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让更多的孩子得到更好的教育
正方形（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2．掌握正方形的性质及判定方法．
【要点梳理】
【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 知识要点】
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更
为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个
等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是
直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相
垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
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（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、正方形的性质
1、（2016•哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ⊥BE 于点Q，
DP⊥AQ 于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线
段长度的差等于PQ 的长．
【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到
∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA 并得出结论；（2）根据AQ
AP=PQ
﹣
和全等
三角形的对应边相等进行判断分析．
【答案与解析】
解：（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE 于点Q，DP⊥AQ 于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ
AP=PQ
﹣
AQ
BQ=PQ
②
﹣
DP
AP=PQ
③
﹣
DP
BQ=PQ
④
﹣
【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条
边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等，以及全等三角形的对应边相等．
举一反三：
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【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E、K 分别在BC，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE＝
BK＝AG．以线段DE、DG 为边作DEFG．
(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．
(2)连接KF，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．
又∵ CE＝AG，
∴ △DCE≌△DAG，
∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．
又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°，
∴ DE⊥DG．
(2)四边形CEFK 为平行四边形．
证明：设CK，DE 相交于M 点，
∵ 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，
∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；
∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．
∴ 四边形CKGD 为平行四边形．
∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF
∴ 四边形CEFK 为平行四边形．
【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例9】
【变式2】如图，三个边长均为2 的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴
影部分的面积是_______．
【答案】2；
提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.
类型二、正方形的判定
2、（2015•闸北区模拟）如图，在Rt
ABC
△
中，∠BAC=90°，AD=CD，点E 是边AC 的中
点，连接DE，DE 的延长线与边BC 相交于点F，AG BC
∥
，交DE 于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
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（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG 是正方形．
【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得
∠B= BAF
∠
，所以AF=BF．
（2）由AAS 可证△AEG
CEF
△
≌
，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形得四边形AFCG 是平行四边形，进而证得四边形AFCG 是菱形，最后根据有一个角为直角
的菱形是正方形得证四边形AFCG 是正方形．
【答案与解析】
证明：（1）∵AD=CD，点E 是边AC 的中点，
DE AC
∴
⊥
．
即得DE 是线段AC 的垂直平分线．
AF=CF
∴
．
FAC= ACB
∴∠
∠
．
在Rt
ABC
△
中，由∠BAC=90°，
得∠B+ ACB=90°
∠
，∠FAC+ BAF=90°
∠
．
B= BAF
∴∠
∠
．
AF=BF
∴
．
（2）∵AG CF
∥
，∴∠AGE= CFE
∠
．
又∵点E 是边AC 的中点，∴AE=CE．
在△AEG 和△CEF 中，
，
AEG
CEF
∴△
△
≌
（AAS）．
AG=CF
∴
．
又∵AG CF
∥
，∴四边形AFCG 是平行四边形．
AF=CF
∵
，∴四边形AFCG 是菱形．
在Rt
ABC
△
中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F 是边BC 的中点．
又∵AB=AC，∴AF BC
⊥
．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG 是正方形．
【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的
判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及
其性质．
举一反三：
【变式】（2015 春•上城区期末）如图，矩形ABCD 中，AD=6，DC=8，菱形EFGH 的三个顶点
E，G，H 分别在矩形ABCD 的边AB，CD，DA 上，AH=2，连结CF．
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（1）若DG=2，求证：四边形EFGH 为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG 的面积．
【答案】
（1）证明：∵四边形EFGH 为菱形，
HG=EH
∴
，
AH=2
∵
，DG=2，
DG=AH
∴
，
在Rt
DHG
△
和△AEH 中，
，
Rt
DHG
AEH
∴
△
△
≌
，
DHG= AEH
∴∠
∠
，
AEH+ AHG=90°
∵∠
∠
，
DHG+ AHG=90°
∴∠
∠
，
GHE=90°
∴∠
，
∵四边形EFGH 为菱形，
∴四边形EFGH 为正方形；
（2）解：作FQ CD
⊥
于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD 为矩形，
AB CD
∴
∥
，
AEG= QGE
∴∠
∠
，即∠AEH+ HEG= QGF+ FGE
∠
∠
∠
，
∵四边形EFGH 为菱形，
HE=GF
∴
，HE GF
∥
，
HEG= FGE
∴∠
∠
，
AEH= QGF
∴∠
∠
，
在△AEH 和△QGF 中
，
AEH
QGF
∴△
△
≌
，
AH=QF=2
∴
，
DG=6
∵
，CD=8，
CG=2
∴
，
FCG
∴△
的面积= CG•FQ= ×2×2=2．
类型三、正方形综合应用
3、E、F 分别是正方形ABCD 的边AD 和CD 上的点，若∠EBF＝45°．
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(1)求证：AE＋CF＝EF．
(2)若E 点、F 点分别是边DA、CD 的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，
若不成立，写出正确结论并加以证明．
【答案与解析】
证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF 和△HBF 中，
,
,
,
BE
BH
EBF
HBF
BF
BF
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF 上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 在Rt△EAB 和Rt△HCB 中，
90
AE
CH
EAB
HCB
AB
BC
,
° ,
,
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，
即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF 和△HBF 中
,
,
,
BE
BH
EBF
HBF
BF
BF
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
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【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补
短”的方法正确地作出辅助线.
4、正方形ABCD 的对角线交点为O，如图所示，AE 平分∠BAC 交BC 于E，交OB 于F，求证：
EC＝2FO．
【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2 倍或
，通常采用折半法或
加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．
这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．
【答案与解析】
证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE 的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG
EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC 的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD 上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造
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中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．
举一反三：
【变式】在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF⊥AB 交BD 于点F，取FD 的中点G，连接
EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．
(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置
关系?请直接写出你的猜想．
(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和
位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】
解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE 交DC 延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC 是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝1
2 FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴ ∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝1
2 ∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
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∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
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