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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题21 高斯函数
1．【2019 年内蒙古预赛】方程x
2-8[ x ]+7=0的解为
.
【答案】(4 - ❑√17,1]∪[7,4+ ❑√17)
【解析】∵x ≤[ x ]= x
2+7
8
< x +1，故方程解集为(4 - ❑√17 ,1]∪[7,4 + ❑√17).
2．【2019 年新疆预赛】记[x]为不超过实数x的最大整数｡若A =[
7
8]+[
7
2
8 ]+⋯+[
7
2019
8 ]+[
7
2020
8 ]
，则A
除以50的余数为
.
【答案】40
【解析】注意到7
2k -1
8
, 7
2k
8
均不是整数，
按定义7
2k -1-2=(
7
2k -1
8
-1)+(
7
2k
8 -1)<[
7
2k -1
8 ]+[
7
2k
8 ]< 7
2k -1
8
+ 7
2k
8 =7
2k -1，
所以对任意正整数k 均有[
7
2k -1
8 ]+[
7
2k
8 ]=7
2k -1-1=7⋅7
2k -2-1
=7⋅(49)
k -1-1=7⋅(50-1)
k -1-1≡7⋅(-1)
k -1-1( mod 50)
.
从而A ≡7⋅1010⋅(1-1)-1010≡40( mod 50).
3．【2018 年山东预赛】函数f (x)=[2sin x⋅cos x]+[sin x +cos x]的值域为______．（其中[x]表示不超过
实数x的最大整数）．
【答案】{-2,-1,1,2}
【解析】
因为f (x +2π)= f (x) 且f(
π
2 - x)= f (x)，
所以f (x)以2π为周期，且图象关于直线x =π
4
对称．
2 / 9
所以只需讨论x∈[
π
4 , 5π
4 ]
时，f (x)的取值即可．
易得，当x =π
4
时，f (x)取得最大值2；当x∈(
3π
4 ,π)∪(π, 5π
4 )
时，f (x)取得最小值-2，
所以f (x)的值域为{-2,-1,1,2}．
4．【2018 年天津预赛】对于实数α，用[α ]表示不超过α的最大整数，例如[3]=3，[❑√2]=1，[- π ]=- 4，
设x 为正实数，若[log2 x]为偶数，则称x 为幸运数.在区间（0，1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率
为__________
【答案】1
3
【解析】
注意当x∈(0,1)时，log2 x<0；
因此[log2 x]为偶数当且仅当log2 x∈[-2,-1)∪[- 4 ,-3)∪[-6,-5)∪⋯，
也即x ∈[2
-2,2
-1)∪[2
-4,2
-3)∪[2
-6,2
-5)∪⋯
这些区间的长度之和为
1
2
2 + 1
2
4 + 1
2
6 +⋯= 1
4 ⋅
1
1- 1
4
= 1
3.
因此，x 是幸运数的概率为1
3
.
故答案为：1
3
5．【2018 年河北预赛】规定：对任意x∈R，当且仅当n⩽x<n+1(n∈N
*)时，[x]=n，则
4 [x]
2-28[x]+ 45⩽0的解集为__________.
【答案】¿
【解析】
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由已知得5
2 ⩽[x]⩽9
2
，那么3⩽[x]⩽4，所以3⩽x<5，故所求解集为¿.
6．【2016 年安徽预赛】记[x]表示不超过实数x 的最大整数.则集合{[x]+[2 x]+[3 x] x ¿共有________个元
素.
【答案】67
【解析】
设f (x)=[x]+[2 x]+[3 x].
则f (x +1)= f (x)+6.
当0≤x<1时，f (x)的所有可能值为0、1、2、3.
因此，f (x)的值域为
S ={6k ,6k +1,6k +2,6 k +3¿.
故S∩{1,2,⋯,100}共有4×17 -1=67个元素.
7．【2016 年湖北预赛】记[a]表示不超过实数a 的最大整数.则方程[
x
7]=[
x
8]+1的最大正整数解为_____.
【答案】104
【解析】
设x =8 j+h( j∈Z ,h∈{0,1,⋯,7}).
