专题3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 导数的定义及其应用】..............................................................................................................................2
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】..............................................................................................................3
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】..............................................................................................................5
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】.............................................................................6
【题型5 已知切线（斜率）求参数】......................................................................................................................8
【题型6 切线的条数问题】......................................................................................................................................9
【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】...................................................................................11
【题型8 与切线有关的最值问题】........................................................................................................................13
1、导数的几何意义与运算
导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运
算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义
也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
=
，即y 对x 的导数等于y
对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（2023 下·山东·高二校联考阶段练习）若
lim
Δ x→0 f (-2+ Δ x)- f (-2- Δ x)
Δ x
=-2，则f
' (-2)=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.
【解答过程】
lim
Δ x→0 f (-2+ Δ x)- f (-2- Δ x)
Δ x
=
lim
Δ x→0 f (-2+ Δ x)- f (-2)+[ f (-2)- f (-2- Δ x)]
Δ x
=
lim
Δ x→0 f (-2+ Δ x)- f (-2)
Δ x
+
lim
Δ x→0 f (-2)- f (-2- Δ x)
Δ x
=2f
'(-2)=-2，
所以f
' (-2)=-1.
故选：B.
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设f ( x)是可导函数，且
lim
Δx →0 f ( x0-2 Δx)- f ( x0)
Δx
=2，则f
'( x0)=
（ ）
A．1
2
B．-1
C．0
D．-2
【解题思路】根据导数定义，即可求出．
【解答过程】因为
lim
Δx →0 f ( x0-2 Δx)- f ( x0)
Δx
=-2
lim
Δx →0 f ( x0-2 Δx)- f ( x0)
-2 Δx
=-2f
'(x0)=2，
所以f
'(x0)=-1，
故选：B.
【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm 的正方体各面的中心得到一
个多面体容器，从顶点A 处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B 到水面的距离h 以每秒1cm 的速
度匀速上升，设该容器内水的体积V (cm
3)与时间t(s)的函数关系是V (t )，则函数y =V (t )的图象大致是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.
【解答过程】通过几何体的特征可得，
容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；
容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；
即函数图象的切线斜率先增大后减小，
故选：A.
【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数f (x)在点x0处附近有定义，且
f (x0+ Δ x)- f (x0)=a Δ x +b(Δ x)
2,a,b为常数，则（ ）
A．f
' (x)=a
B．f
' (x)=b
C．f
'(x0)=a
D．f
'(x0)=b
【解题思路】由导函数的定义可得选项.
【解答过程】解：因为f (x0+ Δ x)- f (x0)=a Δ x +b(Δ x)
2,a,b为常数，所以
f
'(x0)= lim
Δ x→0(
f (x0+ Δ x)- f (x0)
Δ x
)= lim
Δ x→0
(a+b Δ x)=a，
故选：C.
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】
【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f ( x)= log2
1
x 的导函数为（ ）
A．f
'( x)= ln 2
x
B．f
'( x)=
1
x ln 2
C．f
'( x)=- ln 2
x
D．f
'( x)=-
1
x ln 2
【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
【解答过程】依题知，1
x >0，即x>0，
由求导公式：loga
' x =
1
x ln a，
复合函数的求导法则：设u= g(x)，则f
'(g(x))= f
' (u)⋅g
' (x)
得：f
' (x)=
1
1
x ln2
×(
1
x)
'
= x
ln2 ×(- 1
x
2)=-
1
x ln2，
故选：D.
【变式2-1】（2023 上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（ ）
A．(3
x)
' =3
x ln3
B．(x
2ln x)
' =2 x ln x + x
C．(
cos x
x )
'
= x sin x -cos x
x
2
D．(2
ln( x
2+1))
' = 2 x ln 2
x
2+1
⋅2
ln( x
2+1)
【解题思路】根据求导运算法则得到答案.
【解答过程】A 选项，(3
x)
' =3
x ln3，A 正确；
B 选项，(x
2ln x)
' =2 x ln x + x
2⋅1
x =2 x ln x + x，B 正确；
C 选项，(
cos x
x )
'
=- x sin x -cos x
x
2
，C 错误；
D 选项，(2
ln( x
2+1))
' =2
ln( x
2+1)ln 2⋅
1
x
2+1
⋅(x
2+1)
' = 2 x ln 2
x
2+1
⋅2
ln( x
2+1)，D 正确.
