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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题20 三角函数与解三角形第七缉
1．【2017 年辽宁预赛】如果对任意非负整数n,cos2
nα <- 1
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都成立,求实数α.
2．【2017 年河南预赛】设- π
2 ≤x ≤π
2
,且方程cos2 x - 4 acos x -a+2=0有两个不同的解,求a的取值范围.
3．【2017 年湖北预赛】求实数a的取值范围,使不等式sin2θ -2❑√2acos(θ - π
4)-
❑√2a
sin(θ+ π
4)
>-3-a
2
对θ∈[0, π
2]
恒成立.
4．【2017 年湖北预赛】已知函数f (x)=|sin x|, x∈R.
(1)证明:sin1≤f (x)+ f (x +1)≤2cos 1
2
;
(2)证明：对任意的正整数n,有f (n)
n
+ f (n+1)
n+1 +⋯+ f (3n-1)
3n-1 >sin1
2
5 ．【2017 年陕西预赛】设△ABC的内角A ,B、C的对边分别为a,b,c, 向量⃗
m=(sin A ,b+c),⃗n=(sinC -sin B ,a-b),且存在实数λ,使⃗m= λ⃗n.
(1)求角C的大小;
(2)若a+b=kc,求实数k的取值范围.
6 ．【2017 年甘肃预赛】在△ABC中,∠A 、∠B、∠C的对边分别为a,b、c, 且
a
2-(b-c)
2=(2- ❑√3)bc ,sin A sin B =cos
2 C
2 ,BC上的中线AM的长为❑√7.
(1)求∠A和∠B的大小;
(2)求△ABC的面积.
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7．【2017 年安徽预赛】设0< x< π
2
,证明:0<
x -sin x
tan x -sin x < 1
3 .
8．【2017 年湖南预赛】在锐角△ABC中,sin A = 4 ❑√5
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,且a,b,c为角A ,B ,C的对边.
(1)求sin2(B+C)+sin
2 B+C
2
的值;
(2)若a= 4,试求当⃗AB⋅⃗AC取得最大值时,△ABC的面积S△ABC的值.
9．【2017 年新疆预赛】已知x , y , z是正数,且满足{
x
2+ y
2+ xy =3,
y
2+ z
2+ yz = 4 ,求x + y + z.
z
2+ x
2+ zx =7.
10．【2017 年新疆预赛】如图,边长为2 的等边三角形△ABC中,D是BC的中点,E、F分别是边AB、AC
上的动点.
(1)若∠EDF =120
∘,求证:AE+ AF为定值.
(2)若∠EDF =60
∘,此时AE+ AF是否为定值?若是,请给出证明;否则,求出AE+ AF的取值范围.
11．【2016 年陕西预赛】设
均为非零实数，且满足
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）在
中，若
，求
的最大值.
12 ．【2016 年吉林预赛】在△ABC中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B、∠C的对边，b=1，且
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cosC +(2a+c)cos B =0.
求（1）∠B；
（2）S△ABC的最大值.
13 ．【2016 年吉林预赛】在△ABC中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B、∠C的对边，b=1，且
cosC +(2a+c)cos B =0.
求（1）∠B；
（2）S△ABC的最大值.
14．【2016 年上海预赛】如图，五边形A1B1C1 D1 E1内接于边长为1 的正五边形ABCDE．证明：五边形
A1B1C1 D1 E1中至少有一条边的长度不小于cosπ
5
．
15 ．【2016 年四川预赛】在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c. 命题
p:∠B+∠C =2∠A，且b+c=2a；命题q: ΔABC为正三角形.则命题P 是命题q 的（）条件.
A．充分必要
B．充分但不必要
C．必要但不充分
D．既不充分又不必要
16．【2016 年辽宁预赛】设A、B、C 为抛物线y = x
2上不同的点，R 为△ABC 外接圆的半径．求R 的取值
范围．
17．【2016 年甘肃预赛】在非等腰△ABC中，∠A 、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足
(2c -b)cosC =(2b-c)cos B.
（1）求∠A的大小；
（2）若a= 4，求△ABC面积的取值范围.
18．【2015 年上海预赛】已知O 为坐标原点，函数f (x)= x
2(x>0) 及g(x)=- 1
x
(x>0)，A、B 分别为函数
f（x）、g（x）的图像上的点，且满足∠AOB =120°，求△AOB面积的最小值（精确到10-4）.
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19．【2015 年新疆预赛】在△ABC中，证明sin A ⋅sin⋅BsinC ≤3 ❑√3
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：，并分析该不等式何时取等号.
20．【2015 年四川预赛】已知函数f (x)=sin
4 x。
（1）记g(x)= f (x)+ f(
π
2 - x)
，求g(x)在区间[
π
6 , 3 π
8 ]
内的最大值与最小值；
（2）求∑
k =1
89
f(
kπ
180)
的值。
21．【2015 年安徽预赛】设平面四边形ABCD的四边长为四个连续的正整数.证明：四边形ABCD面积的
最大值不为整数.
22．【2015 年陕西预赛】设△ABC的内角∠A 、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足
sin A +sin B =(cos A +cos B)sinC. ①
（1）证明：△ABC为直角三角形；
（2）若a+b+c =1+ ❑√2，求△ABC面积的最大值.
23．【2015 年山东预赛】对任意的x 和正整数n,比较nsin
2 x和sinx⋅sinnx的大小.
24．【2015 年吉林预赛】在△ABC中，内角∠A 、∠B、∠C对边的边长分别为a、b、c.已知
c =2，∠C =π
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.求：
（1）△ABC周长的最大值；
（2）当2sin 2 A +sin (2B+C)=sinC时，△ABC的面积.
25．【2015 年甘肃预赛】已知函数 f (x)=2sin
2(
π
4 - x)- ❑√3cos2 x
(1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)若f (x)<m+2在x∈[0, π
6]
上恒成立,求实数m的取值范围.
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