2.类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型
模型1：求同一顶点的角平分线与高线
的夹角的度数
1．如图，AD，AE 分别是△ABC 的高和
角平分线．
(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE
的度数；
(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，
β 的代数式表示∠DAE，并证明．
模型2：求两内角平分线的夹角的度数
2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB
的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A
＝_____.
3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC，
∠ACB 的平分线的交点．
(1)若∠A＝80°，求∠BPC 的度数．
(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝
90°＋∠A 的规律，你认为正确吗？请给出
理由．
模型3：求一内角平分线与一外角平分
线的夹角的度数
4．如图，在△ABC 中，BA1平分∠ABC，
CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.
(1)求证：∠A1＝∠A；
(2)如图，继续作∠A1BC 和∠A1CD 的平
分线交于点A2 ，得∠A2 ；作∠A2BC 和
∠A2CD 的平分线交于点A3，得∠A3……依
此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝
_____________.
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模型4：求两外角平分线的夹角的度数
【方法5】
5．(1)如图，BO 平分△ABC 的外角
∠CBD，CO 平分△ABC 的外角∠BCE，则
∠BOC 与∠A 的关系为____________；
(2)请就(1)中的结论进行证明．
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参考答案与解析
1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－
60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE＝
∠BAC＝×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD
＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE＝
∠BAD－∠BAE＝50°－40°＝10°.
(2)∠DAE＝(β－α)，证明如下：∵∠B＝
α，∠C＝β(α＜β)，∴∠BAC＝180°－(α＋β)．
∵AE 是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝90°
－(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD＝90°－∠B
＝90°－α，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°
－α－＝(β－α)．
2．60°
3．解：(1)∵BP，CP 为角平分线，
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝
(180° －∠A) ＝×(180° －80°) ＝50° ，
∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°
－50°＝130°.
(2)正确，理由如下：∵BP，CP 为角平分
线，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)
＝(180°－∠A)＝90°－∠A，∴∠BPC＝180°
－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝90°＋∠A.
4 ．(1) 证明：∵CA1 平分∠ACD ，
∴∠A1CD＝∠ACD＝(∠A＋∠ABC)．又
∵∠A1CD ＝∠A1 ＋∠A1BC ，∴∠A1 ＋
∠A1BC ＝(∠A ＋∠ABC) ．∵BA1 平分
∠ABC，∴∠A1BC＝∠ABC，∴∠ABC＋
∠A1＝(∠A＋∠ABC)，∴∠A1＝∠A.
(2)
5．(1)∠BOC＝90°－∠A
(2)证明：如图，∵BO，CO 分别是△ABC
的外角∠DBC，∠ECB 的平分线，∴∠DBC
＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝
∠ABC ＋∠A ，∴2∠1 ＋2∠2 ＝2∠A ＋
∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°，∴∠1＋∠2
＝∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－∠A.
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