故选：C.
【变式2-2】（2023 上·湖北·高二期末）已知函数f ( x)= f
'(π
4 )cos2 x +sin x，则f (x)在x =π
4 处的导数
为（ ）
A．√2
6
B．√2
4
C．√2
2
D．- √2
2
【解题思路】对f (x)求导，将x =π
4 代入求f
'(
π
4 )即可.
【解答过程】由已知可得f
' (x)=-2f
'(
π
4 )sin2 x +cos x，
所以f
'(
π
4 )=-2f
'(
π
4 )sin(2×π
4 )+cosπ
4 ，所以f
'(
π
4 )= √2
6
故选：A.
【变式2-3】（2023 下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数f (x)= (x +1)
2+sin x
x
2+1
，其导函数记为
f
' (x)，则f (389)+ f
' (389)+ f (-389)- f
' (-389)=（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3
【解题思路】函数f (x)=1+ 2 x +sin x
x
2+1
，分析其性质可求f (389)+ f (-389)的值 ，再求f
' (x)并讨论其性质
即可作答.
【解答过程】由已知得f (x)=1+ 2 x +sin x
x
2+1
，
则f
' (x)= (2+cos x)(x
2+1)-(2 x +sin x)⋅2 x
(x
2+1)
2
，显然f
' (x)为偶函数.
令g(x)= f (x)-1= 2 x +sin x
x
2+1
，显然g(x)为奇函数.
又f
' (x)为偶函数，所以f
' (389)- f
' (-389)=0，f (389)+ f (-389)= g(389)+1+ g(-389)+1=2，
所以f (389)+ f
' (389)+ f (-389)- f
' (-389)=2.
故选：A.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线f (x)=2
xcos x在x =0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．1
D．-1
【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【解答过程】对f (x)=2
xcos x求导得，f
' (x)= (ln2)×2
x⋅cos x -2
x⋅sin x，由题意曲线f (x)=2
xcos x在
x =0处的切线l的斜率为kl= f
' (0)= (ln2)×2
0⋅cos0-2
0⋅sin 0= ln 2.
故选：A.
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线y =kx +n与曲线y = ln x + 1
x
相切，则k 的取值范围是
（ ）
A．(-∞, 1
4]
B．[4 ,+∞)
C．[- 4 ,+∞)
D．[
1
4 ,+∞)
【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【解答过程】y
' = 1
x - 1
x
2 =-(
1
x - 1
2)
2
+ 1
4 ≤1
4
，
由导数的几何意义可知，k ≤1
4
.
故选：A.
【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数y = f (x)在P(1,f (1))处的切线如图所示，则
f (1)+ f
' (1)=（ ）
A．0
B．1
2
C．3
2
D．-1
2
【解题思路】根据切线过(2,0)和(0,-1)，利用斜率公式求得f
'(1)，写出切线方程，再令x =1，求得
f (1)即可.
【解答过程】因为切线过(2,0)和(0,-1)，所以f
'(1)= 0+1
2-0 = 1
2
，
所以切线方程为y = 1
2 x -1，
令x =1，则y =- 1
2
，
所以f (1)=- 1
2
，
所以f (1)+ f
'(1)=- 1
2 + 1
2 =0.
故选：A.
【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点P是函数f (x)= x
3- 1
2 f
' (1) x + f
' (2)图象上的任意一点，点
P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．[0, 3π
4 )
B．[0,π
2 )∪[
3π
4 ,π)
C．(
π
2 , 3π
4 )
D．
[0,π
2 )∪(
3π
4 ,π)
【解题思路】求出f
' (x)，令x =1后可求f
' (x)，再根据导数的取值范围可得tan α的范围，从而可得α的取值
范围.
【解答过程】∵f (x)= x
3- 1
2 f
' (1) x + f
' (2)，∴f
' (x)=3 x
2- 1
2 f
' (1)，
∴f
' (1)=3- 1
2 f
' (1)，∴f
' (1)=2，∴f
' (x)=3 x
2-1≥-1，
∴tan α ≥-1，∴0≤α <π
2 或3π
4 ≤α <π.
故选：B.
