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第八章 二元一次方程（组）
8.5 三元一次方程（组）（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的整式方程．如x+y-z＝1，
2a-3b+4c＝5 等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高
次数是1 次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c 不为零．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未
知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以
建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一
元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化
为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程
其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的
解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未
知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
例1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )
A ．
2
1
0
2
x
y
y
z
xz
B ．
1
1
1
2
1
6
y
x
z
y
x
z
C ．
1
2
3
a
b
c
d
a
c
b
d
D ．
18
12
0
m
n
n
t
t
m
【答案】D
【解析】A 选项中
2
1
x
y
与
2
xz
中未知数项的次数为2 次，故A 选项不是；B 选
项中1
x
，1
y
，1
z
不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项
符合三元一次方程组的定义．
【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程
都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个
三元一次方程组．
类型二、三元一次方程组的解法
例2.在等式y=ax2+bx+c 中，当x=﹣1 时，y=0；当x=2 时，y=3；当x=5 时，y=60．求
a，b，c 的值．
【思路点拨】由“当x=﹣1 时，y=0；当x=2 时，y=3；当x=5 时，y=60”即可得出关
于a、b、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【答案与解析】
解：根据题意，得
，
②﹣①，得a+b=1④；
③﹣①，得4a+b=10 ⑤．
④与⑤组成二元一次方程组
，
解这个方程组，得
，
把
代入①，得c=﹣5．
因此
，即a，b，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．
【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a、b、c 的三元
一次方程组．本题属于基础题，难度不大.
举一反三：
【变式】解方程组：
【答案】
解：①+②得：5
3
11
x
y
④
①×2+③得：5
3
x
y
⑤
由此可得方程组：5
3
11
5
3
x
y
x
y
④
⑤
④－⑤得：4
8
y
，
2
y
将
2
y
代入⑤知：
1
x
将
1
x ，
2
y
代入①得：
3
z
所以方程组的解为：
1
2
3
x
y
z
例3. 解方程组2
3
5
20
x
y
z
x
y
z
①
②
【答案与解析】
解法一：原方程可化为：
2
5
3
5
20
x
z
y
z
x
y
z
①
②
③
由①③得：
2
5
x
z
，
3
5
y
z
④
将④代入②得：2
3
20
5
5
z
z
z
，得：
10
z
⑤
将⑤代入④中两式，得：
2
2 10
4
5
5
x
z
，
3
3 10
6
5
5
y
z
所以方程组的解为：
4
6
10
x
y
z
解法二：设2
3
5
x
y
z
t
，则
2 ,
3 ,
5
x
t
y
t
z
t
③
将③代入②得：2
3
5
20
t
t
t
，
2
t
将
2
t
代入③得：
2
2
2
4
x
t
，
3
3 2
6,
5
5
2
10
y
t
z
t
所以方程组的解为：
4
6
10
x
y
z
【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊
的解法(如设比例系数等)来解．
举一反三：
【变式】若三元一次方程组
的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）
A．1
B．0
C．﹣2
D．4
【答案】B．
解：
，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4 代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
类型三、三元一次方程组的应用
例4. 购买铅笔7 支，作业本3 本，圆珠笔1 支共需3 元；购买铅笔10 支，作业本4
本，圆珠笔1 支共需4 元，则购买铅笔11 支、作业本5 本圆珠笔2 支共需 元．
【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z
元．购买铅笔11 支，作业本5 本，圆珠笔2 支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方
程组求出a 的值，即为所求结果．
【答案】5．
【解析】
解：设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11
支，作业本5 本，圆珠笔2 支共需a 元．
则由题意得：
，
由②﹣①得3x+y=1，④
由②+①得17x+7y+2z=7，⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，
解得：a=5.
【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题
时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个
等量关系列几个方程．
举一反三：
【变式】现有面值为2 元、1 元和5 角的人民币共24 张，币值共计29 元，其中面值为
2 元的比1 元的少6 张，求三种人民币各多少张?
