十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题
目录
题型一：三角恒等变换..........................................................................1
题型二：三角函数与向量综合...............................................................4
题型三：三角函数的图像与性质...........................................................8
题型四：正余弦定理的应用.................................................................20
题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................38
题型六：三角函数的建模应用.............................................................50
题型七：结构不良型试题.....................................................................56
题型一：三角恒等变换
1 ．(2023 年天津卷· 第16 题) 在
中，角
所对
边分別是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
解析：(1)由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
(2)由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
(舍去)．
(3)由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
故
．
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第17 题)已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
解析：(1)
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
．
(2)由(1)知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
．
3．(2018 年高考数学江苏卷·第16 题)(本小题满分14 分)已知
为锐角，
，
．
(1)求
的值； (2)求
的值．
【答案】解析：(1)因为
，
，所以
．
因为
，
，
因此
．
(2)因为
为锐角，所以
．
又因为
，所以
，
因此，
．
因为
，所以
，
因此，
．
4．(2018 年高考数学浙江卷·第18 题)已知角
的顶点与原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，它的
终边过点
．
(1)求
的值;
(2)若角
满足
，求
值．
【答案】(1)
；(2)
或
．
【解析】(1)由角
终边过点
得
所以
．
(2)由角
终边过点
得
，
由
得
．
由
得
当
时，
；
当
时，
所以
或
．
5．(2014 高考数学广东理科·第16 题)已知函数
f (x)=Asin(x+ π
4 ), x∈R
，且
，
(1)求A 的值；
(2)若
f (θ)+f (−θ)=3
2 ，
θ∈(0, π
2 )
，求
f ( 3
4 π−θ)
．
【答案】解：(1)依题意有
，所以
(2)
由
(1)
得
，
，
6．(2014 高考数学江苏·第15 题)已知
α ∈( π
2 ,π )
，
sinα=√5
5 ．
(1)求
sin( π
4 +α )
的值；
(2)求
cos( 5 π
6 −2α )
的值．
【答案】(1)
； (2)
解析：(1)因为α∈
，sinα＝
，所以cosα＝
．
故sin
＝sin
cosα＋cos
sinα＝
．
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝
，
cos2α＝1－2sin2α＝1－
，
所以cos
＝
．
题型二：三角函数与向量综合
1．(2014 高考数学山东理科·第16 题)已知向量
，
，设函数
，
且
的图象过点
和点
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)将
的图象向左平移
(
)个单位后得到函数
的图象．若
图
象上各最高点到点
的距离的最小值为1，求
的单调递增区间．
【答案】
(Ⅰ){m=√3¿¿¿¿(Ⅱ)
[−π
2 +kπ ,kπ ],k ∈z
解析：(Ⅰ)已知f (x)=⃗a⋅⃗b=msin2x+ncos2x ，
∵f ( x)过点
( π
12 ,√3),( 2π
3 ,−2)
∴f ( π
12 )=msin π
6 +ncos π
6 =√3
f ( 2π
3 )=msin 4 π
3 +ncos 4 π
3 =−2
解得{m=√3¿¿¿¿
．
(Ⅱ)
f ( x)=√3sin2 x+cos2 x=2sin(2 x+ π
6 )
f ( x)左移ϕ 后得到
g( x)=2sin(2 x+2ϕ+ π
6 )
设g( x)的对称轴为x=x0 ，∵d=√1+x0
2=1解得x0=0
∴g(0)=2，解得
ϕ= π
6
∴g( x)=2sin(2 x+ π
3 + π
6 )=2sin(2 x+ π
2 )=2cos2 x
∴f ( x)的单调增区间为
2．(2017 年高考数学江苏文理科·第16 题)已知向量
(cos , sin ),
(3,
3),
[0,π].
x
x
x
a
b
(1)若a b
,求x 的值;
(2)记
( )
f x
a b ,求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
【答案】(1)
5π
6
x
(2)
0
x
时,
( )
f x 取得最大值,为3;
5π
6
x
时,
( )
f x 取得最小值,为2 3
．
解析:解:(1)因为
cos ,s n )
i
(
x
x
a
,
(3,
3)
b
,a b
,
所以
3cos
3sin
x
x
．
若cos
0
x
,则sin
0
x
,与
2
2
sin
cos
1
x
x
矛盾,故cos
0
x
．
于是
3
tan
3
x
．又
[0, ]
x
,所以
5π
6
x
．
(2)
π
(cos ,sin ) (3,
3)
3cos
3sin
2 3c s
( )
o (
)
6
f x
x
x
x
x
x
a b
．
因为
[0, ]
x
,所以
π
π 7π
[
,
]
6
6
6
x
,
从而
π
3
1
cos(
)
6
2
x
．
于是,当
π
π
6
6
x
,即
0
x
时,
( )
f x 取到最大值3;
当
π
6
x
,即
5π
6
x
时,
( )
f x 取到最小值2 3
．
3．(2014 高考数学辽宁理科·第17 题)(本小题满分12 分)
在
中，内角A，B，C 的对边a，b，c，且
，已知
，
，
，求：
(1)a 和c 的值；
(2)
的值．
【答案】
(1)a=3，c=2；(2)
解析：(1)
，
，
，即
①，由余弦定理可得
，化简整理得
②，①②联立，解得，a=3，c=2；
(2)
，
因为a=3，
，c=2，由余弦定理可得
，
，
．
解析2：
(2)在△ABC 中，
，根据正弦定理
可得
，
，
为锐角，
，
．
4．(2015 高考数学陕西理科·第17 题)(本小题满分12 分)
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，
．向量
与
平行．
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)若
，
求
的面积．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．
分析：(Ⅰ)先利用
可得
，再利用正弦定理可得
的值，进而可得
的值；(Ⅱ)由余弦定理可得
的值，进而利用三角形的面积公式可得
的面积．
解析：(Ⅰ)因为
，所以
，
由正弦定理，得
又
，从而
，由于
，所以
(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得
而
得
，即
因为
，所以
．故
的面积为
．
解法二：由正弦定理，得
，从而
，
又由
，知
，所以
．
故
所以
的面积为
．
5．(2015 高考数学广东理科·第16 题)(本小题满分12 分)
在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
．
(1)若
，求
的值;
(2)若
与
的夹角为
π
3 ，求
的值．
【答案】解析：(1)
，
，且
，
(2)
题型三：三角函数的图像与性质
1 ．(2014 高考数学江西理科· 第17 题) 已知函数
( )
sin(
)
cos(
2 )
f x
x
a
x
, 其中
,
(
,
)
2 2
a
R
(1)当
2,
4
a
时,求
( )
f x 在区间[0, ]
上的最大值与最小值;
(2)若
(
)
0,
( )
1
2
f
f
,求,a 的值．
【答案】(1)最大值为
2 ,
2
最小值为-1． (2)
1
.