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】
【例4】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线y = x
3+1在点(a,2)处的切线方程为（ ）
A．y =3 x +3
B．y =3 x -1
C．y =-3 x -1
D．y =-3 x -3
【解题思路】应用导数的几何意义求解即可.
【解答过程】因为a
3+1=2，所以a=1，即切点坐标为(1,2)，由f ' (x)=3 x
2，所以f ' (1)=3，所以
y = x
3+1在点(1,2)处的切线方程为y -2=3(x -1)，即y =3 x -1.
故选：B.
【变式4-1】（2023 下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数f (x)=ln(- x)图像相切的直线方程是
（ ）
A．y =- x
B．y =- 2
e x
C．y =- 1
e x
D．y =-e x
【解题思路】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.
【解答过程】因为f ( x)=ln(- x)，所以f
' (x)= 1
x
，
设所求切线的切点为( x0,f ( x0))，则f
'(x0)= 1
x0
，
由题知，1
x0
= f ( x0)
x0
= ln(- x0)
x0
，解得x0=-e，所以切线斜率为k = f
' (-e)=- 1
e
，
故所求切线方程为y =- 1
e x.
故选：C.
【变式4-2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f (x)= 1
e
x -1，则曲线y = f (x)在点(-1,f (-1))处的
切线方程为（ ）
A．e x + y +1=0
B．e x - y +1=0
C．e x + y -1=0
D．e x - y -1=0
【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
【解答过程】由f (x)= 1
e
x -1，得f
' (x)=- 1
e
x ，
所以f
' (-1)=-e，又f (-1)=e-1，
故曲线y = f (x)在点(-1,f (-1))处的切线的方程为y -(e-1)=-e(x +1)，即e x + y +1=0.
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)= x
3- x
2+2 x +1，则曲线y = f (x)过坐标原点的切
线方程为（ ）
A．y = x
B．y =2 x
C．y =3 x
D．y = 4 x
【解题思路】设切点为(t ,t
3-t
2+2t +1)，利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出t的值，
即可得出所求切线的方程.
【解答过程】设切点为(t ,t
3-t
2+2t +1)，f
' (x)=3 x
2-2 x +2，则切线斜率为f
' (t )=3t
2-2t +2，
所以，所求切线方程为y -(t
3-t
2+2t +1)=(3t
2-2t +2)(x -t )，
将原点坐标代入所求切线方程可得2t
3-t
2-1=0，即(t -1)(2t
2+t +1)=0，解得t =1，
因此，所求切线方程为y =3 x.
故选：C.
【题型5 已知切线（斜率）求参数】
【例5】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a 与曲线y = x + a
x
相切，则实数a＝（ ）
A．0
B．1
2
C．4
5
D．3
2
【解题思路】根据导数的几何意义可得¿，求解即可.
【解答过程】由y = x + a
x 且x 不为0，得y
' =1- a
x
2
设切点为(x0, y0)，则¿，即¿，
所以x0
3
x0
2+1
-
x0
2
x0
2+1
= x0+
x0
x0
2+1
，可得x0=-2,a= 4
5
.
故选：C.
【变式5-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线y = x ln x +ae
- x在点x =1处的切线方程为2 x - y +b=0，
则b=（ ）
A．－1
B．－2
C．－3
D．0
【解题思路】根据导数的几何意义可知切线斜率为1- a
e =2，可得a=-e，计算出切点代入切线方程即可
得b=-3.
【解答过程】由题意可得y
' = ln x +1-ae
- x，
根据导数的几何意义可知，在点x =1处的切线斜率为1- a
e =2，解得a=-e；
所以切点为(1,-1)，代入切线方程可得2+1+b=0，解得b=-3.
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数f (x)=a x
2+bln x的图象在点(1,f (1))处的切线方桯
为y =3 x -1.则a-b的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】对函数求导，再求出x =1处的切线方程，即可求得a,b；
【解答过程】解：函数f (x)=a x
2+bln x，则f
' (x)=2ax + b
x
，函数f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方桯
为y =3 x -1，
所以¿，解得¿，则a-b=3.
