文档文本内容
第六章 实数
6.4 《实数》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
a
3 a
性质
一个正数有两个平方根，且互
为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方
根；
一个负数有一个负的立方
根；
零的立方根是零；
重要结论
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
3
3
3
)
(
a
a
a
a
a
a
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按与0 的大小关系分：
实数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．
其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如
，
等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数
的绝对值是非负数，即|
|≥0；
（2）任何一个实数
的平方是非负数，即
2
a ≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即
0
a
(
0
a
).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数
的相反数是－
；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相
反数；0 的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、
开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数 大；
法则2．正数大于0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反
而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方
法.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
例1、一个正数的x 的平方根是2a
3
﹣与5
a
﹣，求a 和x 的值．
【思路点拨】根据平方根的定义得出2a
3+5
a=0
﹣
﹣
，进而求出a 的值，即可得出x 的
值．
【答案与解析】
解：∵一个正数的x 的平方根是2a
3
﹣与5
a
﹣，
2a
3+5
a=0
∴
﹣
﹣
，
解得：a=
2
﹣，
2a
3=
7
∴
﹣
﹣，
x=
∴
（﹣7）2=49．
【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知
3
2
2
x
x
y
，求
xy 的平方根。
【答案】
解：由题意得：
2
0
2
0
x
x
解得x ＝2
∴y ＝3，
23
9
xy
，
xy 的平方根为±3.
【变式2】若3
7
3
x
和3 3
4
y
互为相反数,试求
的值。
【答案】
解：∵3
7
3
x
和3 3
4
y
互为相反数,
∴3 x －7＋3 y ＋4＝0
∴3（
）＝3，
＝1.
例2、已知M 是满足不等式
6
3
a
的所有整数
的和，N 是满足不等式
2
2
37
x
的最大整数．求M＋N 的平方根．
【答案与解析】
解：∵
3
6
a
的所有整数有－1，0，1，2
所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2
∵
2
2
37
x
≈2，N 是满足不等式
2
2
37
x
的最大整数．
∴N＝2
∴M＋N＝4，M＋N 的平方根是±2.
【总结升华】先由已知条件确定M、N 的值，再根据平方根的定义求出M＋N 的平方根．
类型二、与实数有关的问题
例3、已知
是10 的整数部分，
是它的小数部分，求
3
2
3
a
b
的值．
【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算10 的整数部分是3，
那么它的小数部分就是
，再代入式子求值.
【答案与解析】
解：∵
是10 的整数部分，
是它的小数部分，3
10
4
∴
3 ,
10
3
a
b
∴
2
3
2
3
3
3
10
3
3
27
10
17
a
b
.
【总结升华】可用夹挤法来确定，即看10 介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后
开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.
举一反三：
【变式】 若k＜
＜k+1（k 是整数），则k=（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D．
解：∵k＜
＜k+1（k 是整数），9＜
＜10，∴k=9．
例4、阅读理解，回答问题.
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是
根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种
行之有效的方法：若
－
＞0，则
＞
；若
－
＝0，则
＝
；若
－
＜0，则
＜
.
例如：在比较
与
的大小时，小东同学的作法是：
∵
∴
请你参考小东同学的作法，比较4 3 与
2
(2
3)
的大小.
【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0 的关系，从而比较大小.
【答案与解析】
解：∵
2
4 3
2
3
4 3
(4
4 3
3)
7
0
∴4 3 ＜
2
(2
3)
【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择.
举一反三：
【变式】实数a 在数轴上的位置如图所示，则
2
,
1
,
,
a
a
a
a
的大小关系是：
；
0
-1
a
【答案】
2
1
a
a
a
a
；
类型三、实数综合应用
例5、已知
、
满足
2
8
|
3 | 0
a
b
，解关于x 的方程
1
2
2
a
b
x
a
。
【答案与解析】
解：∵
2
8
|
3 | 0
a
b
∴2
＋8＝0,
－3 ＝0,解得
＝－4,
＝3 ，代入方程：
2
2
1
2
3
5
4
a
x
b
a
x
x
∴
【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0 解出
、
的值，再解方程.