6
a
分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当
2,
4
a
时,
2
2
( )
sin(
)
2 cos(
)
sin
cos
2 sin
sin(
)
4
2
2
2
4
f x
x
x
x
x
x
x
,再结合基本三角函数
性质求最值:因为
[0, ]
x
,从而
3
[
,
]
4
4
4
x
,故
( )
f x 在[0, ]
上的最大值为
2 ,
2
最小值为-1．(2)
两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可． 由
(
)
0
2
( )
1
f
f
得
2
cos (1 2 sin )
0
2 sin
sin
1
a
a
a
,又
(
,
)
2 2
知cos
0,
解得
1
.
6
a
解析:解(1)当
2,
4
a
时,
2
2
( )
sin(
)
2 cos(
)
sin
cos
2 sin
sin(
)
4
2
2
2
4
f x
x
x
x
x
x
x
因为
[0, ]
x
,从而
3
[
,
]
4
4
4
x
故
( )
f x 在[0, ]
上的最大值为
2 ,
2
最小值为-1．
(2)由
(
)
0
2
( )
1
f
f
得
2
cos (1 2 sin )
0
2 sin
sin
1
a
a
a
,又
(
,
)
2 2
知cos
0,
解得
1
.
6
a
2．(2019·浙江·第18 题)设函数
，
．
(Ⅰ)已知
，函数
是偶函数，求
的值；
(Ⅱ)求函数
的值域．
【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14
分。
【解析】(Ⅰ) 解法一：因为
是偶函数，所以，对任意实数
都有
，
即
，故
，所以
，又
，
因此，
或
．
解法二：根据诱导公式，
，
，因为
是偶函数，
，
所以
(Ⅱ)
．因此，函数的值域是
．
3．(2018 年高考数学上海·第18 题)(本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分)
设常数
，函数
．
(1)若
为偶函数，求
的值；
(2)若
，求方程
在区间
上的解．
【答案】(1)
；(2)
．
解析：(1)显然定义域为
．
由题意得
，即
．
化简得：
，对于任意
成立，则
．
(2)由条件得
，解得
．
所以
，化简得
．
因为
，所以
．
所以
，
，
，
．解得
，
，
，
．
另解：
或
．
解得
或
．因为
，所以对
赋值．
当
时，
，
；当
时，
，
．
4．(2014 高考数学重庆理科·第17 题)已知函数
的图像关于
直线
对称，且图像上相邻两个最高点的距离为
．
(I)求
和
的值；
(II)若
，求
的值．
【答案】(I)
(2)
3
15
8
解析：(Ⅰ)由题意
( )
f x 最小正周期为T
，从而
2
2
T
。又
( )
f x 图象关于
3
x
对称，故
2
,
3
2
k
k
Z
，而
0,
2
2
6
k
得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
3
(
)
3sin(2
)
2
2
6
4
f
。所以
1
sin(
)
6
4
，
2
0
6
3
6
2
得
，故
15
cos(
)
6
4
，
于是
1
3
15 1
3
15
sin(
)cos
cos(
)sin
6
6
6
6
4
2
4
2
8
5．(2014 高考数学天津理科·第15 题)已知函数
,
．
(Ⅰ)求
的最小正周期;
(Ⅱ)求
在闭区间
上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
,
．
解析:(Ⅰ)由已知,有
所以
的最小正周期为
．
(Ⅱ)因为
在区间
上是减函数,在区间
上是增函数,而
,
,
,所以,函数
在闭区间
上的最大值为
,最小值为
．
6．(2014 高考数学四川理科·第16 题)已知函数
(Ⅰ)求
的单调递增区间；
(Ⅱ)若
是第二象限角，
求
的值
【答案】解析：(Ⅰ)因为函数
的单调递增区间为
，
．
由
，
，得
，
．
所以，函数
的单调递增区间为
，
(Ⅱ)由已知，有
，
所以
即
当
时，由
是第二象限角，知
，
．
此时，
．
当
时，有
．
由
是第二象限角，知
，此时
．
综上所述，
或
．
7．(2014 高考数学福建理科·第16 题)(本小题满分13 分)
已知函数
(1)若
，且
，求
的值；
(2)求函数
的最小正周期及单调递增区间．
【答案】解析：解法一：(I)因为
，所以
．
所以
，
(II)因为
，
所以周期
，
由
，得
，
所以
的单调递增区间为
，
解法二：
，
(I)因为
所以
，
(II)周期
，
由
，得
，
所以
的单调递增区间为
．
8．(2015 高考数学重庆理科·第18 题)(本小题满分13 分，(1)小问7 分，(2)小问6 分)
已知函数
(1)求
的最小正周期和最大值；
(2)讨论
在
上的单调性．
【答案】(1)最小正周期为
，最大值为
；
(2)
在
上单调递增；
在
上单调递减．
分析：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为
形
式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、两角差的正弦公式可把函数
转化为
，这样根据正弦函数性质可得(1)周期为
，最大值为
；(2)由已知条件得
，而正弦函数在
和
上分别是增函数和减函数，
因此可得
单调区间．
解析：(1)
,
因此
的最小正周期为
，最大值为
．
(2)当
时，有
，从而
当
时,即
时，
单调递增，
当
时,即
时，
单调递减，
综上可知，
在
上单调递增；
在
上单调递减．
9．(2015 高考数学天津理科·第15 题)(本小题满分13 分)已知函数
2
2
sin
sin
6
f x
x
x
，
R
x
(Ⅰ)求
( )
f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求
( )
f x 在区间
上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)
max
3
( )
4
f x
,
min
1
( )
2
f x
．
解析：(Ⅰ)由已知，有
1
cos 2
1
cos2
1 1
3
1
3
( )
cos2
sin2
cos2
2
2
2 2
2
2
x
x
f x
x
x
x
3
1
1
sin2
cos2
sin 2
4
4
2
6
x
x
x
．
所以
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
．
(Ⅱ)因为
( )
f x 在区间
上是减函数，在区间
上是增函数，
1
1
3
(
)
,
(
)
,
(
)
3
4
6
2
4
4
f
f
f
，所以
( )
f x 在区间
上的最大值为
3
4 ，最小值为
1
2
．
10 ．(2015 高考数学湖北理科· 第17 题)( 本小题满分11 分) 某同学用“ 五点法” 画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
的解析式；
(Ⅱ)将
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到
的图象．若
图象的一个对称中心为
，求
的最小值．
【答案】解析：(Ⅰ)根据表中已知数据，解得
．数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，得
．
因为
的对称中心为
，
．
令
，解得
，
．
由于函数
的图象关于点
成中心对称，令
，
解得
，
．由
可知，当
时，
取得最小值
．
11．(2015 高考数学福建理科·第19 题)已知函数
的图像是由函数
的图像经如下变换得
到：先将
图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移
个单位长度．
(Ⅰ)求函数
的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于
的方程
在
内有两个不同的解
．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)证明：
【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)(1)
；(2)详见解析．
解析：解法一：(1)将
的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)得到
的图像，再将
的图像向右平移
个单位长度后得到
的图像，
故
，从而函数
图像的对称轴方程为
(2)1)
(其中
)
依题意，
在区间
内有两个不同的解
当且仅当
，故m 的取值范围
是
．
2)因为
是方程
在区间
内有两个不同的解，
所以
，
．
当
时，
当
时,
所以
解法二：(1)同解法一．
(2)1)同解法一．
2)因为
是方程
在区间
内有两个不同的解，
所以
，
．
当
时，
当
时,
所以
于是
12．(2015 高考数学北京理科·第15 题)(本小题13 分)已知函数
．
(Ⅰ)求
的最小正周期；
(Ⅱ)求
在区间
上的最小值．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．