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线y =axe
x+ ln x在点(1,ae)处的切线方程为y =3 x +b，
则（ ）
A．a=e，b=-2
B．a=e，b=2
C．a=e
-1，b=-2
D．a=e
-1，b=2
【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得y
'|x =1=3，即可求出a，再将切点代入切线方程，即可求出
b；
【解答过程】解：y
' =ae
x+axe
x+ 1
x
，k = y
'|x =1=ae+ae+1=2ae+1=3，
∴ae=1，∴a= 1
e =e
-1．将(1,1)代入y =3 x +b得3+b=1，∴b=-2．
故选：C．
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)=- x
3+3 x，则过点(-3,-9)可作曲线y = f (x)的切线
的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解题思路】设切点为(a,-a
3+3a)，根据导数的几何意义求得在切点(a,-a
3+3a)处的切线方程，再将
(-3,-9)代入，求得a的值，即可得解.
【解答过程】解：因为f (x)=- x
3+3 x，所以f
' (x)=-3 x
2+3，
设切点为(a,-a
3+3a)，
所以在切点(a,-a
3+3a)处的切线方程为y =-3(a
2-1)(x -a)-a
3+3a，
又(-3,-9)在切线上，所以-9=-3(a
2-1)(-3-a)-a
3+3a，
即-9=3(a
2-1)⋅(3+a)-a
3+3a，
整理得2a
3+9a
2=0，解得a1=0或a2=- 9
2
，
所以过点(-3,-9)可作曲线y = f (x)的切线的条数为2.
故选：C．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y =(1- x)e
x有两条过点A (a,0)的切线，则a的取值范围是
（ ）
A．(-∞,-1)∪(3,+ ∞)
B．(-3,1)
C．(-∞,-3)
D．(-∞,-3)∪(1,+∞)
【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设切点为(x0,(1- x0)e
x0)，由已知得y
' =- xe
x，则切线斜率k =- x0e
x0，
切线方程为y -(1- x0)e
x0=- x0e
x0(x - x0)．
∵直线过点A (a,0)，∴-(1- x0)e
x0=- x0e
x0(a- x0)，
化简得x0
2-(a+1) x0+1=0．∵切线有2 条，
∴Δ=(a+1)
2- 4>0，则a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞)，
故选：D.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f ( x)= x +1
e
x
相切的直线只有2 条，则m的取值
范围是（ ）
A．(-∞,+∞)
B．(-∞,-3)∪(1,+ ∞)
C．(-1,3)
D．(-∞,-1)∪(3,+ ∞)
【解题思路】求得f
'( x)=- x
e
x ，求得切线PQ方程,结合题意，转化为方程t
2+(1-m)t +1=0有2 个不等实
根，根据二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】设过点P(m,0)的直线与曲线f ( x)= x +1
e
x
相切于点Q(t , t +1
e
t )
，
由f ( x)= x +1
e
x
，可得f
'( x)=- x
e
x ，所以切线PQ的斜率k =- t
e
t =
t +1
e
t
-0
t -m
，
整理得t
2+(1-m)t +1=0，
因为切线有2 条，所以切点有2 个，即方程t
2+(1-m)t +1=0有2 个不等实根，
则Δ=(1-m)
2- 4>0，解得m>3或m<-1，
所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞)．
故选：D．
【变式6-3】（2023 上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数f ( x)= x
3+(a-1)x
2- x +b为R上的奇函数，
过点P(- 1
2 ,1)作曲线y = f ( x)的切线，可作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【解题思路】根据奇函数确定f ( x)= x
3- x，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算x0=-1，
计算切线得到答案.
【解答过程】f (- x)=- x
3+(a-1)x
2+ x +b=- f (x)=- x
3-(a-1)x
2+ x -b，故a=1，b=0，
f ( x)= x
3- x，f
'( x)=3 x
2-1，
设切点为M (x0, y0)，则f
'( x0)=3 x0
2-1= y0-1
x0+ 1
2
，且f ( x0)= x0
3- x0= y0，
整理得到(x0+1)(4 x0
2- x0+1)=0，解得x0=-1，f
'(-1)=2，
故切线方程为y =2 x +2，
故选：A.
【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】
【例7】（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线y =ax +b(a∈R ,b>0)是曲线f (x)=e
x与曲线
g(x)=ln x +2的公切线，则a+b等于（ ）
A．e+2
B．3
C．e+1
D．2
【解题思路】由f (x)求得切线方程，结合该切线也是g(x)的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求
得直线y =ax +b，从而求得正确答案.