代
入
题
给
方
程
得
[
8 j+h
7 ]=[
8 j+h
8 ]+1⇒j+[
j+h
7 ]= j+1⇒[
j+h
7 ]=1⇒j+h=7+r (r ∈{0,1,⋯,6})⇒x =8 j+h=8(7+r -h)+h=
当r=6，h=0 时，x 的值最大．
综上，原方程的最大正整数解为
56+8×6-0=104.
8．【2016 年北京预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数.设A =[
7
8]+[
7
2
8 ]+⋯+[
7
2016
8 ]
.则A除以50 的
余数为__________.
【答案】42
【解析】
4 / 9
因为7
2k -1
8
、7
2k
8
均不是整数，且7
2k -1
8
+ 7
2k
8 =7
2k -1，
所以，对于任意的k ∈Z+，均有
[
7
2k -1
8 ]+[
7
2k
8 ]=7
2k -1-1
≡7(-1)
k -1-1(mod 50).
则A ≡(1-1+1-1+⋯+1-1)-1008≡42(mod 50).
9．【2019 年北京预赛】设[x]表示不超过x的最大整数,则方程2
x -2[ x ]-1=0的根的个数是
(A)4.
(B)3.
(C)2.
(D)1.
【答案】B
【解析】因为方程2
x -2[ x ]-1=0的根的个数等价于函数y =2
x-1的图象与函数y =2[x]的图象的交点个数.
在同一个平面直角坐标系中,分别画出函数y =2
x-1的图象与函数y =2[x]的图象,如右图,两函数的图象共有
3 个交点,所以方程2
x -2[ x ]-1=0有3 个根.
10
．
【
2018
年
北
京
预
赛
】
已
知
[x]表
示
不
超
过
x的
最
大
整
数
，
若
[x +0.1]+[x +0.2]+[x +0.3]+[x +0.4]+[x +0.5]+[x +0.6]+[x +0.7]+[x +0.8]+[x +0.9]=104，则x的最
小值是
A．11.5. B．10.5. C．9.5. D．8.5.
【答案】A
【解析】
因为0<0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9<1，104÷ 9=11 5
9
，
所以，11< x<12，因为104 =11×4 +12×5，即
5 / 9
[x +0.1]=[x +0.2]=[x +0.3]=[x +0.4]=11，
[x +0.5]=[x +0.6]=[x +0.7]=[x +0.8]=[x +0.9]=12，
由[x +0.5]=12可推知12≤x +0.5<13，即11.5≤x<12.5.
由[x +0.9]=12可推知12≤x +0.9<13，即11.1≤x<12.1.
所以，11.5≤x<12.5.因此x的最小值是11.5. 选A.
11．【2018 年陕西预赛】已知数列{an}满足a1=1,an+1=n+1+an(n∈N
*).若[x]表示不超过x的最大整数
则[
1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2018]=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2018
【答案】B
【解析】
∵∑
k =1
n-1
(ak +1-ak)=∑
k =1
n-1
(k +1),∴an-a1= n(n+1)
2
-1⇒1
an
=
2
n(n+1)
，
∴[∑
k =1
2018 1
ak]=[2(1-
1
2019)]=2.
12．【2018 年陕西预赛】已知数列{an}满足a1=1,an+1=n+1+an(n∈N
*).若[x]表示不超过x的最大整数，
则[
1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2018]=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2018
【答案】B
【解析】
∵∑
k =1
n-1
(ak +1-ak)=∑
k =1
n-1
(k +1),∴an-a1= n(n+1)
2
-1⇒1
an
=
2
n(n+1)
，
∴[∑
k =1
2018 1
ak]=[2(1-
1
2019)]=2.
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13．【2018 年陕西预赛】已知数列{an}满足a1=1,an+1=n+1+an(n∈N
*).若[x]表示不超过x的最大整数，
则[
1
a1
+ 1
a2
+…+
1
a2018]=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2018
【答案】B
【解析】
∵∑
k =1
n-1
(ak +1-ak)=∑
k =1
n-1
(k +1),∴an-a1= n(n+1)
2
-1⇒1
an
=
2
n(n+1)
，
∴[∑
k =1
2018 1
ak]=[2(1-
1
2019)]=2.