解析：
解析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为
形
式，再利用周期公式
求出周期，第二步由于
则可求出
，
借助正弦函数图象找出在这个范围内当
，即
时，
取得最小值为：
．
解析：
(Ⅰ)
的最小正周期为
；
(Ⅱ)
，当
时，
取得最
小值为：
13．(2017 年高考数学浙江文理科·第18 题)已知函数
2
2
( )
sin
cos
2 3sin cos
(
)
f x
x
x
x
x x
R ．
(Ⅰ)求
2
(
)
3
f
的值;
(Ⅱ)求
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
【答案】 (1)2;(2)
2
,
,
6
3
k
k
k
Z
【解析】(1)
2
2
( )
sin
cos
2 3sin cos
f x
x
x
x
x
2
2
(cos
sin
)
3 2sin cos
x
x
x
x
(cos2
3sin 2 )
x
x
1
3
2
cos2
sin 2
2
2
x
x
2 sin
cos2
cos
sin 2
6
6
x
x
2sin 2
6
x
所以
2
2
3
(
)
2sin 2
2sin
2
3
3
6
2
f
(2)设
( )
f x 的最小正周期为T ,则
2
2
T
;
sin
y
x
的单调减区间为
3
2
,2
,
2
2
k
k
k
Z
,
所以由
3
2
2
2
,
2
6
2
k
x
k
k
Z
,得
4
2
2
2
,
3
3
k
x
k
k
Z
,
得
2 ,
6
3
k
x
k
k
Z
所以
( )
2sin 2
6
y
f x
x
的单调递增区间为
2
,
,
6
3
k
k
k
Z
【考点】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力．
14．(2017 年高考数学山东理科·第16 题)设函数
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
,其中0
3
．已
知
(
)
0
6
f
．
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数
( )
y
f x
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左
平移4
个单位,得到函数
( )
y
g x
的图象,求( )
g x 在
3
,
4
4
上的最小值．
【答案】(1)
2
;(2)
4
x
时, ( )
g x 取得最小值
3
2
．
【分析】(1)利用两角和与差的三角函数化简到
( )
f x
3sin(
)
3
x
,由题设知
(
)
0
6
f
及
0
3
可得;(2)由(1)得
( )
f x
3sin(
)
3
x
从而
( )
3sin(
)
12
g x
x
,根据
3
[
,
]
4
4
x
得到
2
[
,
]
12
3
3
x
,进一步求最小值．
【解析】
(1)
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
3
1
sin
cos
cos
2
2
x
x
x
3
3
sin
cos
2
2
x
x
1
3
3( sin
cos
)
2
2
x
x
3sin(
)
3
x
由
(
)
0
,
6
2,
6
6
3
f
k
k
Z
k
k
Z
又0
3
,所以
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
( )
3sin(2
)
3
f x
x
所以
( )
3sin(
)
3sin(
)
4
3
12
g x
x
x
．
因为
3
[
,
]
4
4
x
,
所以
2
[
,
]
12
3
3
x
,
当
12
3
x
,即
4
x
时, ( )
g x 取得最小值
3
2
．
15．(2016 高考数学天津理科·第15 题) 已知函数
．
(Ⅰ)求
的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论
在区间
上的单调性．
【答案】(Ⅰ)定义域
,
(Ⅱ)函数
在
上单调增，在
上单调减
解析：(Ⅰ)
．
∴
的定义域
,
(Ⅱ)
，
，设
，
∵
在
时单调递减，在
时单调递增
5
6
2
6
5
6
2
6
由
解得
，由
解得
∴函数
在
上单调增，在
上单调减
16．(2021 年高考浙江卷·第18 题)设函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
在
上的最大值．
【答案】(1)
；(2)
．
解析:(1)由辅助角公式得
，
则
，
所以该函数的最小正周期
;
(2)由题意，
，
由
可得
，所以当
即
时，函数取最大值
．
17．(2014 高考数学江苏·第26 题)已知函数
＝
(
)，记
为
的导数，n∈N*．
(1)求
的值；
(2)证明：对任意n∈N*，等式
都成立．
【答案】解析： (1)解：由已知
，
故
，
所以
，即
＋
．
(2)证明一(官方解法)：由已知得：
，等式两边分别对
求导：
，
即
，类似可得：
，
，
．
下面用数学归纳法证明等式
对所有的
都成立．
(ⅰ)当
时，由上可知等式成立；
(ⅱ)假设当
时等式成立，即
．
因为
，
，
所以
．
因此当
时，等式成立．
综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式
对所有的
都成立．
令
，可得
．
所以
．
解法二：令
所以
，
又
故
所以
，即
，命题得证．
题型四：正余弦定理的应用
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第17 题)记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积
为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
．
解析：(1)
方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
．
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
．
(2)
方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第19 题)记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
，
点
在边
上，
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
【答案】解析：
(1)由题设，
，由正弦定理知：
，即
，
∴
，又
，∴
，得证．
(2)由题意知：
，
∴
，同理
，
∵
，
∴
，整理得
，又
，
∴
，整理得
，解得
或
，
由余弦定理知：
，
当
时，
不合题意；当
时，
；
综上，
．
3．(2020 年浙江省高考数学试卷·第18 题)在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
【答案】(I)
；(II)
解析：(I)由
结合正弦定理可得：
△ABC 为锐角三角形，故
．
(II)结合(1)的结论有：
．
由
可得：
，
，
则
，
．
即
的取值范围是
4．(2022 新高考全国I 卷·第18 题)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
．
解析：(1)因为
，即
，
而
，所以
；
(2)由(1)知，
，所以
，
而
， 所以
，即有
．
所以
．
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
5．(2020 天津高考·第16 题)在
中，角
所对的边分别为
．已知
．
(Ⅰ)求角
的大小；
(Ⅱ)求
的值；
(Ⅲ)求
的值．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)
；(Ⅲ)
．
【解析】(Ⅰ)在
中，由
及余弦定理得
，又因为
，所以
；
(Ⅱ)在
中，由
，
及正弦定理，可得
；
(Ⅲ)由
知角
为锐角，由
，可得
，
进而
，
所以
．
6．(2020 江苏高考·第16 题)在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)在边
上取一点
，使得
，求
的值．
【答案】(1)
；(2)
．
【解析】(1)由余弦定理得
，所以
．
由正弦定理得
．
(2)由于
，
，所以
．
由于
，所以
，所以
所以
．
由于
，所以
．
所以
．
【点评】本题主要考查解三角形。
7 ．(2019· 全国Ⅰ· 理· 第17 题)
的内角
的对边分别为
．设
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
【答案】解析：(1) 由已知得
，故由正弦定理得
．
由余弦定理得
．因为
，所以
．
(2)由(1)知
，由题设及正弦定理得
，
即
，可得
．
由于
，所以
，故
．
8．(2019·江苏·第15 题)在
中，角
的对边分别为
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理
，得
，即
.
