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第六章 实数
6.1 平方根（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x 的平方等于a ，即
2x
a
,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定
0 的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作
a ，读作“ a 的算术平方根”，a 叫做被
开方数.
要点诠释：当式子
a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即
a ≥0，a ≥0.
2.平方根的定义
如果
2x
a
，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方
与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为
(
0)
a a
，其中
a 是a 的算
术平方根.
知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
a
和
a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0 的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数
没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平
方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质
2
0
|
|
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
2
0
a
a
a
知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或
者向左移动1 位.例如：
62500
250
，
625
25
，
6.25
2.5
，
0.0625
0.25
.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
例1、已知2a﹣1 的平方根是±3，3a+b﹣9 的立方根是2，c 是
的整数部分，求
a+b+c 的平方根．
【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1 与3a+b﹣9 的值，进而可得
a、b 的值；接着估计
的大小，可得c 的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答
案．
【答案与解析】
解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；
故a=5，b=2；
又∵2＜
＜3，
∴c=2，
∴a+b+c=5+2+2=9，
∴9 的平方根为±3．
【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能
力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．
举一反三：
【变式】已知2a －1 与－a ＋2 是m 的两个不同的平方根，求m 的值.
【答案】2a －1 与－a ＋2 是m 的平方根，所以2a －1 与－a ＋2 互为相反数.
解：当2a －1＋（－a ＋2）＝0 时，a ＝－1，
所以m ＝
2
2
2
2
1
[2 ( 1) 1]
3
9
a
例2、x 为何值时，下列各式有意义？
(1)
2x ； (2)
4
x
； (3)
1
1
x
x
； (4)
1
3
x
x
．
【答案与解析】
解：(1)因为
2
0
x
，所以当x 取任何值时，
2x 都有意义．
(2)由题意可知：
4
0
x
，所以
4
x
时，
4
x
有意义．
(3)由题意可知：
1
0
1
0
x
x
解得：1
1
x
．所以1
1
x
时
1
1
x
x
有意
义．
(4)由题意可知：
1
0
3
0
x
x
，解得
1
x 且
3
x
．
所以当
1
x 且
3
x
时，
1
3
x
x
有意义．
【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只
有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0 时，
式子才有意义．
举一反三：
【变式】已知
4 3
2
2 2
3
2
b
a
a
，求1
1
a
b
的算术平方根．
【答案】
解：根据题意，得3
2
0,
2
3
0.
a
a
则
2
3
a
，所以b ＝2，∴1
1
3
1
2
2
2
a
b
，
∴1
1
a
b
的算术平方根为
1
1
2
a
b
．
类型二、平方根的运算
例3、求下列各式的值．
(1)
2
2
2
2
25
24
3
4
；(2)
1
1
1
20
0.36
900
4
3
5
．
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1)
2
2
2
2
25
24
3
4
49
25
7 5
35
；
(2)
1
1
1
81
1
1
20
0.36
900
0.6
30
4
3
5
4
3
5
9
0.2
6
1.7
2
．
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算
按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直
接根据
2
(
0)
a
a a
来解．
类型三、利用平方根解方程
例4、求下列各式中的x .
（1）
2
361
0;
x
（2）
2
1
289
x
；
（3）
2
9 3
2
64
0
x
【答案与解析】
解：（1）∵
2
361
0
x
∴
2
361
x
∴
361
19
x
（2）∵
2
1
289
x
∴
1
289
x
∴x ＋1＝±17
x ＝16 或x ＝－18.
（3）∵
2
9 3
2
64
0
x
∴
2
64
3
2
9
x
∴
8
3
2
3
x
∴
2
14
9
9
x
x
或
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.
（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三：
【变式】求下列等式中的x ：
（1）若
2
1.21
x
，则x ＝______； （2）
2
169
x
，则x ＝______；
（3）若
2
9 ,
4
x
则x ＝______； （4）若
2
2
2
x
，则x ＝______．
【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）
3
2
；（4）±2.
