文档文本内容
专题20 概率与统计常考小题归类
目 录
01 抽样方法与随机数表.......................................................................................................................2
02 统计图表及其数字特征...................................................................................................................3
03 传统线性拟合..................................................................................................................................6
04 非线性拟合处理...............................................................................................................................7
05 传统独立性检验...............................................................................................................................9
06 创新类定义统计.............................................................................................................................11
07 正态分布........................................................................................................................................14
08 超几何分布与二项分布.................................................................................................................16
09 随机变量的分布列、期望、方差..................................................................................................18
10 古典概型........................................................................................................................................21
11 条件概率与全概率.........................................................................................................................22
12 概统结合问题.................................................................................................................................24
13 传统规则的概率问题.....................................................................................................................26
14 新赛制概率问题.............................................................................................................................30
15 递推型概率命题.............................................................................................................................31
01 抽样方法与随机数表
1．（2024·全国·模拟预测）某学校高三年级有男生640 人，女生360 人．为了解高三学生参加体育运动的
情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50 名学生，则男、女学生的样本容量分别
为（ ）
A．30，20
B．18，32
C．25，25
D．32，18
【答案】D
【解析】根据分层抽样的定义，知男生共抽取
（人），女生共抽取
（人）．
故选：D．
2．（2024·广东·高三统考学业考试）某学校高三年级一班共有60 名学生，现采用系统抽样的方法从中抽
取6 名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60.选取的这6 名学生的编号可能是（
）
A．1，11，21，31，41，51
B．6，15，25，35，45，55
C．10，16，26，36，46，56
D．3，9，13，27，36，54
【答案】A
【解析】由
知组距为10，
当第一组抽到的编号为i 时，根据系统抽样方法可知，第k 组取的编号为
，
当
时可知A 正确，易知BCD 错误.
故选：A
3．（2024·全国·高三专题练习）某校要从高一、高二、高三共2 019 名学生中选取50 名组成志愿团，若先
用简单随机抽样的方法从2 019 名学生中剔除19 名，再从剩下的2 000 名学生中按分层抽样的方法抽取50
名，则每名学生入选的可能性（ ）
A．都相等且为
B．都相等且为
C．不完全相等
D．均不相等
【答案】A
【解析】根据简单随机抽样及分层抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都相等，
所以每个个体被抽到的概率都等于
，故A 项正确.
故选：A.
02 统计图表及其数字特征
4．（多选题）（2024·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下
面图1，2，3，4 分别为2023 年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关
数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．2023 年中国乡村旅游消费者中年龄在
岁之间的男性占比超过
B．2023 年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1 万元的占比超过
C．2023 年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4 个范围占比的中位数为
D．2023 年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650 元（同一花费区间内的数
据用其中间值作代表）
【答案】BC
【解析】由图1 和图2 可知，2023 年中国乡村旅游消费者中年龄在
岁之间的男性占比为
，故A 正确；
由图3 可知，2023 年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1 万元的占比为
，故B 错误；
由图4 可知，2023 年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4 个范围占比的中位数为
，故C 错误；
由图4 可知，2023 年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为
，故D 正确.
故选：BC
5．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）（多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消
费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022 年我国消费者购买新式茶饮的频次
扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．
根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C．月均消费新式茶饮50～200 元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100 元的消费者占比超过60%
【答案】BC
【解析】每周都消费新式茶饮的消费者占比
,A 错误；
每天都消费新式茶饮的消费者占比
，B 正确；
月均消费新式茶饮50～200 元的消费者占比
，C 正确；
月均消费新式茶饮超过100 元的消费者占比
,D 错误．
故选：BC
6．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图为2022 年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的中位数为0.1%
C．环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的下四分位数为1.55%
【答案】ACD
【解析】由题意得，同比涨跌幅从小到大排列依次为0.9%，0.9%，1.5%，1.6%，1.8%，2.1%，2.1%，
2.1%，2.5%，2.5%，2.7%，2.8%；
环比涨跌幅从小到大排列依次为－0.2%，－0.2%，－0.1%，0%，0%，0%，0.1%，0.3%，0.4%，0.4%，
0.5%，0.6%．-
选项A 中：环比涨跌幅的极差为
，
同比涨跌幅的极差为
，因为
，所以A 正确；
选项B 中：环比涨跌幅的中位数为
，所以B 错误；
选项C 中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，
所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C 正确；
选项D 中：同比涨跌幅的下四分位数为
，所以D 正确.