【解答过程】设(t ,e
t)是f (x)图象上的一点，f
' (x)=e
x，
所以f (x)在点(t ,e
t)处的切线方程为y -e
t =e
t (x -t )，y =e
t x +(1-t )e
t①，
令g
' (x)= 1
x =e
t，解得x =e
-t，
g(e
-t)= lne
-t +2=2-t
，所以2-t -e
t
e
-t -t
=e
t，
1-t =(1-t )e
t，所以t =0或t =1（此时①为y =e x，b=0，不符合题意，舍去），
所以t =0，此时①可化为y -1=1×(x -0), y = x +1，
所以a+b=1+1=2.
故选：D.
【变式7-1】（2023 上·陕西·高三校联考阶段练习）函数f (x)= x -aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相
互垂直的切线，则a的取值范围（ ）
A．(1,6)
B．(1,3)
C．(3,4)
D．(4,6)
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k = f
'(x0)=1- a
x0
，
当a≤0时，k =1- a
x0
>0，故不存在k1k2=-1；
当a>0时，满足：¿.
所以：3<a<4.
故选：C.
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ln x与g(x)的图象关于直线y = x对称，直线l与
g(x),h(x)=e
x +1-1的图象均相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．3 π
4
【解题思路】根据f (x)=ln x与g(x)的图象关于直线y = x对称，得到g(x)=e
x，设直线l与函数g(x)=e
x的
图象的切点坐标为(x1,e
x1)，与函数h(x)=e
x +1-1的图象的切点坐标为(x2,e
x2+1-1)，由斜率相等得到
x1= x2+1，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
【解答过程】解：因为函数f (x)=ln x与g(x)的图象关于直线y = x对称，
所以f (x)=ln x与g(x)互为反函数，所以g(x)=e
x，
则g
' (x)=e
x．由h(x)=e
x +1-1，得h
' (x)=e
x +1，
设直线l与函数g(x)=e
x的图象的切点坐标为(x1,e
x1)，
与函数h(x)=e
x +1-1的图象的切点坐标为(x2,e
x2+1-1)，
则直线l的斜率k =e
x1=e
x2+1，故x1= x2+1，
显然x1≠x2
，故k =e
x2+1-1-e
x1
x2- x1
=-1
-1 =1，
所以直线l的倾斜角为π
4
，
故选：B．
【变式7-3】（2023·海南·海南华侨中学校考一模）若对函数f (x)=2 x -sin x的图象上任意一点处的切线l1，
函数g(x)=me
x+(m-2) x的图象上总存在一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则m的取值范围是（ ）
A．(- e
2 ,0)
B．(0, e
2)
C．(-1,0)
D．(0,1)
【解题思路】求导得到-
1
f
'( x)范围A，再分m>0，m<0，m=0三种情况讨论得g
' (x)范围B，最后根据条
件得A 与B 包含关系，计算得到答案.
【解答过程】由f (x)=2 x -sin x，得f
' (x)=2-cos x∈[1,3]，所以-
1
2-cos x ∈[-1,- 1
3]= A，
由g(x)=me
x+(m-2) x，得g
' (x)=me
x+m-2，设该导函数值域为B，
(1)当m>0时，导函数单调递增，g
' (x)∈(m-2,+∞)，
由题意得∀x1,∃x2,f
'( x1)g
'(x2)=-1∴g
'(x2)=-
1
f
'( x1)
∴A ⊆B
故m-2<-1，解得0<m<1；
(2)当m<0时，导函数单调递减，g
' (x)∈(-∞,m-2)，同理可得m-2>- 1
3
，与m<0矛盾，舍去；
（3）当m=0时，不符合题意.
综上所述：m的取值范围为(0,1).
故选：D.
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（2023·广东广州·统考一模）若点P 是曲线y = x
2上一动点，则点P 到直线y =2 x -3的最小距离为
2√5
5
.
【解题思路】利用导数求出与直线y =2 x -3平行且与曲线相切的直线l，切点到直线y =2 x -3的距离即为
最小距离.
【解答过程】设f ( x)= x
2，f
'( x)=2 x，
设直线l与曲线y = x
2相切，切点为P( x0, y0)，且直线l与直线y =2 x -3平行，
则有f
'( x0)=2，得x0=1，∴y0=1，即P(1,1)
如图所示：
此时P到直线2 x - y -3=0的距离最小，d =|2-1-3|
√4+1 = 2√5
5
.