所以
.
(2)因为
，
由正弦定理
，得
，所以
.
从而
，即
，故
.
因为
，所以
，从而
.
因此
.
9．(2019·北京·理·第15 题)在△ABC 中，
，
，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求sin(B–C)的值．
【答案】(Ⅰ)由题可知
，
，
，由余弦定理得：
，
解得：
．
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：
，
结合正弦定理
可得：
，
很明显角C 为锐角，故
，
故
．
10．(2018 年高考数学天津(理)·第15 题)在
中，内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)设
，求
和
的值．
【答案】(1) 解：在
中，由正弦定理
，可得
，又由
，得
，即
，可得
．又因
为
，可得
．
(2)解：在
中，由余弦定理及
，
，有
，故
．
由
，可得
．因为
，故
．
因此
，
所以，
11．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第17 题)(12 分)在平面四边形
中，
，
，
,
．
(1)求
; (2)若
,求
．
【答案】解析：(1)在
中，由正弦定理得
．
由题设知，
，所以
．
由题设知，
，所以
．
(2)由题设及(1)知，
．
在
中，由余弦定理得
．
所以
．
12．(2018 年高考数学北京(理)·第15 题)(本小题13 分)在
中，
，
，
．
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)求
边上的高．
【
答
案
】
(
共
13
分
)
解
：
(Ⅰ
)
在
中
，
由正弦定理得
(Ⅱ)在
中，
如图所示，在
中，
，
，
边上的高为
．
13．(2014 高考数学陕西理科·第18 题)
的内角
所对的边分别为
．
⑴若
成等差数列，证明：
；
⑵若
成等比数列，求
的最小值．
【答案】(1)详见解析;(2)
．
解析: ⑴因为
成等差数列，且
，所以
，
由正弦定理得
，
因为
，
所以
；
⑵由
成等比数列有
，
由余弦定理有
，
当且仅当
时等号成立， (1)详见解析;(2)
．
所以
的最小值为
。
14．(2014 高考数学湖南理科·第18 题)如图右,在平面四边形
中,
．
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若
求
的长．
A
D
C
B
【答案】(1)
; (2)
解析:解:(1)由
关于
的余弦定理可得
,所以
．
(2) 因为
为四边形内角, 所以
且
, 则由正余弦的关系可得
且
,再有正弦的和差
角公式可得
,再由
的正弦定理可得
．
15 ．(2014 高考数学大纲理科· 第17 题)ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为
，已知
，
，求角
．
【答案】
解析：根据正弦定理，由
因为
，所以
所以
因为
，所以
由三角形的内角和可得
．
16．(2014 高考数学北京理科·第15 题)如图, 在△ABC 中, ∠B=
(0,−1,1)⋅(2λ,λ,2−2λ)=0. , AB=8, 点D 在BC 边上, 且CD=2,
cos∠ADC=
λ=
2
3
(1)求sin∠BAD
(2)求BD, AC 的长
【答案】解析：(Ⅰ)在
中,因为
,所以
．
所以
(Ⅱ)在
中,由正弦定理得：
在
中,由余弦定理得
所以
17 ．(2014 高考数学安徽理科· 第16 题) 设
的内角
所对边的长分别是
，且
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的值．
【答案】解：(Ⅰ)因为A=2B ，所以sin A=2sin B=2sin BcosB ．
由正、余弦定理得
a=2b⋅a2+c2−b2
2ac
．
因为b=3 ，c=1，所以a2=12，a=2√3 ．
(Ⅱ)由余弦定理得
cos A=b2+c2−a2
2bc
=9+1−12
6
=−1
3 ．
由于0< A<π ，所以
sin A=√1−cos2 A=√1−1
9=2√2
3
．
故
sin( A+ π
4 )=sin A cos π
4 +cos A sin π
4 =2√2
3 ×√2
2 +(−1
3 )×√2
2 =4−√2
6
．
18．(2015 高考数学四川理科·第19 题)如图，
为平面四边形
的四个内角．
A
B
C
D
(1)证明：
(2)若
求
的值．
【答案】(1)详见解析；(2)
．
解析：(1)
．
(2)由
，得
．
由(1)，有
连结BD，
在
中，有
，
在
中，有
，
所以
，
则
，
于是
．
连结AC，同理可得
，
于是
．
所以
．
考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解
能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想．
19．(2015 高考数学湖南理科·第19 题)设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，且
为钝角．
(1)证明：
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2)
．
分析：(1)利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为
，再结合条件从而得证；
(2)利用(1)中的结论，以及三角恒等变形，将sin A+sinC 转化为只与A 有关的表达式，再利用三角
函数的性质即可求解．
解析：(1) 由
及正弦定理，得
，∴
，即
，
又
为钝角，因此
，故
，即
；(2)由(1)知，
，∴
，于是
，∵
，∴
，
因此
，由此可知
的取值范围是
．
20．(2015 高考数学江苏文理·第15 题)在Δ ABC 中，已知AB =2,AC =3, A=60∘．
(1)求BC 的长；
(2)求sin2C 的值．
【答案】(1)
(2)
分析：(1)已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可得BC 的长，(2)利用(1)的结果，则由余弦
定理先求出角C 的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C 的正弦值，最后利用二倍角公
式求出sin2C 的值．
解析：(1)由余弦定理知，
，
所以
．
(2)由正弦定理知，
，所以
．
因为
，所以
为锐角，则
．
因此
．
21．(2015 高考数学安徽理科·第16 题)(本小题满分12 分)在
中，
,点
D 在
边上，
，求
的长．
【答案】
分析：根据题意，设出
的内角
所对边的长分别是
，由余弦定理求出
的长度，
再由正弦定理求出角
的大小，在
中．利用正弦定理即可求出
的长度．
解析：如图，
设
的内角
所对边的长分别是
，由余弦定理得
，
所
以
．
又由正弦定理得
．
由题设知
，所以
．
在
中，由正弦定理得
．
22．(2017 年高考数学天津理科·第15 题)在
ABC
△
中,内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知a
b
,
5,
6
a
c
,
3
sin
5
B
．
(1)求b 和sin A 的值;