故选：ACD.
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）记男生样本
的平均数为
，方差为
；女生样本
的平均数为
，方差为
；男女总样本
的平均数记为
，方差为
，则
下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．
【答案】BCD
【解析】对A，
，可得
，则
或
，A 不正确．
对B，
，所以
，若
，则
，B 正确．
对C，因为
，所以
，
则
．
又
，
所以
，C 正确．
对D，
，
所以
，D 正确．
故选：BCD
03 传统线性拟合
8．已知一组数据点
，用最小二乘法得到其线性回归方程为
，若
，
则
．
【答案】
【解析】根据题意可知该组数据点
，
所以
，
所以
，
故答案为：
9．（2024·广西·模拟预测）某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5 年的借阅数据如下
表：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
年借阅量
万册
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表，可得
关于
的线性回归方程为
.则
.
【答案】
【解析】根据表格可知，
，
，
代入
，可得
.
故答案为：
10．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量
(单
位：吨）与相应的生产能耗
（单位：吨）的几组对应数据：
3
4
5
6
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求得
关于
的线性回归方程为
，那么表格中的值为 ．
【答案】3
【解析】
．
因为回归直线过样本中心点
，
所以
，解得
．
故答案为：
04 非线性拟合处理
11．（2024·湖南·校联考模拟预测）若需要刻画预报变量
和解释变量
的相关关系，且从已知数据中知
道预报变量
随着解释变量
的增大而减小，并且随着解释变量
的增大，预报变量
大致趋于一个确定
的值，为拟合
和
之间的关系，应使用以下回归方程中的（
，为自然对数的底数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：因为
在定义域内单调递增且
，所以
随着
的增大而增大，不合题意，故A
错误；
对于B：因为
在定义域内单调递增且
，所以
随着
的增大而减小，当解释变量
，
，不合题意，故B 错误；
对于C：因为
在定义域内单调递增且
，所以
随着
的增大而减小，当解释变量
，
，不合题意，故C 错误；
对于D：因为
在定义域内单调递减且
，所以
随着
的增大而减小，当解释变量
，
，故D 错误；
故选：D．
12．（2024·广东梅州·统考一模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续
增长.已知某科技公司2018 年至2022 年云计算市场规模数据，且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模
型
（其中e 为自然对数的底数）拟合，设
，得到数据统计表如下：
年份
2018 年
2019 年
2020 年
2021 年
2022 年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
2
2.4
3
3.6
4
由上表可得经验回归方程
，则2025 年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
即经验回归方程
，
当
时，
，
所以
，
即2025 年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为
，
故选：B
13．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）以模型
去拟合一组数据时，为了求
出回归方程，设
，将其变换后得到经验回归方程
，则
的值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，设
，可得
.
又经验回归方程为
，
所以
，故
.
故选：B
05 传统独立性检验
14．（2024·全国·高三专题练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有
关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为
人，男生中喜欢短视频的人数占男生
人数的
，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的
.零假设为
：喜欢短视频和性别相互独立.若依据
的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则
的最小值为（ ）
附：
，附表：
0.05
0.01
3.841
6.635
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设
，
于是
，
由于依据
的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知
，解得
，于是
最小值为.