故答案为：2√5
5
.
【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=aln x, g(x)=be
x，若直线y =kx(k >0)与函数
f (x), g(x)的图象都相切，则4a+1
b
的最小值为 4e .
【解题思路】利用导数的几何意义可列出不等式组，得a=be
2，再根据基本不等式即可求解.
【解答过程】根据题意作出草图如下：
设直线y =kx与函数f (x)=aln x, g(x)=be
x图像分别相切与点P和Q，
P( x1,be
x1)，Q( x2,aln x2)，f
' (x)= a
x
，g
' (x)=be
x，
则有¿和¿，
解得：x2=e，x1=1，
因为k >0，所以a>0,b>0，
∴ k =be= a
e
，得a=be
2，
4a+1
b =4be
2+1
b ≥2√4e
2=4e，
当且仅当4be
2=1
b
，即b=1
2e
时取等号.
即4a+1
b
的最小值为4e.
故答案为：4e.
【变式8-2】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数f (x)= ln x - x
n + ln m+3(m>1)，若曲线y = f (x)的
一条切线为直线l：4 x - y +3=0，则m
n
的最小值为 - 4e ．
【解题思路】根据题意，设切点为(x0, y0)，将切点分别代入函数f (x)以及切线l上，且f
'(x0)= 4，得到方
程化简可得m
n =e(
1
x0
2 - 4
x0)
，从而求得其最小值.
【解答过程】设切点为(x0, y0)，x0>0，则(x0, y0)在l：4 x - y +3=0上，即y0= 4 x0+3①，
因为f (x)= ln x - x
n + ln m+3(m>1)，则f
' (x)= 1
x - 1
n
，
又因为直线l的斜率为4，则f
'(x0)= 1
x0
- 1
n = 4，所以1
n = 1- 4 x0
x0
③，
因为(x0, y0)在f (x)= ln x - x
n + ln m+3(m>1)上，
所以y0= ln x0- x0
n + ln m+3②，
由①②可得4 x0+3= ln x0- x0
n + ln m+3④，
将③代入④中可得，4 x0+3= ln x0-
x0
x0
1- 4 x0
+ ln m+3，
化简可得ln m+ ln x0-1=0，即m=e
x0
⑤，
由③⑤可得，m
n =
e
x0
x0
1- 4 x0
=e(
1
x0
2 - 4
x0)，
令1
x0
=t ,t >0，则y =t
2- 4 t =(t -2)
2- 4 ,t >0，
当t =2时，即x0= 1
2
时，ymin=2
2- 4×2=- 4，
所以当x0= 1
2时，(
m
n)min
=e⋅(- 4)=- 4e，
故答案为:- 4e.
【变式8-3】（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知函数f (x)= 1
2 sin(2 x +π
3 )的图像在
(x1,f (x1))处的切线与在(x2f (x2))处的切线相互垂直，那么|x1- x2|的最小值是 π
2
.
【解题思路】求出f
'( x )，根据导数的几何意义得到cos(2 x1+π
3 )⋅cos(2 x2+π
3 )=-1，根据余弦函数
的最值可得cos(2 x1+π
3 )=1且cos(2 x2+π
3 )=-1，或cos(2 x1+π
3 )=-1且cos(2 x2+π
3 )=1，分两种
情况求出|x1- x2|，然后求出其最小值即可.
【解答过程】因为f ( x)= 1
2 sin(2 x +π
3 )，
所以f
'( x)= 1
2 cos(2 x +π
3 )×2=cos(2 x +π
3 )，
依题意可得f
'( x1)⋅f
'( x2)=-1，
所以cos(2 x1+π
3 )⋅cos(2 x2+π
3 )=-1,
所以cos(2 x1+π
3 )=1且cos(2 x2+π
3 )=-1，
或cos(2 x1+π
3 )=-1且cos(2 x2+π
3 )=1，
当cos(2 x1+π
3 )=1且cos(2 x2+π
3 )=-1时，
2 x1+π
3 =2k1π，k1∈Z，2 x2+π
3 =2k2π+π，k2∈Z，
所以x1- x2=(k1-k2)π-π
2
，k1∈Z，k2∈Z，
所以| x1- x2|=|(k1-k2)π-π
2 |，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1-k2=0或k1-k2=1时，| x1- x2|取得最小值π
2
.
