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角的平分线的性质（基础）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD 平分∠ADB，点P 是CD 上一点，且PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，则PE＝PF.
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，PE＝PF，则PD 平分∠ADB
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D，交OB 于E.
（2）分别以D、E 为圆心，大于
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC 即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形
三边的距离相等.
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三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4 个.如图所示：△ABC 的
内心为
，旁心为
，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
1．如图，∠ACB＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D，DE⊥AB 于E，ED 的延长线交BC 的延长
线于F. 求证：AE＝CF.
【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE＝DC，为证明三角形全等提供了条件.
【答案与解析】
证明：∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF
∴DE＝DC（角的平分线上的点到角两边的距离相等）
在△ADE 和△FDC 中
∴△ADE≌△FDC(ASA)
∴AE＝CF
【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.
2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE⊥AB 于
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E, 且AB＝6
, 则△DEB 的周长为( )
A. 4
B. 6
C.10
D. 以上都不对
【答案】B；
【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB 的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝
AE＋BE＝AB＝6.
【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.
举一反三：
【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且
，则△ABD 与△ACD 的面
积之比为（ ）
A．3：2 B．
C．2：3 D.
【答案】B；
提示：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵
，则△ABD 与△ACD 的面积之比为
．
3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 交于点D，PE⊥OB 交于点E，F
是OC 上除点P、O 外一点，连接DF、EF，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．
【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得
到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.
【答案与解析】
解：DF＝EF．
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理由如下：
∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 交于点D，PE⊥OB 交于点E，
∴PD＝PE，
由HL 定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF 与△EPF 中，
，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质
得到线段相等，是证明三角形全等的关键.
类型二、角的平分线的判定
4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.
【答案与解析】
证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
∴∠CDF＝∠BEF＝90°
∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)
∵ BF＝CF(已知)
∴△DFC≌△EFB(AAS)
∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)
∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
即AF 为∠BAC 的平分线
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认
识到“垂直”条件在证明结论的必要性.
举一反三：
【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
求证：AD 是△ABC 的角平分线.
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【答案】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE 和Rt△CDF 是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD 是角平分线．
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