故选：C
15．（2024·全国·高三专题练习）2020 年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政
策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台．在线教育近几年蓬勃发展，
为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互
联网教育．与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师
教学管理的难度增大．基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25 名女生，25
名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2 列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别
之间（ ）
认真上网课
不认真上网
合计
课
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
参考数据：
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
A．不能根据小概率的
的
独立性检验认为两者有关
B．根据小概率的
的
独立性检验认为两者有关
C．根据小概率的
的
独立性检验认为两者有关
D．根据小概率的
的
独立性检验认为两者无关
【答案】B
【解析】由数表知，
，而
，
所以根据小概率的
的
独立性检验认为两者有关．
故选：B
16．（2024·全国·高三专题练习）在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现
随机抽取100 只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2 列联表（部分数据缺失）：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该
病毒感染的效果”（ ）
附：
，n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．0.001
B．0.05
C．0.01
D．0.005
【答案】B
【解析】完善2×2 列联表如下：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．
因为χ2＝
，
所以根据小概率值
的独立性检验，推断H0不成立，
即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．
故选：B.
06 创新类定义统计
17．（多选题）为了估计一批产品的不合格品率
，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为
的样本
，定义
，于是
，
，
，记
（其中
或1，
），称
表示
为参数的似然函数．极大似然
估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若
干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A 出现，则一般认为试验条件对A 出现有利，也即
A 出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参
数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．
根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99 个白球1 个黑球，乙箱有1 个白球99 个黑球．今随机地抽
取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100 条鱼，其中鲤鱼80 条，草鱼20 条，那么推测鲤鱼和草鱼
的比例为4:1 时，出现80 条鲤鱼、20 条草鱼的概率是最大的
C．
D．
达到极大值时，参数
的极大似然估计值为
【答案】BCD
【解析】极大似然是一种估计方法，A 错误；
设鲤鱼和草鱼的比例为，则出现80 条鲤鱼，20 条草鱼的概率为
，
设
，
时，
，
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
最大，故B 正确；
根据题意，
（其中
或1，
），
所以
，可知C 正确；
令
，解得
，且
时
，
时
，故
在
上递增，在
上递减，故
达到极大值时，参数
的极大似然估计值为
，故
D 正确.
故选：BCD
18．高一模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各
批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成
绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科
对总分上线贡献率”
和“学科有效分上线命中率”
这两项评
价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十
分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465 分，数学一本线为104 分，某班一小组的总分和数学
成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（ ）（结果保留到小数
点后一位有效数字）
学
生
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数
学
成
绩
12
0
11
7
12
2
10
1
10
0
11
2
99
11
1
10
2
10
0
89
98
92
84
94
11
3
97
10
4
85
85
总
分
成
绩
49
5
49
4
49
3
48
5
48
3
48
3
48
2
48
0
47
9
47
5
47
1
47
0
46
3
45
7
45
4
45
3
44
8
44
8
44
1
44
0
A．41.7%，71.4%
B．60%，71.4%
C．41.7%，35%
D．60%，35%
【答案】A
【解析】由图表知双过线人数为5 人，单过线人数为7 人，总分过线人数为12 人；
“学科对总分上线贡献率”为
，
“学科有效分上线命中率”为
，
故选：A．
19．（2024·河北·高三学业考试）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记
载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得
250 粒内夹谷25 粒，若这批米内夹谷有160 石，则这一批米约有（ ）
A．600 石
B．800 石
C．1600 石
D．3200 石
【答案】C
【解析】设这批米大约为
石，
根据题意，可得
，解得
石.
故选：C.
07 正态分布
20．（2024·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机
变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量
，
当
充分大时，二项随机变量
可以由正态随机变量
来近似地替代，且正态随机变量
的期望和方差与
二项随机变量
的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733 年证明了
时这个结论是
成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812 年证明了这个结论对任意的实数
都
成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500 次，利用正
态分布估算硬币正面向上次数不少于1200 次的概率为（ ）
（附：若
，则
，
A．0.99865
B．0.97725
C．0.84135
D．0.65865
【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2500 次，设硬币正面向上的次数为
，
则
.
由题意
，且
，
因为
，即
，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200 次的概率为
.
故选：B.