当cos(2 x1+π
3 )=-1且cos(2 x2+π
3 )=1时，
2 x1+π
3 =2k1π+π，k1∈Z，2 x2+π
3 =2k2π，k2∈Z，
所以x1- x2=(k1-k2)π+π
2
，k1∈Z，k2∈Z，
所以| x1- x2|=|(k1-k2)π+π
2 |，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1-k2=0或k1-k2=-1时，| x1- x2|取得最小值π
2
.
综上所述：|x1- x2|的最小值是π
2
.
故答案为：π
2
.
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y =e
x
x +1
在点(1,e
2)处的切线方程为（ ）
A．y =e
4 x
B．y =e
2 x
C．y =e
4 x +e
4
D．y =e
2 x + 3e
4
【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所
设方程即可求解.
【解答过程】设曲线y = e
x
x +1在点(1, e
2)处的切线方程为y - e
2 =k (x -1)，
因为y = e
x
x +1
，
所以y
' = e
x(x +1)-e
x
(x +1)
2
=
x e
x
(x +1)
2
，
所以k = y
'|x =1= e
4
所以y - e
2 = e
4
(x -1)
所以曲线y = e
x
x +1在点(1, e
2)处的切线方程为y = e
4 x + e
4 .
故选：C.
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y =e
x的两条切线，则（ ）
A．e
b<a
B．e
a<b
C．0<a<e
b
D．0<b<e
a
【解题思路】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形
确定结果；
解法二：画出曲线y =e
x的图象，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.
【解答过程】在曲线y =e
x上任取一点P(t ,e
t)，对函数y =e
x求导得y
' =e
x，
所以，曲线y =e
x在点P处的切线方程为y -e
t =e
t (x -t )，即y =e
t x +(1-t )e
t，
由题意可知，点(a,b)在直线y =e
t x +(1-t )e
t上，可得b=ae
t +(1-t )e
t =(a+1-t )e
t，
令f (t )=(a+1-t )e
t，则f
' (t )=(a-t )e
t.
当t <a时，f
' (t )>0，此时函数f (t )单调递增，
当t >a时，f
' (t )<0，此时函数f (t )单调递减，
所以，f (t )max = f (a)=e
a，
由题意可知，直线y =b与曲线y = f (t )的图象有两个交点，则b<f (t )max =e
a，
当t <a+1时，f (t )>0，当t >a+1时，f (t )<0，作出函数f (t )的图象如下图所示：
由图可知，当0<b<e
a时，直线y =b与曲线y = f (t )的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线y =e
x的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知0<b<e
a.
故选：D.
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线y = ln| x|过坐标原点的两条切线的方程为 y = 1
e x ，
y =- 1
e x
．
【解题思路】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x0,ln x0)，求出函数的导函数，即可求出切线
的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
【解答过程】[方法一]：化为分段函数，分段求
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x0,ln x0)，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
解： 因为y = ln|x|，
当x>0时y = ln x，设切点为(x0,ln x0)，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x0= 1
x0
，所以切线方程为
y - ln x0= 1
x0
(x - x0)，
又切线过坐标原点，所以- ln x0= 1
x0
(- x0)，解得x0=e，所以切线方程为y -1= 1
e (x -e)，即y = 1
e x；
当x<0时y = ln (- x)，设切点为(x1,ln(- x1))，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x1= 1
x1
，所以切线方程为
y - ln(- x1)= 1
x1
(x - x1)，
又切线过坐标原点，所以- ln(- x1)= 1
x1
(- x1)，解得x1=-e，所以切线方程为y -1= 1
-e (x +e)，即
y =- 1
e x；故答案为：y = 1
e x；y =- 1
e x
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当x>0时y = ln x，设切点为(x0,ln x0)，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x0= 1
x0
，所以切线方程为
y - ln x0= 1
x0
(x - x0)，
又切线过坐标原点，所以- ln x0= 1
x0
(- x0)，解得x0=e，所以切线方程为y -1= 1
e (x -e)，即y = 1
e x；
因为y = ln|x|是偶函数，图象为：
所以当x<0时的切线，只需找到y = 1
e x关于y 轴的对称直线y =- 1
e x即可.