举一反三：
【变式】设
、
、
都是实数，且满足
0
8
)
2
(
2
2
c
c
b
a
a
，
求代数式2
3
a
b
c
的值。
【答案】
解：∵
0
8
)
2
(
2
2
c
c
b
a
a
∴
，解得
2
4
8
a
b
c
∴2
3
4 12
8
0
a
b
c
.
例6、阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13 的近似值.
小明的方法：
∵9
13
16
，设13
3
k
（0
1
k
）.∴
2
2
( 13)
(3
)
k
.
∴
2
13
9
6k
k
.∴13
9
6k
.解得
4
6
k
.∴
4
13
3
3.67
6
.
问题：（1）请你依照小明的方法，估算
41 的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算
m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若
1
a
m
a
，且
2
m
a
b
，则
m _________________(用含a 、b 的代数式表示)；
（3）请用（2）中的结论估算37 的近似值.
【答案与解析】
解：（1）∵36
41
49
，设
41
6
k
（0
1
k
）.
∴
2
2
( 41)
(6
)
k
.
∴
2
41
36 12k
k
.∴41
36 12k
.
解得
5
12
k
.
∴
5
41
6
6.42
12
.
（2）∵
1
a
m
a
，设
m
a
k
（0
1
k
）.
∴
2
2
(
)
(
)
m
a
k
.
∴
2
2
2
m
a
ak
k
.
∴
2
2
m
a
ak
.
对比
2
m
a
b
，
2
,
2
b
b
ak k
a
∴
2
b
m
a
a
（3）
2
37
6
1,
∴
6,
1
a
b
，
∴
1
37
6
12
6.083.
【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要
对比式子，找准
和
，表示出
2
b
k
a
.
【巩固练习】
一.选择题
1．已知
、
是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A．若
＞
，则
2
a ＞
2
b
B．若
＞｜
｜，则
2
a ＞
2
b
C．若｜
｜＞
，则
2
a ＞
2
b
D．若
3
a ＞
3
b ，则
2
a ＞
2
b
2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）．
①
2
3
3
②
25
1
5
③
9
3
10
4
④
2
5
5
⑤
0.01
0.1
⑥
2
0
a
a a
A．①②④ B．①④⑥ C．①⑤⑥ D．①②⑥
3. 下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数.
A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④
4. 下列语句、式子中 ① 4 是16 的算术平方根，即
.4
16
②4 是16 的算术平方
根，即
.4
16
③－7 是49 的算术平方根，即
.7
)
7
(
2
④7 是
的算术平方根，
即
.7
)
7
(
2
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
5. 估计
介于（ ）
A．0.4 与0.5 之间
B．0.5 与0.6 之间
C．0.6 与0.7 之间
D．0.7 与0.8 之
间
6.下列运算中正确的是（ ）
A.
4
9
13
B.
12
6
2
2
-
8
2
）
（
C.
2
4
D. ∣
3
2
∣＝
2
3
7. 已知:
a
a
则
，且
,
68
.
28
68
.8
2
.6
23
3
3
＝（ ）
A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600
8. －27 的立方根与81
的算术平方根的和是（ ）
A．0
B．6
C．6 或－12
D．0 或6
二.填空题
9. 下列命题中正确的有 (填序号)
(1)若
,b
a
那么
b
a
2
2
; (2)两数的和大于等于这两数的差;
(3)若
,b
a
那么
2
2
b
a
; (4)若
,b
a
c
b
则
c
a
;
(5)
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
(6)一个数越大,这个数的倒数越小;
(7)有理数加有理数一定是有理数;
(8)无理数加无理数一定是无理数;
(9)无理数乘无理数一定是无理数;
10.若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n 的立方根是 ．
11. 若
2
2
)
3
(
a
，则a ＝ ，若
2
3
)
3
(
a
，则a ＝ .
12. 已知 :
00236
.0
,
536
.1
36
.2
,
858
.4
6.
23
则
.
13. 若
x
x
有意义，则
1
x
________.
14. 阅读下列材料：设
0.3
0.333
x
…①，则10
3.333
x
…②，则由②－①得：
9
3
x
，即
1
3
x
.所以0.3
0.333
…
.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数.
0.7＝ 1.3＝ ；
15. 方程
3
61
(1
2 )
1
64
x
的解
＝ _________ .
16. 若
,
1996
1995
a
a
a
则
2
1995
a
的值等于_________.