21．（2024·全国·高三专题练习）老张每天17:00 下班回家，通常步行5 分钟后乘坐公交车再步行到家，公
交车有A，B 两条路线可以选择．乘坐路线A 所需时间（单位：分钟）服从正态分布
，下车后步
行到家，要5 分钟，乘坐路线B 所需时间（单位：分钟）服从正态分布
，下车后步行到家要12
分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（ ）
（参考数据：
，则
，
，
）
A．若乘坐路线A，则在17:48 前到家的可能性超过1%
B．若乘坐路线B，18:00 前一定能到家
C．乘坐路线A 和乘坐路线B 在17:58 前到家的可能性一样
D．乘坐路线B 比乘坐路线A 在17:54 前到家的可能性更小
【答案】C
【解析】设乘坐路线A 所需时间为
，乘坐路线B 所需时间为
对于A，由
知，
，
因为
，所以
，所以A 选项错
误；
对于B，“18:00 前一定能到家”是随机事件，可能发生，可能不发生，所以B 选项错误；
对于C，
，
，
，
，
因此乘坐路线A 和乘坐路线B 在17:58 前到家的可能性一样，选项C 正确．
对于D，
，
，乘坐路线B
比乘坐路线A 在17:54 前到家的可能性更大，选项D 错误．
故选：C.
22．（2024·江苏镇江·高三统考开学考试）已知某工厂生产零件的尺寸指标
，单位为
.
该厂每天生产的零件尺寸在
的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15 以
上的数量为（ ）
参考数据：若
，则
，
，
.
A．1587
B．2275
C．2700
D．1350
【答案】D
【解析】由已知
，
，
，
零件尺寸在15.15 以上的概率为
，
设零件尺寸在15.15 以上的零件数为
，
则
，
，
故选：D．
08 超几何分布与二项分布
23．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”
活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花
盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共
种了500 盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）
【答案】410
【解析】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为
，
即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为
，且被评为“阳光小组”的盆数
服从二项分布
，
所以500 盆花苗中能被评为“阳光小组”的有
.
故答案为：410
24．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）一袋中装有大小､质地均相同的5 个白球，3 个黄
球和2 个黑球，从中任取3 个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是
.
故选：B.
25．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华
文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十
背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10 个数中任取3 个数，则这3 个数中至多有1 个阴数的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，10 个数中，1，3，5，7，9 为阳数，2，4，6，8，10 为阴数，
若任取的3 个数中有0 个阴数，则概率为
；
若任取的3 个数中有1 个阴数，则概率为
；
故这3 个数中至多有1 个阴数的概率为
.
故选：A.
26．（2024·湖北十堰·高三统考期末）有5 张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随
机取两次，每次取1 张卡片．
表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，
表示事件“第二次取出
的卡片上的数字为1”，
表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，
表示事件“两次取出的卡片
上的数字之和为7”，则（ ）
A．
与
相互独立
B．
与
相互独立
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【答案】B
【解析】由题意知
，
，
，
，
因为
，所以A 错误，
因为
，所以B 正确，
因为
，所以C 错误，
因为
，所以D 错误．
故选：B
09 随机变量的分布列、期望、方差
27．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知
，且
，记随机变量
为x，y，z 中的最大值，
则
.
【答案】17
【解析】由题意可得：
的可能取值为
，
用隔板法可求得：事件总情况为
种，
若
，三个正整数为
或
，则有
种，故
；
若
，三个正整数为
或
，则有
种，故
；
若
，三个正整数为
或
，则有
种，故
；
若
，三个正整数为
，则有
种，故
；
若
，三个正整数为
，则有
种，故
；
故
的分布列为：
4
5
6
7
8
故
.
所以
故答案为：
.
28．（2023 上·全国·高三专题练习）已知随机变量
的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则
；
.
【答案】 2.8 10.4
【解析】
,
.
故答案为：2.8；10.4.
29．（2022 上·浙江湖州·高三校考期末）用0，1，2，3，4 组成无重复数字的四位数，则其中0 和4 不相
邻的四位数有 个，设这些无重复数字的四位数的各数字之积为
，则
．
【答案】
【解析】当
在
不在时，此时有
个，
当
不在
在时，此时有
个，
当
都在时，
若
在千位，可在十位或百位，此时有
个，
若
在百位，只能在个位，此时有
个，
若
在十位，无合适位置，故不成立，
若
在个位，只能在百位，此时有
个，
所以
和
不相邻的四位数有
个；
当四位数中含有
时，此时有
个，此时
当四位数中不含有
时，此时有
个，此时
，
由上可知
可取
，
所以
，
，
所以
，
故答案为：
；.
