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专题七不等式
第二十讲二元一次不等式组与简单的线性规划问题
(
)
答案部分
1
C
．【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
x
y
C
-x+y=1
2x-y=4
y=-
3
5x
x +y=5
–1
–2
1
2
3
4
5
–1
–2
1
2
3
4
5
O
作出直线
3
5
y
x
= −
．平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由
1
5
x
y
x
y
−+
=
+
=
，
得
2
3
x
y
=
=
，即
(2,3)
C
，所以
max
3 2
5 3
21
a
=
+ =
，故选C．
2
A
．【解析】如图为可行域
x
y
C
B
A
–1
–2
–3
–4
–5
–6
1
2
3
4
5
6
7
–1
–2
–3
–4
1
2
3
O
结合目标函数的几何意义可得函数在点
(
)
6, 3
B −−
处取得最小值，最小值为
min
12
3
15
z
= −
−
= −
．故选A．
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3
D
．
【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中
3
(0,1), (0,3),
(
,3)
2
A
B
C −
，
2 4
(
, )
3 3
D −
，所以直线
z
x
y
=
+
过点B
时取最大值，选
3
D.
x
y
–1
–2
–3
–4
1
2
3
–1
1
2
3
2x+y=0
x+2y 2=0
y=3
A
B
C
D
O
4
C
．【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，
x
y
–1
–2
–3
1
–1
1
2
3
O
当目标函数过 ( 3,4)
−
时取得最大值，即
max
3
2 4
5
z
= −+
=
．选
．
C
5．D【解析】不等式组可行域如图阴影部分，
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x
y
C
B
A
–1
1
2
3
–1
1
2
O
目标函数
2
z
x
y
=
+
过点
(3,3)
C
时，取得最大值
max
3
2 3
9
z
=
+
=
，故选
D.
6
D
．【解析】如图阴影为可行域，可知在
(2,1)
A
时，
min
4
z
=
，无最大值．
x
y
A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
0
O
所以
2
z
x
y
=
+
的取值范围是
[4,
)
+
．选
．
D
7．C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设
( , )
P x y 为平面区域
内任意一点，则
2
2
x
y
+
表示
2
|
|
OP
．显然，当点P 与点A合时，
2
|
|
OP
，即
2
2
x
y
+
取
得最大值，由
2
2
3
9
x
y
x
y
+
=
−
=
，解得
3
1
x
y
=
= −
，
故
(3, 1)
A
−
．所以
2
2
x
y
+
的最大值为
2
2
3
( 1)
10
+ −
=
．故选
．
C
x+y=2
2x-3y=9
y
x
C
B
A
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8
C
．【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点
,
C D 分别作直线
2
0
x
y
+
−
=
的垂线，垂足分别为,
A B ，则四边形ABDC为矩形；又
(2, 2)
C
−
，
( 1,1)
D −
，所以
2
2
|
| |
|
(2
1)
( 2
1)
3 2
AB
CD
=
=
+
+ −−
=
，故选
．
C
9
B
．【解析】如图，已知约束条件
2
0,
2
3
6
0,
3
2
9
0.