三.解答题
17. （2015 春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a 和2a﹣9
（1）求a 的值，并求这个正数；
（2）求17﹣9a2的立方根．
18. 如图所示，已知A、B 两点的坐标分别为
(
5,0)
A
，
( 2,1)
B
．
（1）求△OAB 的面积和△ACB 的面积（结果保留一位小数）；
（2）比较点A 所表示的数与－2.4 的大小．
19. 把下列无限循环小数化成分数：（1）0.6
（2）0.23
（3）0.107
20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：
2
1
2
2
1
1
1
2
2
S
，
；
2
2
3
3
1
2
2
2
2
S
，
；
2
3
4
4
1
3
3
2
2
S
，
；
……，……；
（1）请用含n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律；
（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：
；
（3）利用上面的结论及规律，请作出等于
7 的长度；
（4）你能计算出
2
10
2
3
2
2
2
1
S
S
S
S
的值吗？
O
.....
S5
S4
S3
S2
S1
1
1
1
1
1
1
A6
A5
A4
A3
A2
A1
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】B 答案表明
,
|
| |
|
a
b
a
b
且
，故
2
a ＞
2
b .
2. 【答案】D；
【解析】算术平方根的专用记号是“
a ”根号前没有“－”或“±”号.
3. 【答案】A；
4. 【答案】C；
【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个.
5.【答案】C．
【解析】∵
2.235，∴
﹣1≈1.235，∴
≈0.617，∴
介于0.6
与0.7 之间.
6. 【答案】D；
7. 【答案】D；
【解析】2.868 向右移动1 位，23.6 应向右移动3 位得23600，考虑到符号，
＝
－23600.
8. 【答案】A；
【解析】81
9
，9 的算术平方根是3，故选A.
二.填空题
9. 【答案】（1），（4），（5），（7）；
10.【答案】2.
【解析】若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，∴
，解方程得：
．
∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8 的立方根是2．故答案为：2．
11.【答案】
3
；3 9 ；
【解析】正数的平方根有2 个，实数有一个与它符号相同的立方根.
12.【答案】0.04858
【解析】23.6 向左移动4 位，4.858 向左移动2 位得0.04858.
13.【答案】1；
【解析】
≥0，－
≥0，得
＝0，所以
1
x
1.
14.【答案】7 4
;
9 3 ；
【解析】设
＝0.777… … ，10
＝7.777… … ，9
＝7,
＝7
9 . 设
＝
1.333……，10
＝13.333……，9
＝12,
＝4
3 .
15.【答案】1
8 ；
【解析】
3
125
5
1
1
2
,1
2
,
64
4
8
x
x
x
.
16.【答案】1996；
【解析】由
1996
a
得
≥1996 ，原式＝
－1995 ＋
1996
a
＝
，
1996
a
＝1995，两边平方得
2
1995
a
＝1996.
三.解答题
17.【解析】
解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣9=0，
解得a=3，
∴这个正数为32=9；
（2）当a=3 时，17﹣9a2=﹣64，
∵﹣64 的立方根﹣4，
∴17﹣9a2的立方根为﹣4．
18.【解析】
解：（1）∵
(
5,0)
A
，
( 2,1)
B
，
∴ |
|
5
OA
，BC＝1，AC＝OA－OC＝5
2
．
∴
1
1
5
|
||
|
5 1
1.1
2
2
2
OAB
S
OA
BC
．
1
1
5
|
||
|
( 5
2) 1
1
0.1
2
2
2
ACB
S
AC
BC
．
（2）点A 表示的实数为
5
，
5
2.24
．
∵ 2.24＜2.4，
∴ －2.24＞－2.4，
即
5
2.4
19.【解析】
解：(1) 设
0.6
x
① 则10
＝6.6
②
②－①得 9
＝6
∴
，即
2
0.6
3
(2) 设
0.23
x
① 则100
23.23
x
②
②－①，得 99
＝23
∴
，即
23
0.23
99
.
(3) 设
0.107
x
① 则1000
107.107
x
②
②－①，得 999
＝107，
∴
，即
107
0.107
999
.
20.【解析】
解：（1）
2
,1
1
2
n
S
n
n
n
．
（2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（3）略．
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
10
1
2
3
10
55
(4)
2
2
2
2
4
S
S
S
S