30．（2023·安徽·校联考模拟预测）随机变量
有3 个不同的取值，且其分布列如下：
则
的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意知
，则
，则
，
设
，则
，
故
，所以
，
当
时，
取最小值
，
故答案为：
10 古典概型
31．（2024·河北邢台·高三统考期末）保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5 首歌曲中的1 首（歌曲
可重复被抽取），则高三1 班和高三2 班抽到不同歌曲的概率为 ．
【答案】
/0.8
【解析】利用分步乘法原理计算出一共有25 种结果，其中两个班抽到不同歌曲的个数为20 种，
则根据古典概型的概率公式计算：
.
故答案为：
32．（2024·天津和平·高三统考期末）将3 个黑球和2 个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外
完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．
（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜
色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个
球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
【答案】
/
/
【解析】放回的抽取时，两次抽取共有
种情况，
其中两次抽取颜色相同共有
种情况，
其中黑色相同的有
种，白色相同的共有
种，
故所求概率为
；
当不放回的抽取时，颜色相同的有
种情况，
其中其中黑色相同的有种，白色相同的共
种，
所以在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，
第一次抽取的球是白球的概率为
.
故答案为：
；
33．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）一个学习小组有3 名同学，其中2 名男生，1 名女生.从这个小
组中任意选出2 名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 .
【答案】
【解析】一个学习小组有3 名同学，其中2 名男生，1 名女生,
从这个小组中任意选出2 名同学基本事件总数为
,
选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为
,
则所求事件的概率为
，
故答案为：
.
34．（2024·重庆·高三统考期末）一个袋子中有5 个大小相同的球，其中有编号为1，2 的黑球和编号为
1，2，3 的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为
．
【答案】
/
【解析】由题意取出的球颜色不同的取法数有
，若球的编号之和为奇数，
当选编号为1 的黑球时，可以选编号为2 的白球，
当选编号为2 的黑球时，可以选编号为1，3 的白球，
即在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的取法数有
种，
所以在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为
.
故答案为：
.
11 条件概率与全概率
35．（2024·广东东莞·高三统考期末）用试剂
检验并诊断疾病
，
表示被检验者患疾病
，
表示判断
被检验者患疾病
．用试剂
检验并诊断疾病
的结论有误差，已知
，
，且人群
中患疾病
的概率
．若有一人被此法诊断为患疾病
，则此人确实患疾病
的概率
．
【答案】
【解析】由条件概率公式可得
，
，
由条件概率公式可得
，
所以，
，
所以，
.
故答案为：
.
36．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市
的大街小巷成为一逆亮丽的风景线、某外卖小哥每天来往于4 个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，3，
4），约定：每天他首先从1 号外卖店取单，叫做第1 次取单，之后，他等可能的前往其余3 个外卖店中的
任何一个店取单叫做第2 次取单，依此类推，假设从第2 次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的
3 个外卖店取单，设事件
{第
次取单恰好是从1 号店取单}，
是事件
发生的概率，显然
，
，则
，
．
【答案】
【解析】依题意，
，
所以
，
又
，因此
；
；
.
故答案为：
；
.
37．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交
通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑
共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班
不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是 .
【答案】
【解析】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为
，小明上班不迟到的事件为
，
则
，且
两两互斥，依题意，
，
，
因此
，
所以某天上班他迟到的概率
.