(2)求
π
sin(2
)
4
A
的值．
【答案】(1)
3 13
13
(2) 26
2
7
【解析】(1)解:在
ABC
△
中,因为a
b
,故由
3
sin
5
B
,可得
4
cos
5
B
．由已知及余弦定理,有
2
2
2
2
cos
13
b
a
c
ac
B
,所以
13
b
．
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
,得
sin
3 13
sin
13
a
B
A
b
．
所以,b 的值为13 ,sin A 的值为
3 13
13
．
(2)解:由(Ⅰ)及a
c
,得
2 13
cos
13
A
,所以
12
sin 2
2sin
cos
13
A
A
A
,
2
5
cos2
1
2sin
13
A
A
．故
π
π
π
7 2
sin(2
)
sin 2
cos
cos2 sin
4
4
4
26
A
A
A
【考点】(1)正余弦定理的应用(2)二倍角和和差角公式的运用．
【点评】在运用余弦定理的时候注意选择公式,一般来说由知道的角来选择公式．
23 ．(2016 高考数学四川理科· 第17 题) 在
中，角
所对的边分别是
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
【答案】【官方解答】根据正弦定理，可设
则
，代入
则有
在三角形中
，则
所以
(2)
由余弦定理
，所以
由(1)
所以
，所以
．
【民间解析】(1)由正弦定理知
(2)
由余弦定理
，所以
由(1)
．
24．(2016 高考数学山东理科·第16 题)(本小题满分12 分)在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
(Ⅰ)证明：
;
(Ⅱ)求
的最小值．
【答案】
由题意知
，
化简得
，
即
．因为
,所以
．
从而
．由正弦定理得
．
由
知
,所以
,
当且仅当
时，等号成立．故
的最小值为
．
25．(2016 高考数学江苏文理科·第15 题)在
中，
，
，
．
(1)求
的长；
(2)求
的值．
【答案】(1)
；(2)
．
【官方解答】(1)因为
，
，所以
由正弦定理知
，所以
．
(2)在
中，
，所以
，
于是
，
又
，
，故
．
因为
，所以
．
因此，
．
民间解答：(1)
，
为三角形的内角
，即：
；
(2)
，
又
为三角形的内角
．
26．(2016 高考数学北京理科·第15 题)(本小题13 分)在
中，
．
(I)求
的大小
(II)求
的最大值．
【答案】(1)
；(2)最大值为1．
【官方解答】(Ⅰ)由余弦定理及题设得
．
又因为
，所以
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
．
,
因为
，所以当
时，
取得最大值．
【民间解答】⑴
∵
∴
，∴
∴
⑵∵
，∴
∴
∵
，∴
，∴
，∴
最大值为1．
上式最大值为1
27．(2019·天津·理·第15 题)在
中，内角
所对的边分别为
．已知
，
．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的值．
【答案】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以
及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13 分．
(Ⅰ)解：在
中，由正弦定理
，得
，又由
，
得
，即
．又因为
，得到
，
．
由余弦定理可得
．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得
，
从而
，
，
故
．
题型五：与三角形周长、面积有关问题
1．(2023 年全国乙卷理科·第18 题)在
中，已知
，
，
．
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
．
解析：(1)由余弦定理可得：
，
则
，
，
．
(2)由三角形面积公式可得
，
则
．
2．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第18 题)在
中，角
、
、
所对的边长分别为
、
、
，
，
．．
(1)若
，求
的面积；
(2)是否存在正整数
，使得
为钝角三角形?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】解析:(1)因为
，则
，则
，故
，
，
，所以，
锐角，则
，
因此，
；
(2)显然
，若
为钝角三角形，则
为钝角，由余弦定理可得
，解得
，则
，
由三角形三边关系可得
，可得
，
，故
．
3．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第17 题)
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求
周长的最大值．
【答案】(1)
；(2)
．
解析：(1)由正弦定理可得：
，
，
，
(2)由余弦定理得：
，
即
．
(当且仅当
时取等号)，
，
解得：
(当且仅当
时取等号)，
周长
，
周长的最大值为
．
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周
长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造
不等关系求得最值．
4．(2022 高考北京卷·第16 题)在
中，
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
【答案】解析:因为
，则
，由已知可得
，
可得
，因此，
．
解：由三角形的面积公式可得
，解得
．
由余弦定理可得
，
，
所以，
的周长为
．
5．(2022 年浙江省高考数学试题·第18 题)在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
【答案】解析:(1)由于
，
，则
．因为
，
由正弦定理知
，则
．
(2)因为
，由余弦定理，得
，
即
，解得
，而
，
，
所以
的面积
．
6．(2022 新高考全国II 卷·第18 题)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为
边长的三个正三角形的面积依次为
，已知
．
(1)求
面积；
(2)若
，求b．
【答案】(1)
(2)
解
析
：
(1)
由
题
意
得
，
则
，
即
，由余弦定理得
，整理得
，则
，又
，
则
，
，则
；
(2)由正弦定理得：
，则
，则
，
．
7．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第17 题)记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)见解析 (2)14
解析：【小问1 详解】
证明：因为
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
；
【小问2 详解】
解：因为
，
由(1)得
，
由余弦定理可得
，
则
，
所以
，
故
，
所以
，
所以
的周长为
．
8．(2014 高考数学浙江理科·第18 题)在
ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，