【答案】
解：设面值为2 元、1 元和5 角的人民币分别为x 张、y 张和z 张．
依题意，得
24
1
2
29
2
6
x
y
z
x
y
z
x
y
①
②
③
把③分别代入①和②，得
2
18
1
3
23
2
x
z
x
z
④
⑤
⑤×2，得6x+z＝46 ⑥
⑥-④，得4x＝28，x＝7．
把x＝7 代入③，得y＝13．
把x＝7，y＝13 代入①，得z＝4．
∴方程组的解是
7
13
4
x
y
z
．
答：面值为2 元、l 元和5 角的人民币分别为7 张、13 张和4 张．
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列四组数值中，为方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知方程组
，则a+b+c 的值为（ ）．
A．6 B．-6 C．5 D．-5
3．已知
与
是同类项，则x-y+z 的值为 ( ) ．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若x+2y+3z＝10，4x+3y+2z＝15，则x+y+z 的值为 ( ) ．
A．2 B．3 C．4 D．5
5.已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2 倍，乙比丙多1 元，丙比
甲少11 元，则三人共有（ ）．
A．30 元 B．33 元 C．36 元 D．39 元
6.关于x，y 的方程组
的解是方程3x+2y=10 的解，那么a 的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
二、填空题
7. 解三元一次方程组的基本思路是 .
8. 方程组
的解为
．
9. 已知
，则
=
．
10. 若方程－3 ｘ－ｍｙ+4 ｚ＝6 是三元一次方程，则ｍ的取值范围是 .
11. 如果方程组
的解满足方程kx+2y-z＝10，则k＝________．
12.已知方程组
，若消去z，得到二元一次方程组________；若消去
y，得到二元一次方程组________，若消去x，得到二元一次方程组________．
三、解答题
13．解方程组：
（1）
（2）
14. 已知y=ax2+bx+c，当x=1 时，y=3；当x=﹣1 时，y=1；当x=0 时，y=1．求a，b，
c 的值．
15. 2019 年全国足球甲A 联赛的前12 轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．
胜（场）
平（场）
负（场）
积分
大连实德队
8
2
2
26
上海申花队
6
5
1
23
北京现代队
5
7
0
22
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D．
【解析】
，
①+②得：3x+y=1④，
①+③得：4x+y=2⑤，
⑤﹣④得：x=1，
将x=1 代入④得：y=﹣2，
将x=1，y=﹣2 代入①得：z=3，
则方程组的解为
．
2. 【答案】C；
【解析】将方程组中的三个方程左右分别相加，得
，两边同除以
2 便得答案.
3. 【答案】D；
【解析】由同类项的定义得：
，解得：
，所以
.
4. 【答案】D；
【解析】将三个等式左右分别相加，可得
，进而得
.
5. 【答案】D；
【解析】解：设甲乙丙分别有
，则有：
，解得：
，所以三人共有：
（元）.
6. 【答案】B；
【解析】解：本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
（1）﹣（2）得：6y=﹣3a，
∴y=﹣
，
代入（1）得：x=2a，
把y=﹣
，x=2a 代入方程3x+2y=10，
得：6a﹣a=10，
即a=2．
故选B．
二、填空题
7. 【答案】消元；
8.【答案】
．
9. 【答案】
；
【解析】解：
，
①×7﹣②×6 得：2x﹣3y=0，
解得：x=
y，
①×2+②×3 得：11x﹣33z=0
解得：x=3z，
∵x=
y，x=3z，
∴y=2z，
∴
=
=
=
．
故答案为：
．
10．【答案】
；
【解析】三元一次方程的定义.
11.【答案】
；
【解析】解原方程组得：
，代入kx+2y-z＝10 得，
.
12. 【答案】
；
【解析】加减或代入消元.
三、解答题
13.【解析】
解：（1）
由①得：
，
将④代入②③，整理得：
，解得：
，
代入④得：
，
所以，原方程组的解是
（2）
由①+②得：
，即
，
由②+③得：
，
由④×5－⑤，整理得：
，
将
代入④，解得：
，
将
，
代入①，解得
，
所以，原方程组的解是
14.【解析】
解：∵y=ax2+bx+c，当x=1 时，y=3；当x=﹣1 时，y=1；当x=0 时，y=1，
∴代入得：
把③代入①和②得：
，
解得：a=1，b=1，
即a=1，b=1，c=1．
15.【解析】
解：设每队胜一场、平—场、负—场分别得x 分，y 分，z 分
根据题意，得
由①得4x+y+z＝13 ④
②一④，得x+2y＝5 ⑤
⑤×5-③，得y＝1．
把y＝1 代入⑤，得x＝5-2×1＝3，即x＝3．把x＝3，y＝1 代入④，得z＝0．
∴
答：每队胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分．