故答案为：
12 概统结合问题
38．（2024·辽宁大连·高三统考期末）2020 年12 月4 日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功
构建
光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要
秒，而目前世界最快
的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题
名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是
英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰
好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白
球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又
碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③
个格子的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】小球从起点到第③个格子一共跳了7 次，其中要向左边跳动5 次，向右边跳动2 次，而向左或向
右的概率均为
，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
39．（2024·河南·高三校联考阶段练习）如下表，根据变量
与
之间的对应数据可求出
.其
中
.现从这个样本点对应的残差中任取一个值，则残差不大于的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由表中的数据可知，
，
设
的最后一个数据为
，则
，
，
将
，
代入
得
，
这个样本点对应的残差分别为：
，
，
，
，
，
所以残差不大于的概率为
.
故选：
.
40．（2024·全国·校联考模拟预测）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校
学生中抽取了100 名学生，调查了他们课下做作业的时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．该地初一年级学生做作业的时间超过3 小时的概率估计为35%
B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2.6 小时
C．估计该地初一年级学生的平均做作业的时间超过2.6 小时
D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2 小时至3 小时之间
【答案】D
【解析】由直方图得超过3 小时的频率为
,所以A 正确；
设直方图的中位数为x，则有
，
解得
，故B 正确；
直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：
所以平均数大
于中位数，所以C 正确；
做作业的时间在2 小时至3 小时之间的频率为
，所以D 错误,
故选:D．
13 传统规则的概率问题
41．（多选题）（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）袋中有10 个大小相同的球，其中6 个黑
球，4 个白球，现从中任取4 个球，记随机变量X 为其中白球的个数，随机变量Y 为其中黑球的个数，若
取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1 分，随机变量Z 为取出4 个球的总得分，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意知X，Y 均服从于超几何分布，且
，
，
故
；
从而
，故选项A 正确；
，
，
，故选项B 错误，C 正确；
，故选项D 正确；
故选：ACD.
42．（多选题）（2024·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校考阶段练习）袋中有8 个大小相同的球，
其中5 个黑球，3 个白球，现从中任取3 个球，记随机变量X 为其中白球的个数，随机变量Y 为其中黑球
的个数，若取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1 分，随机变量Z 为取出3 个球的总得分，则下列结论
中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，
均服从于超几何分布，且
，
，
，
，
对选项A：
，错误；
对选项B：
，
，正确；
对选项C：
，正确；
对选项D：
，正确；
故选：BCD.
43．（2024·浙江·高二统考阶段练习）现有n（n>2,
）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其它
无区别的小球，第k（k=1,2,3…n）个袋子中有k 个红球，
个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个
袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率为
，则n=
（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
【解析】设选出的是第k 个袋，连续三次取球的方法数为
，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第 k 个袋子中连取三次球第三次取出的球是白球的概率为：
，
因为选取第k 个袋的概率为
，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当
时，
.
故选：B.
44．（2024·浙江绍兴·高三统考学业考试）一个袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球（
，
），从中任取1 个球（每球取到的机会均等），设
表示取出的红球个数，
表示取出的白球个数，
则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知：随机变量
的分布列如下图所示：
0
1
P
所以有
,
，
随机变量
的分布列如下图所示：
0
1
P
，
，
因为
，所以
，因此有
，故本题选D.
45．（2024·浙江·高三专题练习）甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再
胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为
，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知得甲对获胜可能以下分为两种情况：
①第一局甲队获胜，此时的概率为
；
②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为
，
综上所述，甲队获胜的概率为
，
故选：D.
46．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）排球比赛的规则是5 局3 胜制(无平局),在某次排球比赛中,
甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为
,前2 局中乙队以
领先,则最后乙队获胜的概率是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】最后乙队获胜的概率含3 种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲
胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．最后乙队获胜事件含3 种情况:第三局乙胜，其概率为
；
第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为
；
第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜
；
故最后乙队获胜的概率
，
故选：B.
14 新赛制概率问题
47．（2024·浙江宁波·高一统考期末）2022 年2 月6 日，中国女足在亚洲杯赛场上以3:2 逆转击败韩国女足，
成功夺冠.之前半决赛中，中国女足通过点球大战6:5 惊险战胜日本女足.假设罚点球的球员等可能地随机选
择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而
且即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球，不考虑其它因素，在一次点球大战中，门将在第一次射门
就扑出点球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得门将在第一次射门就扑出点球的概率为
，
故选：B
48．（2024·福建漳州·高三校考期末）已知甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，比赛规则为：将四人随
机均分为
组，同组
人先进行一场比赛，
组胜者再进行决赛．若所有人在比赛中获胜的概率均为
，
则甲、乙在决赛中相遇的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为所有人在比赛中获胜的概率均为
，所以甲、乙、丙、丁四人进入决赛的可能性相等.