(I)求角C 的大小；
(II)若
求
的面积。
【答案】解析：(I) 由题意得，
，即
，
，由
得，
，又
，得
，即
，所以
；
(II) 由
，[f (x)+b]
2
≤4，
得
，由
，得
，从而
，故
，
所
以
x∈[−1,1]的
面
积
为
．
9．(2015 高考数学浙江理科·第16 题)(本题满分14 分)在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
，
=
．
(1)求
的值；
(2)若
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)
；(2)
．
解析：
(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式
子作三角恒等变形即可求解；(2)根据条件首先求得
的值，再结合正弦定理以及三角
形面积的计算公式即可求解．
解析：(1)由
及正弦定理得
，
∴
，又由
，即
，得
，
解得
；(2)由
，
得
，
，
又∵
，∴
，由正弦定理得
，
又∵
，
，∴
，故
．
10．(2015 高考数学新课标2 理科·第17 题)(本题满分12 分)
中，
是
上的点，
平分
，
面积是
面积的2 倍．
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)若
，
，求
和
的长．
【答案】
解析：(Ⅰ)
，
，因为
，
，所以
．由正弦定理可得
．
(Ⅱ)因为
，所以
．在
和
中，由余弦定理得
，
．
．由(Ⅰ)知
，所以
．
11．(2015 高考数学山东理科·第16 题)设
．
(Ⅰ)求
的单调区间；
(Ⅱ)在锐角
中，角
的对边分别为
,若
,求
面积的最大值．
【答案】(Ⅰ)单调递增区间是
；
单调递减区间是
(Ⅱ)
面积的最大值为
分析：(Ⅰ)首先利用二倍角公式化简函数
的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；
(Ⅱ)首先由
结合(Ⅰ)的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形
面积
的最大值．
解析：(Ⅰ)由题意知
由
可得
由
可得
所以函数
的单调递增区间是
；
单调递减区间是
(Ⅱ)由
得
由题意知
为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即：
当且仅当
时等号成立．
因此
所以
面积的最大值为
12．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17 题)
ABC
△
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ,已知
ABC
△
的面积为
2
3sin
a
A ．
(1)求sin
sin
B
C ; (2)若6cos
cos
1
B
C
,
3
a
,求
ABC
△
的周长．
【答案】(1)
2
sin
sin
3
B
C
;(2)
ABC
△
的周长为3
33
．
【分析】(1)由三角形面积公式建立等式
2
1
sin
2
3sin
a
ac
B
A
,再利用正弦定理将边化成角,从而得出
sin
sin
B
C 的值;(2)由
1
cos
cos
6
B
C
和
2
sin
sin
3
B
C
,计算出
1
cos
2
B
C
,从而求出角A ,根
据题设和余弦定理可以求出bc 和b
c
的值,从而可求出
ABC
△
的周长．
【解析】(1)由题设得
2
1
sin
2
3sin
a
ac
B
A
,即
1 sin
2
3sin
a
c
B
A
．
由正弦定理得
1
sin
sin
sin
2
3sin
A
C
B
A
．
故
2
sin
sin
3
B
C
．
(2)由题设及(1)得
1
cos
cos
sin
sin
,
2
B
C
B
C
,即
1
cos(
)
2
B
C
．
所以
2π
3
B
C
,故
π
3
A
．
由题设得
2
1
sin
2
3sin
a
bc
A
A
,即
8
bc
．
由余弦定理得
2
2
9
b
c
bc
,即
2
(
)
3
9
b
c
bc
,得
33
b
c
．
故
ABC
△
的周长为3
33
．
13．(2017 年高考数学上海(文理科)·第18 题)(本题满分14 分,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8
分)
已知函数
2
2
1
( )
cos
sin
2
f x
x
x
,
(0, )
x
．
(1)求
( )
f x 的单调递增区间;
(2)设ABC
为锐角三角形,角A 所对边
19
a
,角B 所对边
5
b
,若
( )
0
f A
,求ABC
的面积．
【答案】(1)
1
( )
cos2
2
f x
x
,
(0, )
x
,单调递增区间为
[
, )
2
;
(2)
1
cos2
2
3
A
A
,∴
2
25
19
1
cos
2
2 5
2
c
A
c
c
或
3
c
,
根据锐角三角形,cos
0
B
,∴
3
c
,
1
15
sin
3
2
4
S
bc
A
．
14．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17 题)(12 分)
ABC
△
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．已知
sin
3 cos
0
A
A
，
2 7
a
，
2
b
．
(1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD
AC
，求
ABD
△
的面积．
【答案】(1)
4
c
;(2) 3
【解析】(1)由sin
3 cos
0
A
A
可得tan
3
A
,因为
0,
A
,故
2
3
A
．
由余弦定理可知:
2
2
2
2
cos
b
c
bc
A
a
即
2
2
2
2
2
2 2 cos
2 7
3
c
c
整理可得
2
2
24
0
c
c
,解得
6
c (舍去)或
4
c
．
(2)法一:设AD
x
,则在Rt ADC
中,由勾股定理可得
2
2
2
4
CD
AD
AC
x
在ABD
中,有
2
3
2
6
BAD
由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
AB
AD
AB AD
BAD
BD
即
2
2
2
2
4
8 cos
2 7
4
6
x
x
x
即
2
4
3
7
4
x
x
所以
2
2 3
3
0
x
x
,解得
3
x
所以
1
1
sin
3
4 sin
3
2
2
6
ABD
S
AD AB
BAD
△
．
法二:依题意易知
2
3
2
6
BAD
又因为
1
sin
2
ABD
S
AD AB
BAD
,
1
2
ADC
S
AD AC
△
所以
4sin
sin
6
1
2
ABD
ADC
S
AB
BAD
S
AC
所以
1
1
1
1
1
2
sin
2 4 sin
3
2
2
2
2
2
3
ABD
ABC
S
S
AC
AB
BAC
△
△
．
法三:∵
2,
2 7,
4
AC
BC
AB
,
由余弦定理
2
2
2
2 7
cos
2
7
a
b
c
C
ab
．
∵AC
AD
,即
ACD
△
为直角三角形,
则
cos
AC
CD
C
,得
7
CD
．
由勾股定理
2
2
3
AD
CD
AC
．
又
2π
3
A
,则
2π
π
π
3
