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专题十一
概率与统计
第三十六讲二项分布及其应用、正态分布
一、选择题
1．（2015 湖北）设
2
1
1
(
,
)
X
N
，
2
2
2
(
,
)
Y
N
，这两个正态分布密度曲线如图所
示．下列结论中正确的是
A．
2
1
(
)
(
)
P Y
P Y
≥
≥
≥
B．
2
1
(
)
(
)
P X
P X
≤
≤
≤
C．对任意正数t ，
(
)
(
)
P X
t
P Y
t
≤
≥
≤
D．对任意正数t ，
(
)
(
)
P X
t
P Y
t
≥
≥
≥
2
2015
．（
山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
2
(0,3 )
N
，从中随
机取一件，其长度误差落在区间(3,6) 内的概率为
（附：若随机变量服从正态分布
2
( ,
)
N
，则
(
)
68.26%
P
−
+
=
，
(
2
2 )
95.44%
P
−
+
=
）
A
4.56% B
13.59% C
27.18% D
31.74%
．
．
．
．
3
2014
2
．（
新课标）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
，
0.75
连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为
优良的概率是
A
0
．．8 B
0
．．75 C
0
．．6 D
0
．．45
4.（2011 湖北）已知随机变量服从正态分布
(
)
2
,2
N
，且
(
)
8.0
4 =
P
，则
(
)
=
2
0
P
A．
6.0
B．
4.0
C
．
3.0
D．
2.0
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二、填空题
5
2017
．（
新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回
地抽取100
次，表示抽到的二等品件数，则DX =
．
6
2016
．（
四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次
试验成功，则在
验中成功次数
2 次试
X
的均值是
．
7．（2015 广东）已知随机变量服从二项分布
(
)
,n p
，若
(
)
30
=
，
(
)
20
D =
，
则 p = ．
8．（2012 新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件
或元件
正
1
2
常工
作，且元件
正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）
3
均服从正态分布
)
50
,
1000
(
2
N
，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使
用寿命超过1000 小时的概率为
．
三、解答题
9
2017
．（
新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线
上随机抽取
个零件，并测量其尺寸
16
(
cm)
单位：
．根据长期生产经验，可以认为这条
生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
2
( ,
)
N
．
(1)假设生产状态正常，记X
表示一天内抽取的
个零件中其尺寸在
16
(
3 ,
3 )
−
+
之外的零件数，求
(
1)
P X ≥
及X 的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(
3 ,
3 )
−
+
之外的零件，就认为这条生
产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(
)
ⅰ试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(
)
ⅱ下面是检验员在一天内抽取的
个零件的尺寸：
16
9
．95
10．12
9
．96
9
．96
10．01
9
．92
9
．98
10．04
10．26
9
．91
10．13
10．02
9
．22
10．04
10．05
9
．95
经计算得
16
1
1
9.97
16
i
i
x
x
=
=
=
，
16
16
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
16
)
16
16
i
i
i
i
s
x
x
x
x
=
=
=
−
=
−
1
元件
2
元件
3
元件
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0.212
，其中
ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1，2，
，
…
16．
用样本平均数x 作为的估计值ˆ，用样本标准差s 作为的估计值ˆ，利用
估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
之外的数据，
用剩下的数据估计和
(
0
精确到．01)
．
附：若随机变量Z 服从正态分布
2
( ,
)
N
，则
(
3
3 )
P
Z
−
+
=0．997 4，
16
0.9974
0.9592
，
0.008
0.09
．
10．（2016 新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续
保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
≥
保 费
0.85 a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2 a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
≥
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60% 的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
11．（2015 湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖
都从装有
个红球、个白球的甲箱和装有
个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出
4
6
5
5
1 个球，在摸出的
个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有
个红球，则获二等奖；
2
1
若没有红球，则不获奖．
（）求顾客抽奖
次能获奖的概率；
1
1
（）若某顾客有
次抽奖机会，记该顾客在
次抽奖中获一等奖的次数为
2
3
3
X ，求X 的
分布列和数学期望．
12．（
）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
2015 湖北
,
A B
两种奶制品
产
吨
．生
1
A产品需鲜牛
奶
吨，使用设备
小时，获利
元；生产
吨
2
1
1000
1
B
产品需鲜牛奶
吨，使用设备
1.5
1.5 小时，获利
元．要求每天
1200
B 产品的产量不超过A
产品产量的
倍，设备每天
2
生产
,
A B
两种产品时间之和不超过
小时假定每天可获取的鲜牛奶数量
（单位：
12
.
W
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吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单
位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求
天中至少有
天的最大获利超过
3
1
10000
元的概率．
13．（2015 新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查
了
个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
20
A
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满
意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于
分
70
70 分到89 分
不低于
分
90
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件
地区用户的满意度等级高于
地区用户的满意度等级”，假设两地区
C：“A
B
用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的
概率，求
的概率．
C
14．（2014 山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜
局者获得比赛的胜利，比赛随即
3
结束．除第五局甲队获胜的概率是1
2
外，其余每局比赛甲队获胜的概率是2
3
．假设各
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局比赛结果互相独立．
（）分别求甲队以
，
1
3:0
3:1
3:2
，
胜利的概率
（）若比赛结果为
或
，则胜利方得
分，对方得
分；若比赛结果为
2
3:0
3:1
3
0
3:2，则胜
利方得
分、对方得
分，求乙队得分
2
1
X 的分布列及数学期望．
15．（ 2014 陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为
元，此作物的市场价
1000
格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设X
表示在这块地上种植
季此作物的利润，求
1
X 的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续
季种植此作物，求这
季中至少有
季的利润不少于
3
3
2
2000
元的概率．
16．（ 2014 广东）随机观测生产某种零件的某工厂
名工人的日加工零件数（单位：件），
25
获得数据如下：30，42，41，36，44，40
37
，
，37
25
，
，45，29
43
，
，31
36
，
，49，34，
33，43，38
42
，
，32，34，46，
，
39
36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30 ]
3
0.12
(30,35 ]
5
0.20
(35,40 ]
8
0.32
(40,45 ]
1n
1f
(45,50 ]
2
n
2f
（）确定样本频率分布表中
1
1
2
1
,
,
n n
f 和
2f 的值；
（）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
2
（）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取
人，至少有
人的日加工零件数落在
3
4
1
区间（30,35］的概率．
17．（2011 大纲）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为
，购买乙种保险
0.5
但不购买甲种保险的概率为
，设各车主购买保险相互独立
0.3
.
(
)
1
Ⅰ求该地
位车主至少购买甲、乙两种保险中的种的概率；
l
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(
)
ⅡX
表示该地的
位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求
l00
X 的期望．