[方法三]：
因为y = ln|x|，
当x>0时y = ln x，设切点为(x0,ln x0)，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x0= 1
x0
，所以切线方程为
y - ln x0= 1
x0
(x - x0)，
又切线过坐标原点，所以- ln x0= 1
x0
(- x0)，解得x0=e，所以切线方程为y -1= 1
e (x -e)，即y = 1
e x；
当x<0时y = ln (- x)，设切点为(x1,ln(- x1))，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x1= 1
x1
，所以切线方程为
y - ln(- x1)= 1
x1
(x - x1)，
又切线过坐标原点，所以- ln(- x1)= 1
x1
(- x1)，解得x1=-e，所以切线方程为y -1= 1
-e (x +e)，即
y =- 1
e x；
故答案为：y = 1
e x；y =- 1
e x.
4．（2021·全国·统考高考真题）曲线y = 2 x -1
x +2
在点(-1,-3)处的切线方程为 5 x - y +2=0 ．
【解题思路】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【解答过程】由题，当x =-1时，y =-3，故点在曲线上．
求导得：y
' = 2(x +2)-(2 x -1)
(x +2)
2
=
5
(x +2)
2
，所以y
'|x =-1=5．
故切线方程为5 x - y +2=0．
故答案为：5 x - y +2=0．
5．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x): f (x)= x
4 ．
①f (x1 x2)= f (x1)f (x2)；②当x∈(0,+ ∞)时，f
'( x)>0；③f
'( x)是奇函数．
【解题思路】根据幂函数的性质可得所求的f (x).
【解答过程】取f (x)= x
4，则f (x1 x2)=(x1 x2)
4= x1
4 x2
4= f (x1)f (x2)，满足①，
f
' (x)= 4 x
3，x>0时有f
' (x)>0，满足②，
f
' (x)= 4 x
3的定义域为R，
又f
' (- x)=- 4 x
3=- f
' (x)，故f
' (x)是奇函数，满足③.
故答案为：f (x)= x
4（答案不唯一，f (x)= x
2n(n∈N
*)均满足）.
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线y =( x +a)e
x有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
(-∞,- 4)∪(0,+∞) ．
【解题思路】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方
程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【解答过程】∵y =( x +a)e
x，∴y
' =( x +1+a)e
x，
设切点为(x0, y0),则y0=(x0+a)e
x0,切线斜率k =(x0+1+a)e
x0,
切线方程为：y -(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0(x - x0),
∵切线过原点，∴-(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0(- x0),
整理得：x0
2+a x0-a=0,
∵切线有两条，∴Δ=a
2+ 4 a>0,解得a<- 4或a>0,
∴a的取值范围是(-∞,- 4)∪(0,+ ∞),
故答案为：(-∞,- 4)∪(0,+∞).
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数f ( x)=|e
x -1|, x1<0, x2>0，函数f ( x)的图象在点
A( x1,f ( x1))和点B( x2,f ( x2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则| AM |
|BN |
取值范围是
(0,1) ．
【解题思路】结合导数的几何意义可得x1+ x2=0，结合直线方程及两点间距离公式可得
| AM |=√1+e
2 x1⋅| x1|，|BN |=√1+e
2 x2⋅| x2|，化简即可得解.
【解答过程】由题意，f ( x)=|e
x -1|={1-e
x , x<0
e
x -1, x ≥0
，则f
'( x)={-e
x , x<0
e
x , x>0
，
所以点A( x1,1-e
x1)和点B( x2,e
x2-1)，k AM =-e
x1,k BN =e
x2,
所以-e
x1⋅e
x2=-1, x1+ x2=0，
所以AM : y -1+e
x1=-e
x1( x - x1), M (0,e
x1 x1-e
x1+1)，
所以| AM |=√x1
2+(e
x1 x1)
2=√1+e
2 x1⋅| x1|，
同理|BN |=√1+e
2 x2⋅| x2|,
所以| AM |
|BN | = √1+e
2 x1⋅| x1|
√1+e
2 x2⋅| x2|
=√
1+e
2 x1
1+e
2 x2 =√
1+e
2 x1
1+e
-2 x1 =e
x1∈(0,1).
故答案为：(0,1).