x
y
x
y
x
y
−
+
+
−
+
−
所表示的平面区域为图中所示的三角形
区域ABC(包含边界)
A(0
，其中
，2)，B(3，0)，
，
C(l
3)．根据目标函数的几何意义，
可知当直线
2
5
5
z
y
x
= −
+
过点B(3，0)时，取得最小值
z
2 3
5 0
6
+
=
．
10．D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润
3
4
z
x
y
=
+
．
由题意可列
3
2
12
2
8
0
0
x
y
x
y
x
y
+
+
，其表示如图阴影部分区域：
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当直线
3
4
0
x
y
z
+
−
=
过点
(2,3)
A
时，z 取得最大值，
所以
max
3 2
4 3
18
z
= + =
，故选D．
11．【解析】作出可行域
，可知目标函数过点
C
(图略)
(0,3)时，z
取得最大值
．
18
12．A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为
2
y
x
z
=
−
，当z 最小时，
直线
2
y
x
z
=
−
的纵截距最大，故将直线
2
y
x
=
经过可行域，尽可能向上移
到过点
1
( 1,
)
2
B −
时，z 取到最小值，最小值为
1
5
2 ( 1)
2
2
z =
−
−
= −
，故选
．
A
13．B【解析】由
z
ax
y
=
+
得
y
ax
z
= −
+
，借助图形可知：
当
1
a
−，即
1
a −时在
0
x
y
=
=
时有最大值，不符合题意；
0
当
0
1
a
−，即
1
0
a
−
时在
1
x
y
=
=
时有最大值
1
4,
3
a
a
+ =
=
，
不满足
1
0
a
−
；当
1
0
a
− −
，即0
1
a
时在
1
x
y
=
=
时有最大值
1
4,
3
a
a
+ =
=
，不满足0
1
a
；当 1
a
−−，
即
1
a
时在
2,
0
x
y
=
=
时有最大值
2
4,
2
a
a
=
=
，满足
1
a
．
14．C【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，
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x
y
A
–1
–2
1
2
3
4
–1
1 2 3 4
O
当目标函数
2
z
x
y
=
+
经过可行域内的点A（，
2 -1）时，取得最小值0，故
2
0
x
y
+
≥
，
因此
1
2
,
p
p
是真命题，选
．
C
15．D【解析】解法一
由题中条件画出可行域，
x
y
x+y-2=0
x-2y-2=0
2x-y+2=0
2
2
-1
-1
O
可知三交点
(0,2)
A
，
(2,0)
B
，
( 2, 2)
C −
−
，则
2
A z =
，
2
B
z
a
= −
，
2
2
C
z
a
=
−
，要
使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要
A
B
C
z
z
z
=
或
A
C
B
z
z
z
=
或
B
C
A
z
z
z
=
，解得
1
a = −或 2
a =
．
解法二
目标函数
z
y
ax
=
−
可化为
y
ax
z
=
+
，令0l ： y
ax
=
，平移0l ，则当0 l
AB
∥
或0 l
AC
∥
时符合题意，故
1
a = −
或 2
a =
．
16．C【解析】平面区域为如图所示的阴影部分的△
，
ABD
y
x
D
N
M
y=-x+7
y=x+3
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
1
2
3
4
5
6
7
O
A
B
因圆心
( , )
C a b ∈，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段
MN 的方程为 1
y =
（−2≤x ≤），由图形得，当点
6
C 在点
(6,1)
N
处时，
2
2
a
b
+
取
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得最大值
2
2
6
1
37
+
=
，故选C．
17．D【解析】作出线性约束条件
2
0
2
0
0
x
y
kx
y
y
+
−
−
+
，的可行域．当
0
k
时，如图(1)所示，
此时可行域为y 轴上方、直线
2
0
x
y
+
−
=
的右上方、直线
2
0
kx
y
−
+
=
的右下方的
区域，显然此时
z
y
x
=
−
无最小值．当
1
k −时．
z
y
x
=
−
取得最小值；
2
当
1
k = −时，
z
y
x
=
−
取得最小值−2，均不符合题意，
当
1
0
k
−
时，如图
所示，此时可行域为点
，
，（
(2)
A(2
0)
B
−2
k
，
，