2
6
DAB
,
1
π
sin
3
2
6
ABD
S
AD
AB
△
．
15．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17 题)(12 分) ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ,已知
2
sin(
)
8sin 2
B
A
C
．
(1)求cos B
(2)若
6
a
c
, ABC
面积为2,求.b
【答案】(1)
15
cos
17
B
；(2)
2
b
．
【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．
【试题分析】在第(Ⅰ)中，利用三角形内角和定理可知A
C
B
，将
2
sin
8
)
sin(
2 B
C
A
转
化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简
2
sin 2
B
，结合
2
2
sin
cos
1
B
B
求出
cos B ；②利用二倍角公式，化简
2
sin
8
sin
2 B
B
，两边约去
2
sin B
，求得
2
tan B
，进而求得
B
cos
．
在第(Ⅱ)中，利用(Ⅰ)中结论，利用勾股定理和面积公式求出a
c
ac
、
，从而求出b ．
(Ⅰ)
【基本解法1】
由题设及
2
sin
8
sin
,
2 B
B
C
B
A
，故
sin
4
-cosB
B （1
）
上式两边平方，整理得
2
17cos B-32cosB+15=0
解得
15
cosB=
cosB 17
1（舍去），
=
【基本解法2】
由题设及
2
sin
8
sin
,
2 B
B
C
B
A
，所以
2
sin
8
2
cos
2
sin
2
2 B
B
B
，又
0
2
sin
B
，所以
4
1
2
tan
B
，
17
15
2
tan
1
2
tan
1
cos
2
2
B
B
B
(Ⅱ)由
15
8
cosB
sin B
17
17
=
得
，故
1
4
a sin
2
17
ABC
S
c
B
ac
又
17
=2
2
ABC
S
ac
，则
由余弦定理及a
6
c
得
2
2
2
2
b
2
cos
a
2
(1 cosB)
17
15
36
2
(1
)
2
17
4
a
c
ac
B
ac
（+c）
所以b=2
16．(2017 年高考数学北京理科·第15 题)在ABC
中,
60
A
,
3
7
c
a
．
(Ⅰ)求sinC 的值;
(Ⅱ)若
7
a
,求ABC
的面积．
【答案】(Ⅰ)
3 3
14 ;(Ⅱ)
9
3
4
．
【解析】(Ⅰ)根据正弦定理
=
sin
sin
a
c
A
C 求sinC 的值;(Ⅱ)根据条件可知
7,
3,
a
c
根据(Ⅰ)的结
果求cosC ,再利用
sin
sin
B
A
C
求解,最后利用三角形的面积
1
sin
2
S
ac
B
．
解:(Ⅰ)在ABC
中,因为
3
60 ,
7
A
c
a
,
所以有正弦定理得
sin
3
3
3 3
sin
7
2
14
c
A
C
a
．
(Ⅱ)因为
7
a
,所以
3
7
3
7
c
,
由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
得
2
2
2
1
7
3
2
3
2
b
b
,
解得
8
b
或
5
b (舍)
所以ABC
的面积
1
1
3
sin
8 3
6 3
2
2
2
S
bc
A
．
17．(2016 高考数学浙江理科·第16 题)(本题满分14 分)在
中，内角
所对的边分别为
．
已知
．
(Ⅰ)证明：
；
(Ⅱ)若
的面积
，求角
的大小．
【答案】【命题意图】本题主要考查三角恒等变换、三角形内角和定理及正弦定理的应用等基础知识，
考查学生的运算求解能力．
解析：(Ⅰ)由正弦定理得
，故
，于是
．又
，故
，
所以
或
，因此
(舍去)或
，所以
．
(Ⅱ) 由
得
，故有
，因为
，得
．
又
，
，所以
．当
时，
；当
时，
．综上，
或
．
18．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第17 题)(本题满分为12 分)
的内角
的对边分别为
，已知
(I)求
；
(II)若
，
的面积为
，求
的周长．
【答案】 (I)
；(II)
【官方解答】(I)由已知及正弦定理得：
即
故
∴
可得
∴
(
II)
由已知得，
又
所以
由已知及余定理得：
，
，从而
∴
周长为
．
【民间解答】(I)
由正弦定理得：
∵
，
∴
∴
，
∵
∴
(II)
由余弦定理得：
，
，
∴
∴
，
∴
周长为
19．(2019·全国Ⅲ·理·第18 题)
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且12
25 ，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
;(2)
．
【官方解析】
(1)由题设及正弦定理得
，
因为
，所以
．
由
，可得
，故
．
因为
，故
，因此
．
(2)由题设及(1)知
的面积
．
由正弦定理得
．
由于
为锐角三角形，故
，
．由(1)知
，
所以
，故
，从而
．
因此
面积的取值范围是
．
【点评】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定
理求解)，最后考查
是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题．
题型六：三角函数的建模应用
1．(2014 高考数学湖北理科·第17 题)某实验室一天的温度(单位：
∘C )随时间t (单位：h )的变化近似满
足函数关系；
f (t )=10−√3cos π
12 t−sin π
12 t
，t ∈[0,24)．
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11
∘C ，则在哪段时间实验室需要降温？
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．
解析：(1) 因为
f (t )=10−2( √3
2 cos π
12 t+ 1
2 sin π
12 t )=10−2sin( π
12 t+ π
3 )
，又0≤t≤24 ，所以
π
3 ≤π
12 t+ π
3 < 7 π
3 ，
−1≤sin( π
12 t+ π
3 )≤1
，当t=2时，
；当t=14 时，
；于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8．
(2)依题意，当
时实验室需要降温．由(1)得
f (t )=10−2sin( π
12 t+ π
3 )
，所以
10−2sin( π
12 t+ π
3 )>11
，即
，又0≤t<24 ，因此
7 π
6 < π
12 t+ π
3 <11π
6
，即
10<t<18，故在10 时至18 时实验室需要降温．
2 ．(2019· 上海· 第19 题) 如图，
为海岸线，
为线段，弧BC 为四分之一圆弧，
，
，
，
.
(1)求弧BC 长度；
(2)若
，求
到海岸线
的最短距离.(精确到
)
【答案】(1)
km；(2)35.752km
【解析】(1)依题意：
，弧BC 所在圆的半径
弧
BC
长
度
为
：
km
(2)根据正弦定理：
，求得：
，
∴
km<CD=36.346km
∴ D 到海岸线最短距离为35.752km.
