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比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；
2、会运用比例线段解决简单的实际问题；
3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.
【要点梳理】
要点一、比例线段
【高清课堂： 394495 图形的相似 预备知识】
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四
条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果
，那么
.
（2）合比性质：如果
+
+
=
=
.
a
c
a b
c d
b
d
b
d
，那么
如果
-
-
=
=
.
a
c
a b
c d
b
d
b
d
，那么
要点诠释：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们
的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
要点二、黄金分割
1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果
,那么线段AB 被点C 黄金
分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
要点诠释：
≈0.618AB(
5
1
2
叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD⊥AB，使BD=
AB.
（2）连接AD，在DA 上截取DE=DB.
（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、比例线段
1. （2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b B．3a=2b C．
D．
【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【答案】B．
【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；
C、
=
⇒b：a=2：3，故选项错误；
D、
=
⇒a：b=3：2，故选项错误．
故选B．
【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
举一反三：
【变式】（2015•崇明县一模）已知= ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）．
A．2a=5b B.
C. a+b=7 D.
【答案】C．
2. 设
4
3
2
z
y
x
，求
2
2
2
2
2
3
2
z
xy
x
z
yz
x
的值．
【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z 的值，因此用设参数法代入化简．
【答案与解析】设
4
3
2
z
y
x
＝k
则x＝2k，y＝3k，z＝4k
原式＝
2
2
2
2
)
4
(
3
2
2
)
2
(
)
4
(
4
3
3
)
2
(
2
k
k
k
k
k
k
k
k
＝
2
2
24
12
k
k
＝2
1
【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能
产生公因式约去．
类型二、黄金分割
3. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC
AB
＝
2
1
5
≈0.618），如果在其内作正方
形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？
【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为
2
1
5
，则这种矩形叫做黄金矩形．
（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB
AE
＝
2
1
5
即可．
【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．
理由如下：因为AB
AE
＝
AB
ED
AB
AD
AB
ED
AD
＝
2
1
5
1
2
1
5
1
)1
5
)(
1
5
(
)1
5
(
2
1
1
5
2
所以矩形ABFE 也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.
举一反三：
【变式】以长为2 的线段AB 为边作正方形ABCD，取AB 的中点P，连接PD，在BA 的延长线上取
点F，使PF＝PD，以AF 为边作正方形AMEF，点M 在AD 上，如图所示，
（1）求AM，DM 的长，
（2）试说明AM2=AD·DM
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，
∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，
∴PD＝
5
2
2
AD
AP
。
∵PF＝PD，
∴AF＝
1
5
，在正方形ABCD 中，AM＝AF＝
1
5 ，MD＝AD－AM＝3－5
（2）由（1）得AD×DM＝2（3－5 ）＝6－2 5 ，
5
2
6
)1
5
(
2
2
AM
∴AM2=AD·DM．
（3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点．
4. （2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的
比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.
A. 144° B. 135° C. 136° D. 108°
【答案】B.
【解析】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，
根据题意得：x：y=0.6=3：5，
又∵x+y=360，
则x=360× =135
【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的
关系式.