0）， C(0
2)所围
成的三角形区域，当直线
z
y
x
=
−
经过点
（
B
−2
k
，）时，有最小值，
0
即
2
(
)
4
k
−−
= −，所以得
1
2
k = −
．故选
．
D
18．B【解析】由
2
3
z
x
y
=
−
得
3
2
y
x
z
=
−
，即
2
3
3
z
y
x
=
−
．作出可行域如图，平移直线
2
3
3
z
y
x
=
−
，由图象可知当直线
2
3
3
z
y
x
=
−
经过点
时，直线
B
2
3
3
z
y
x
=
−
的截距最
大，此时z 取得最小值，由
1
0
3
x
y
x
−
+ =
=
得
3
4
x
y
=
=
，即
(3,4)
B
,代入直线
2
3
z
x
y
=
−
得
3 2 3 4
6
z = −= −
，选B．
y
x
–1
–2
1 2
3
4
1
2
3
4
C
B
O
19．A【解析】
2
|
|
=
=
y
x
y
与
的图像围成一个三角形区域，个顶点的坐标分别是
，
3
(0,0)
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(−2,2)
(2,2)
，
．且当取点(−
2,2)时，2
x – y =－取最小值．所以选
．
6
A
20．C【解析】作出可行域，如图，则在
点取得最大值
A
16
，在
点取得最小值
B
8
−，
则
24
a
b
−
=
，选C．
2y-x=4
x+y=8
x-5y=0
A(4,4)
B(8,0)
21．B【解析】约束条件对应ABC
边际及内的区域：
5 3
(2,2), (3,2), ( , )
2 2
A
B
C
则
3
[8,11]
z
x
y
=
+
22．C【解析】约束条件对应ABC
边际及内的区域：
(1,0), ( 1,2),
1, 2)
A
B
C
−
−
−
则
2
[ 5,3]
z
x
y
=
+
−
．
23．A【解析】作出可行域，直线
0
3
=
−y
x
，将直线平移至点
)
0,2
(
处有最大值，
点
)
3,
2
1
(
处有最小值，即
3
6
2
z
−
剟
，应选A．
24．B【解析】由题意，
2
3
0
y
x
x
y
=
+
−=
，可求得交点坐标为（，
1
2）要使直线
上存在
y=2x
点（，）满足约束条件
x
y
3
0
2
3
0
x
y
x
y
x
m
+
−
−
−
„
„
…
，如图所示．
2
2
=
+ y
x
1
4
−
=
−y
x
4
2
=
+ y
x
O
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则
m
m
2
3
−
，可得
，∴实数
的最大值为，故选
．
m≤1
m
1
B
25．B【解析】做出不等式对应的可行域如图，由
y
x
z
2
3 −
=
得
2
2
3
z
x
y
−
=
，由图象可知
当直线
2
2
3
z
x
y
−
=
经过点
)
2,0
(
C
时，直线
2
2
3
z
x
y
−
=
的截距最大，而此时
y
x
z
2
3 −
=
最小为
4
2
3
−
=
−
=
y
x
z
，选B．
x
y
C
B
A
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
–1
–2
1
2
3
O
26．D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数
过点
(
)
5,15
A
时， 2 +3
x
y
的最大值为
，故选
55
D．
27．B【解析】画出区域
如图所示，而
D
z=OM ·OA =
2x
y
+
，所以
2
y
x
z
= −
+
，令0l ：
2
y
x
= −
，平移直线0l 过点(
2,2)时，z 取得最大值，故
max
2
2
2
4
z
=
+
=
．
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x
y
O
y=2
x= 2y
x= 2
28．B【解析】如图先画出不等式
|
|
|
|
1
x
y
+
≤表示的平面区域，易知当
0
x =
， 1
y = 时，
2
x
y
+
取得最大值，当
2
0,
1
x
y
=
= −时，
2
x
y
+
取得最小值－
．
2，选B
x
y
-2
2
O
29．A【解析】画出可行域，可知
5
z
x
y
=
+
在点
1
(
,
)
1
1
m
m
m
+
+
取最大值，
由
2
1
2
1
1
m
m
m
+
+
+
解得
1
2
1
m
+
．
30．B【解析】当直线z
x
=2 −
5
B
y 过点
时，
min
14
z
= −
，当直线z
x
=2 −
5y
D
过点
(0, −4)时，
max
20
z
=
，所以z=2x−
5y 的取值范围为（－
，
14
20），点
的坐标亦可利用
D
AB
DC
=
求得．
x
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
–1
1
2
3
4
O
A
C
B
D
