文档文本内容
1 / 4
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题21 高斯函数
1．【2019 年内蒙古预赛】方程x
2-8[ x ]+7=0的解为
.
2．【2019 年新疆预赛】记[x]为不超过实数x的最大整数｡若A =[
7
8]+[
7
2
8 ]+⋯+[
7
2019
8 ]+[
7
2020
8 ]
，则A
除以50的余数为
.
3．【2018 年山东预赛】函数f (x)=[2sin x⋅cos x]+[sin x +cos x]的值域为______．（其中[x]表示不超过
实数x的最大整数）．
4．【2018 年天津预赛】对于实数α，用[α ]表示不超过α的最大整数，例如[3]=3，[❑√2]=1，[- π ]=- 4，
设x 为正实数，若[log2 x]为偶数，则称x 为幸运数.在区间（0，1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率
为__________
5．【2018 年河北预赛】规定：对任意x∈R，当且仅当n⩽x<n+1(n∈N
*)时，[x]=n，则
4 [x]
2-28[x]+ 45⩽0的解集为__________.
6．【2016 年安徽预赛】记[x]表示不超过实数x 的最大整数.则集合{[x]+[2 x]+[3 x] x ¿共有________个元
素.
7．【2016 年湖北预赛】记[a]表示不超过实数a 的最大整数.则方程[
x
7]=[
x
8]+1的最大正整数解为_____.
8．【2016 年北京预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数.设A =[
7
8]+[
7
2
8 ]+⋯+[
7
2016
8 ]
.则A除以50 的
余数为__________.
9．【2019 年北京预赛】设[x]表示不超过x的最大整数,则方程2
x -2[ x ]-1=0的根的个数是
(A)4.
(B)3.
(C)2.
(D)1.
10
．
【
2018
年
北
京
预
赛
】
已
知
[x]表
示
不
超
过
x的
最
大
整
数
，
若
2 / 4
[x +0.1]+[x +0.2]+[x +0.3]+[x +0.4]+[x +0.5]+[x +0.6]+[x +0.7]+[x +0.8]+[x +0.9]=104，则x的最
小值是
A．11.5. B．10.5. C．9.5. D．8.5.
11．【2018 年陕西预赛】已知数列{an}满足a1=1,an+1=n+1+an(n∈N
*).若[x]表示不超过x的最大整数
则[
1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2018]=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2018
12．【2018 年陕西预赛】已知数列{an}满足a1=1,an+1=n+1+an(n∈N
*).若[x]表示不超过x的最大整数，
则[
1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2018]=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2018
13．【2018 年陕西预赛】已知数列{an}满足a1=1,an+1=n+1+an(n∈N
*).若[x]表示不超过x的最大整数，
则[
1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2018]=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2018
14．【2017 年贵州预赛】设[x]表示不超过实数x的最大整数,则方程2
x-2[x]-1=0的根的个数为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
15．【2017 年湖南预赛】对任意正整数n与k (k ≤n),用f (n,k )表示不超过[
n
k]
且与n互质的正整数的个数
(其中[x]表示不超过x的最大整数),则f (100,3)=(
)
(A)11
(B)13
(C)14
(D)19
3 / 4
16．【2016 年浙江预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数。若集合S =¿，则S所表示的平面区域的面积
为（ ）。
A．5
2
B．3 C．9
2
D．4
17．【2016 年四川预赛】对任意正整数n 与k (k ≤n)，f (n,k )表示不超过[
n
k]（[x]表示不超过实数x 的
最大整数）且与n 互素的正整数的个数.则f (100,3)=（）.
A．l1 B．13 C．14 D．19
18 ．【2016 年湖南预赛】规定：对于x∈R，当且仅当n≤x<n+1(n∈Z+)时，[ x ]=n. 则
4[ x ]
2-36[ x ]+ 45≤0的解集为______.
19．【2016 年江苏预赛】某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．若按一下第一个操作键，则将原
显示屏上的数变为[
x
2]（[x]表示不超过实数x 的最大整数）；若按一下第二个操作键，则将原显示屏上
的数变为4 x +1．称按一下任意一个操作键为一次操作．现在显示屏上的数为1．问：
（1）是否可以经过有限次操作，显示屏上出现整数2000？说明理由．
（2）小于2000 的整数中有多少个数可以经过有限次操作在显示屏上出现？
4 / 4