所以进入决赛可能出现的情况有
（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），共6 种情况，
甲乙在决赛中相遇的情况只有（甲乙）1 种，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在决赛中相遇的概率为
.
故选：B.
49．（2024·全国·模拟预测）为了丰富同学们的业余生活，增强体质，培养团队意识，甲、乙两校举行乒
乓球比赛．比赛采取5 局3 胜制．假设每局比赛甲校胜乙校的概率都为
，没有平局，且各局比赛的结果
互不影响，则甲校以3：0 获胜或以3：1 获胜的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】甲校以3：0 获胜表示比赛进行3 局结束，甲校胜3 局，概率为
，
甲校以3：1 获胜表示比赛进行4 局结束，甲校胜3 局，且第4 局甲校胜，概率为
，
所以所求概率为
，
故选：C．
15 递推型概率命题
50．（2023·全国·高三专题练习）引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强
拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传
球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，
接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6 次传球，重新由乙同学传球的概率为 ．
【答案】
【解析】设第
次由乙同学传球的概率为
，显然
，
第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，这两人每人得到球的概率为
，
如果球传到乙，则乙不能传到乙，
故第
次由乙传球的概率
与第
次由乙传球的概率
的关系为：
，即
，
故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
则
，则
，故
.
故答案为：
.
51．（2022·山东·山东师范大学附中校联考模拟预测）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1 站、
第2 站、第3 站、…、第10 站，共10 站，设棋子跳到第n 站的概率为
，若一枚棋子开始在第1 站，棋
手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳
两站，直到棋子跳到第9 站（失败）或者第10 站（获胜）时，游戏结束．则
；该棋手获胜
的概率为 ．
【答案】
/0.75
【解析】由题
，因为
，故
，由
，所
以
，累加可得：
．
故答案为：
；
.
52．（2022 下·湖北·高三宜城市第一中学校联考阶段练习）五名运动员
、
、
、
、
相互传球．每
个人在接到球后随机传给其他四人中的一人．设首先由
开始进行第次传球，那么恰好在第次传球把球
传回到
手中的概率是 （用最简分数表示）．
【答案】
【解析】设第
次传球把球传回到
的手中的概率为
，
第次传球
将球传给其他运动员，故
；
表示第
次传球把球传回到
的手中，故传球前球不在
手中，
而每名运动员传给其他一名指定运动员的概率为
，由乘法原理，故
．
于是
，且
，
故数列
为首项为
，公比为
的等比数列，
于是
，即
，
，
故
.
故答案为：
.
53．（2022·天津·天津市蓟州区第一中学校联考一模）某高中食堂鲜奶站提供
、
两种鲜奶，他们经过
统计分析发现：第一次购买的人购买
种鲜奶的概率为
、购买
种鲜奶的概率为
，而前一次购买
种
鲜奶的人下一次来购买
种鲜奶的概率为
、购买
种鲜奶的概率为
，前一次购买
种鲜奶的人下一次
来购买
种鲜奶的概率为
、购买
种鲜奶的概率也是
，如此往复．记某人第
次来购买
种鲜奶的概
率为
．则
﹔经过一段时间的经营每天来购买鲜奶的人稳定在800 人，假定这800 人都已
购买过很多次该两种鲜奶，那么公司每天应至少准备
种鲜奶 份．
【答案】
320
【解析】解:根据题意,
,所以
由题知，
，
所以
，
所以
是等比数列，公比为
，首项为
，
所以
，即
，
因为假定这800 人都已购买过很多次该两种鲜奶，
所以当
时，
，
所以公司每天应该准备
种鲜奶
份
故答案为：
；
.