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31．A【解析】作出满足约束条件的可行域，如图所示，
可知当直线
3
4
z
x
y
=
−
平移到点（，
5
3）时，目标函数
3
4
z
x
y
=
−
取得最大值；
3
当直线
3
4
z
x
y
=
−
平移到点（，
3
5
）时，
目标函数
3
4
z
x
y
=
−
取得最小值−
11，故选
．
A
32．3【解析】作出不等式组
2
1
y
x
x
y
+
≤
≤
，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
y
x
O
y=
1
2 x
y=x+1
y=2x
A
令
2
z
y
x
=
−
，作出直线2
0
y
x
−
=
，平移该直线，当直线过点
(1,2)
A
时，2y
x
−
取
得最小值，最小值为
2 2 1
3
−=
．
33．6【解析】作出可行域为如图所示的ABC 所表示的阴影区域，作出直线
3
2
0
+
=
x
y
，
并平移该直线，当直线过点
(2,0)
A
时，目标函数
3
2
z
x
y
=
+
取得最大值：且
max
3 2
2 0
6
= +
=
z
．
8
x
y
+
=
5
10
x
y
−
=
3
4
0
x
y
−
=
2
0
x
y
−
+
=
y
x
O
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x
y
C
B
A
x-y+1=0
3x+2y=0
x-2y-2=0
–1
–2
–3
–4
1
2
3
–1
–2
–3
1
2
O
34．9【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线
0
x
y
+
=
，
平移该直线，当直线过点(5,4)
B
时，z 取得最大值，
max
5
4
9
z
=
+
=
．
x=5
x-2y+3=0
x+2y-5=0
x+y=0
y
x
A
B
C
O
35．−2；8【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2) ，(1,1) ，
(4, 2)
−
为顶
点的三角形及其内部区域（图略）．由线性规划的知识可知，目标函数
3
z
x
y
=
+
在点
(2,2) 处取得最大值，在点
(4, 2)
−
处取得最小值，则最小值
min
4
6
2
z
=
−
= −，最大
值
max
2
6
8
z
=
+
=
．
36．5
−【解析】不等式组的可行域如图阴影部分，易得
( 1,1)
A −
，
1
1
(
,
)
3
3
B −
−
，
1 1
( , )
3 3
C
代入
3
2
z
x
y
=
−
，可求得在
( 1,1)
A −
时目标函数取得最小值5
−．
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x
y
C
B
A
x-y=0
2x+y=-1
x+2y=1
O
37．1
−【解析】不等式组的可行域如图阴影部分．
x
y
B
A
–1
1
2
–1
1
2
O
目标函数
3
4
z
x
y
=
−
在点
(1,1)
A
取得最小值
3 1 4 1
1
z = −= −．
38．216 000【解析】由题意，设产品A 生产x
件，产品
生产
B
y 件，利润
2100
900
z
x
y
=
+
，
线性约束条件为
1.5
0.5
150
0.3
90
5
3
600
0,
0
x
y
x
y
x
y
x
y
+
+
+
„
„
„
厖
，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
所示，又由x
N
，y
N
，可知取得最大值时的最优解为
，
，所以
(60
100)
max
2100 60
900 100
216000
z
=
+
=
（元）．
关注微信公众号：加油高三
39．3
2
【解析】约束条件对应的平面区域是以点
1
(1, )
2
、(0,1)和
( 2, 1)
−
−
为顶点的三角形，
当目标函数
y
x
z
= −+
经过点
1
(1, )
2
时，z 取得最大值3
2
．
40．4 [ ,13]
5
【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2) ，(1,0) ，(2,3) 为顶点的三角
形及其内部，如图所示，因为原点到直线
2
2
0
x
y
+
−
=
的距离为2
5
，
所以
2
2
min
4
(
)
5
x
y
+
=
，又当
( , )
x y 取点(2,3) 时，
2
2
x
y
+
取得最大值
，
13
故
2
2
x
y
+
的取值范围是4 [ ,13]
5
．
41．3【解析】作出可行域（图略），可知在点(1,3)处，y
x
取得最大值．
3
42．3
2
【解析】作出可行域（图略），可知在点
1
(1, )
2
处，z 取得最大值，且
max
3
2
z
=
．
43．4【解析】如图阴影部分，可知
