的颜色是阴影，这就可排除A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成4 块的面的对面应是
阴影，这就可排除B 、C，所以选D．
【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行
确定．正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11 种情况．
举
一反三：
【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉．将“华
南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方
体中，和“虎”相对的字是________．
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【答案】 “美”．
类型四、截一个几何体
5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：
（1）截面一定是什么图形？
（2）剩下的几何体可能有几个顶点？
【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7 个点，当
截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8 个点，当截面截取由2 条棱中点
和一顶点组成的面时剩下几何体有9 个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何
体有10 个顶点．
【答案与解析】
（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；
（2）剩下的几何体可能有7 个顶点、或8 个顶点、或9 个顶点、或10 个顶点，如图所示．
【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
类型五、从三个方向看物体的形状
6．有一个正方体，在它的各个面上分别标有1，2，3，4，5，6．甲、乙、丙三名同学从三个
不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各组对面上的数字分别是几?
【答案与解析】
解：由图(1)(2)可知，1 号面与2、3、4、6 相邻，所以与1 号面相对的面是5 号面；由图(2)(3)
可知，3 号面与1、2、4、5 相邻，所以与3 号面相对的面是6 号面；由图(1)(3)可知，4 号面与
1、3、5、6 相邻，所以与4 号面相对的是2 号面．
所以，1 号面与5 号面相对，2 号面与4 号面相对，3 号面与6 号面相对．
【总结升华】找各面之间的相对位置关系．
举一反三：
【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一
种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
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【答案】几何体的形状不唯一，
最少需要小方块的个数：
，
最多需要小方块的个数：
．
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主视图
俯视图