14．【2017 年贵州预赛】设[x]表示不超过实数x的最大整数,则方程2
x -2[x]-1=0的根的个数为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】C
【解析】提示:因为方程2
x -2[x]-1=0的根个数等价于函数y =2
x-1
的图象与y =2[x]的图象的交点个数.
分别画出函数y =2
x-1的图象与y =2[x]的图象,由图象知,两函数图象有三个交点.
故选C.
15．【2017 年湖南预赛】对任意正整数n与k (k ≤n),用f (n,k )表示不超过[
n
k]
且与n互质的正整数的个数
(其中[x]表示不超过x的最大整数),则f (100,3)=(
)
(A)11
(B)13
(C)14
(D)19
【答案】C
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【解析】提示:由[
100
3 ]=33可知,所求为1 到33 中与100 互质的正整数的个数.
先去掉所有的偶数,还剩下17 个奇数,再去掉其中5 的倍数(共3 个),于是所求为14.
16．【2016 年浙江预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数。若集合S =¿，则S所表示的平面区域的面积
为（ ）。
A．5
2
B．3 C．9
2
D．4
【答案】A
【解析】
（1）当0≤x + y <1时，[x + y]=0，则|[x - y]|≤1⇒-1≤x - y <2；
（2）当1≤x + y <2时，[x + y]=1，则|[x - y]|=0⇒0≤x - y <1；
（3）当-1≤x + y <0时，[x + y]=-1，则|[x - y]|=0⇒0≤x - y <1.
作出满足上述条件的区域，知所求面积为5
2
.
17．【2016 年四川预赛】对任意正整数n 与k (k ≤n)，f (n,k )表示不超过[
n
k]（[x]表示不超过实数x 的
最大整数）且与n 互素的正整数的个数.则f (100,3)=（）.
A．l1 B．13 C．14 D．19
【答案】C
【解析】
由[
100
3 ]=33，知所求为1 至33 中与100 互素的数的个数.先去掉所有的偶数，还剩下17 个奇数，再去掉
5 的倍数（共三个），从而，所求为14.
18 ．【2016 年湖南预赛】规定：对于x∈R，当且仅当n≤x<n+1(n∈Z+)时，[ x ]=n. 则
4[ x ]
2-36[ x ]+ 45≤0的解集为______.
【答案】¿
【解析】
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由4[ x ]
2-36[ x ]+ 45<0，得3
2 <[ x ]< 15
2
，根据[ x ]所表示的意义可知2≤[ x ]≤7，
从而2≤x<8．故所求不等式的解集为¿.
19．【2016 年江苏预赛】某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．若按一下第一个操作键，则将原
显示屏上的数变为[
x
2]（[x]表示不超过实数x 的最大整数）；若按一下第二个操作键，则将原显示屏上
的数变为4 x +1．称按一下任意一个操作键为一次操作．现在显示屏上的数为1．问：
（1）是否可以经过有限次操作，显示屏上出现整数2000？说明理由．
（2）小于2000 的整数中有多少个数可以经过有限次操作在显示屏上出现？
【答案】（1）见解析；（2）233
【解析】
（1）不可能．
将数化成二进制．则按第一个操作键表示将显示屏上的数的最后一位去掉；按第二个操作键表示将显示屏
上的数后面加上01．
当初始数为1 时，经过以上两种操作后得到的数没有两个1 相邻，而2000 化成二进制为(11111010000)2
，
其中有两个1 相邻，从而，显示屏上不可能出现整数2000．
（2）若先进行第二种操作，后进行第一种操作，则相当于在原数后加一个0．故任意一个二进制中没有两
个1 相邻的数均可以经过有限次操作可得．
于是，在显示屏上可以出现小于2000 的整数的个数等价于不大于(10101010101)2
，且没有两个1 相邻的
自然数的个数．
又含有k (0≤k ≤6)个1 且不大于(10101010101)2
的自然数有C12-k
k
个，从而，满足条件的自然数个数为
1+11+ 45+84+70+21+1=233．
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