3．(2014 高考数学上海理科·第21 题)如图，某公司要在
、
两地连线上的定点
处建造广告牌
，
其中
为顶端，
长35 米，
长80 米．设点
、
在同一水平面上，从
和
看
的仰角分别
为
和
．
(1)设计中
是铅垂方向，若要求
，问
的长至多为多少(结果精确到0．01 米)？
(2)施工完成后，
与铅垂方向有偏差，现在实测得
，
，求
的长(结果
精确到0．01 米)．
β
α
A
B
C
D
【答案】解析：(1)记
．根据已知得
，
，
，所以
，……4 分
解得
．因此，
的长之多约为28．28 米．……6 分
(2)在△
中，由已知，
，
，
由正弦定理得
，解得
．……10 分
在△
中，由余弦定理得
，
解得
．所以，CD 的长约为26．93 米．……14 分
4．(2019·江苏·第18 题)如图，一个湖的边界是圆心为
的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有
桥
(
是圆
的直径)．规划在公路上选两个点
，并修建两段直线型道路
．规划
要求:线段
上的所有点到点
的距离均不小于圆
的半径．已知点
到直线的距离分别
为
和
(
为垂足)，测得
，
，
(单位:百米)．
(1)若道路
与桥
垂直，求道路
的长；
(2)在规划要求下，
和
中能否有一个点选在
处？并说明理由；
(3)对规划要求下，若道路
和
的长度均为
(单位：百米).求当
最小时，
两点间的距离．
【答案】见解析
【解析】解法一：(1)过
作
，垂足为
.
由已知条件得，四边形
为矩形，
.'
因为
，
所以
.
所以
.
因此道路
的长为15(百米).
(2)①若
在
处，由(1)可得
在圆上，则线段
上的点(除
)到点
的距离均小于圆
的半
径，所以
选在
处不满足规划要求.
②若
在
处，连结
，由(1)知
，
从而
，所以
为锐角.
所以线段
上存在点到点
的距离小于圆
的半径.
因此，
选在
处也不满足规划要求.
综上，
和
均不能选在
处.
(3)先讨论点
的位置.
当
时，线段
上存在点到点
的距离小于圆
的半径，点
不符合规划要求；
当
时，对线段
上任意一点
，
，即线段
上所有点到点
的距离均不小于
圆
的半径，点
符合规划要求.
设
为上一点，且
，由(1)知，
=15，
此时
；
当
时，在
中，
.
由上可知，
.
再讨论点
的位置.
由(2) 知，要使得
，点
只有位于点
的右侧，才能符合规划要求. 当
时，
.此时，线段
上所有点到点
的距离均不小于圆
的半径.
综上，当
PB⊥AB，点
位于点
右侧，且
时，d 最小，此时
两点间的距离
.
因此，
最小时，
两点间的距离为
(百米).
解法二：(1)如图，过
作
，垂足为
.
以
为坐标原点，直线
为
轴，建立平面直角坐标系.
因为
，
，所以
，直线l 的方程为
，点
的纵坐标分别为3，−3.
因为
为圆
的直径，
，所以圆
的方程为
.
从而
，
，直线
的斜率为
因为
，所以直线
的斜率为
，
直线
的方程为
.
所以
，
.
因此道路
的长为15(百米).
(2)①若
在
处，取线段
上一点
，则
，所以
选在
处不满足规划要求.
②若
在
处，连结
，由(1)知
，又
，
所以线段
：
.
在线段
上取点
，因为
，
所以线段
上存在点到点
的距离小于圆
的半径.
因此
选在
处也不满足规划要求.
综上，
和
均不能选在
处.
(3)先讨论点
的位置.
当
时，线段
上存在点到点
的距离小于圆
的半径，点
不符合规划要求；
当
时，对线段
上任意一点
，
，即线段
上所有点到点
的距离均不小于
圆
的半径，点
符合规划要求.
设
为上一点，且
，由(1)知，
，此时
；
当
时，在
中，
.
由上可知，
.
再讨论点
的位置.
由(2)知，要使得
，点
只有位于点
的右侧，才能符合规划要求.当
时，设
，
由
，得
，所以
，此时，线段
上所有
点到点
的距离均不小于圆
的半径.
综上，当
，
时，
最小，此时
两点间的距离
.
因此，
最小时，
两点间的距离为
(百米).
5．(2018 年高考数学江苏卷·第17 题)(本小题满分14 分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O
的一段圆弧
(P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离
为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块
形状为
，要求
均在线段
上，
均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为
．
(1)用
分别表示矩形
和
的面积，并确定
的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
．求当
为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】解析：(1)连结PO 并延长交MN 于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O 作OE⊥BC 于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)，
△CDP 的面积为
．
过N 作GN⊥MN，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则
，
．
当
时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以
的取值范围是
．
答：矩形ABCD 的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米，△CDP 的面积为1600(cosθ–sinθcosθ)，
sinθ 的取值范围是
．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，
则年总产值为
4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ)，
．
设f(θ)= sinθcosθ+cosθ，
．
则
＝
＝
．
令
，得
．
当
时，
，所以
为增函数；
当
时，
，所以
为减函数；
因此，当
时，
取到最大值．
答：当
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七：结构不良型试题
1．(2023 年北京卷·第17 题)设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
．
(2)条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
．
解析：(1)因为
所以
，
因为
，所以
．
(2)因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
．
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无解，故条件
①不能使函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
．
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，即
．
以下与条件②相同．
2．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17 题)在①
，②
，③
这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由
可得：
，
不妨设
，
则：
，即
．
选择条件①的解析：
据此可得：
，
，此时
．
选择条件②的解析：
据此可得：
，
则：
，此时：
，则：
．
选择条件③的解析：
可得
，
，
与条件
矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵
,
∴
,
，
∴
,∴
,∴
,∴
,
若选①，
,∵
,∴
,∴c=1;
若选②，
,则
,
;
若选③,与条件
矛盾．
3．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17 题)在①
，②
，③
这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，若问题中
三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明
理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解析：解法一：
由
可得：
，
不妨设
，
则：
，即
．
选择条件①的解析：
据此可得：
，
，此时
．
选择条件②的解析：
据此可得：
，
则：
，此时：
，则：
．
选择条件③的解析：
可得
，
，
与条件
矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵
,
∴
,
，
∴
,∴
,∴
,∴
,
若选①，
,∵
,∴
,∴c=1;
若选②，
,则
,
;
若选③,与条件
矛盾．
4．(2021 高考北京·第16 题)在
中，
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求
边上中线的长．
条件①：
；
条件②：
周长为
；
条件③：
的面积为
；
【答案】(1)
；(2)答案不唯一，具体见解析．
解析：(1)
，则由正弦定理可得
，
，
，
，
，
，解得
；
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得
，
与
矛盾，故这样的
不存在；
若选择②：由(1)可得
，
设
的外接圆半径为
，
则由正弦定理可得
，
，
则周长
，
解得
，则
，
由余弦定理可得
边上的中线的长度为：
；
若选择③：由(1)可得
，即
，
则
，解得
，
则由余弦定理可得
边上的中线的长度为：
．
5．(2020 北京高考·第17 题)在
中，
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
己知，求：
(Ⅰ)
的值：
(Ⅱ)
和
的面积．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得：
选择条件②(Ⅰ)
由正弦定理得：
(Ⅱ)