1
2 (2
2)
4
2
ABC
S
=
+
=
x
y
–2
–1
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
O
关注微信公众号：加油高三
44．
3
[1,
]2
【解析】由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为
3
(1,0),(1, ),(2,1)
2
，都
代入
1
4
ax
y
+
≤
≤
，可得
3
1
2
a
≤
≤
．
45．－2【解析】画出可行域（图略），由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参
照直线2
0
x
y
+
=
，可知在点
( , )
k k 处
2
z
x
y
=
+
取得最小值，故
2
6
z
k
k
=
+
= −．解
得
2
k = −．
46．3【解析】做出可行域可知，当
3,
3
x
y
=
=
的时候z
有最大值3
47．2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中
(2,0)
C
，
(2,3)
A
，(4,4)
B
．
当
0
k
时，直线0l ： y
kx
= −
平移到B 点时目标函数取最大值，即 4 +4=12
k
，
所以
2
k =
；当
0
k
时，直线0l ： y
kx
= −
平移到A 或B 点时目标函数取最大值，
此时
2
3 12
k +
或
4
4 12
k +
，所以不满足题意．所以
2
k =
，所以填．
2
48．【解析】画出可行区域，即为五边形区域，平移参照直线
6
0
x
y
+
=
，x
y
+
在点
，
(4
2)处取得最大值，此时 (
)max
4
2
6
x
y
+
=
+
=
．
49． [ 3,3]
−
【解析】约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：
(0,0), (0,1), (1,2),
(3,0)
O
A
B
C
则
2
[ 3,3]
z
x
y
=
−
−
．
50．3【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为
1
5
5
z
y
x
= −
+
，
显然只有
1
5
5
z
y
x
= −
+
在y 轴上的截距最大时z 值最大，根据图形，目标函数在点A 处
取得最大值，由
1
y
mx
x
y
=
+
=
，得
1
(
,
)
1
1
m
A
m
m
+
+
，代入目标函数，即
1
5
4
1
1
m
m
m
+
=
+
+
，
解得
3
m =
．
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51．【解析】目标函数
1
2
z
x
y
=
−
，当
0
x =
时，z
y
= −
，所以当y 取得最大值时，z 的
值最小；移动直线2
0
x
y
−
=
，当直线移动到过点A 时，y 最大，即z 的值最小，
此时
2 1 1 1
z = − = ．
52．－6【解析】根据
3
2
9
6
9
x
y
x
y
+
−
得可行域，根据
2
z
x
y
=
+
得
2
2
x
z
y = −
+
，
平移
2
x
y = −
，易知在点
(4, 5)
−
处z 取得最小值－．
6
53．【解析】不等式表示的区域是一个四边形，
个顶点是
4
4
1
(0,0),(0,2),( ,0),(1,4)
2
，易
见目标函数在(1,4)
取最大值，所以
8
8
4
4
ab
ab
=
+
=
，所以
2
4
a
b
ab
+
=
，
在
2
a
b
=
=
时是等号成立．所以a
b
+
的最小值为4.
54．15【解析】设购买铁矿石
和
各
A
B
x ，y 万吨，则购买铁矿石的费用
y
x
z
6
3 +
=
x ，
y 满足约束条件
0.5
0.7
1.9
0.5
2
0,
0
x
y
x
y
x
y
+
+
≥
≤
≥
≥
，表示平面区域（图略）则当直线
y
x
z
6
3 +
=
过
点
（
B
1,2）时，购买铁矿石的最少费用z=15．
55．【解析】设为该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则
2.5
4
z
x
y
=
+
，
且满足以下条件
+
+
+
0
,
54
10
6
42
6
6
64
8
12
y
x
y
x
y
x
y
x
，即
+
+
+
0
,
27
5
3
7
16
2
3
y
x
y
x
y
x
y
x
，做出可行域（图略）作直线
:2.5
4
0
l
x
y
+
=
，
平移直线l 至0l ，当0l
C
经过
点时，可使z 达到最小值．
由
=
=
=
+
=
+
3
4
7
27
5
3
y
x
y
x
y
x
即
(4,3)
C
，
关注微信公众号：加油高三
此时
2.5 4 4 3
22
z =
+ =
，
答午餐和晚餐分别预定
个单位和
个单位，花费最少
元．
:
4
3
z=22