类型四、平方根的综合应用
例5 、已知a 、b 是实数，且
2
6
|
2 | 0
a
b
，解关于x 的方程
2
(
2)
1
a
x
b
a
．
【答案与解析】
解：∵a 、b 是实数，
2
6
|
2 | 0
a
b
，
2
6
0
a
，|
2 |
0
b
，
∴2
6
0
a
，
2
0
b
．
∴a －3，
2
b
．
把a －3，
2
b
代入
2
(
2)
1
a
x
b
a
，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的
值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需
令每项分别等于零即可．
举一反三：
【变式】若
2
1
1
0
x
y
，求
2011
2012
x
y
的值．
【答案】
解：由
2
1
1
0
x
y
，得
2
1
0
x
，
1
0
y
，即
1
x ，
1
y ．
①当x ＝1，y ＝－1 时，
2011
2012
2011
2012
1
( 1)
2
x
y
．
②当x ＝－1，y ＝－1 时，
2011
2012
2011
2012
( 1)
( 1)
0
x
y
．
例6、小丽想用一块面积为400
2
cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300
2
cm 的长方形纸片，使它长宽之比为
2
:
3
，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求
的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3 x ( x ＞0) cm ，则宽为2 x cm ，依题意得
3
2
300
x
x
.
2
6
300
x
.
2
50
x
.
∵ x ＞0，
∴
50
x
.
∴ 长方形纸片的长为3 50 cm .
∵ 50＞49,
∴50
7
.
∴ 3 50
21
, 即长方形纸片的长大于20cm .
由正方形纸片的面积为400
2
cm , 可知其边长为20cm
,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为
20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.
举一反三：
【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形
空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的
倍，篮球场的四周必
须留出1m 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【答案】
解：设篮球场的宽为xm，那么长为28
15 x m，
由题意知
，
所以x2=225，
因为x 为正数，
所以x=
=15，
又因为
=900＜1000，
所以按规定在这块空地上建一个篮球场．
【提升练习】
一.选择题
1．下列说法中正确的有（ ）．
①只有正数才有平方根． ②2
是4 的平方根． ③16 的平方根是4
．
④
2
a 的算术平方根是a ． ⑤
2
( 6)
的平方根是6
．⑥ 9
3
．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．若m ＝
40 －4，则估计m 的值所在的范围是（ ）
A．1＜m ＜2 B. 2＜m ＜3 C. 3＜m ＜4 D. 4＜m ＜5
3. 试题下列说法中正确的是（ ）
A.4 是8 的算术平方根 B.16 的平方根是4
C.
6 是6 的平方根 D.－a 没有平方根
4. 能使x －3 的平方根有意义的x 值是（ ）
A. x ＞0 B. x ＞3 C. x ≥0 D. x ≥3
5.若
=a，则a 的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．0 或1 D．±1
6. 若x ，y 为实数，且| x ＋1|＋
1
y
＝0，则
2013
x
y
的值是（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.－2011
二.填空题
7. 若10404
102
，则1.0404 ＝__________.
8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm 和5cm 的正方形的面积的和，则
这个正方形的边长为 ________.
9. 下列各数：81，16
25 ，1.44，
1
2 4 ，
81 的平方根分别是_______________；算术
平方根分别是_______________.
10．（1）
25 的平方根是________；
（2）
2
5
的平方根是________，算术平方根是________；
（3）
2x 的平方根是________，算术平方根是________；
（4）
2
2
x
的平方根是________，算术平方根是________．
11．已知
，求a﹣b=
．
12. 若
，则
____________.
三.解答题
13．x 为何值时，下列各式有意义？
(1) 2 ;x （2）
;x
（3）
2 ;
x
（4）
1.
x
14.已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+
=0，求x+y+z 值的平方根．
15.
如
图
，
实
数
a ，
b 对
应
数
轴
上
的
点
A
和
B
，
化
简
2
2
2
2
(
)
(
)
a
b
a
b
a
b
【答案与解析】
一．选择题
1. 【答案】A；
【解析】只有②是正确的.
2. 【答案】B；
【解析】6
40
7
，所以2＜
40 －4＜3 .
3. 【答案】C；
【解析】A.∵4 是16 的算术平方根，故选项A 错误；B.∵16 的平方根是±4，故选项B
错误；C.∵
6 是6 的一个平方根，故选项C 正确；D.当a ≤0 时，－a 也有平方根，故选
项D 错误．
4. 【答案】D；
【解析】要使x －3 的平方根有意义，∴x －3≥0，即x ≥3．
5. 【答案】C；
【解析】解：∵
=a，
∴a≥0．
当a=0 时，
=a；
当0＜a＜1 时，
＞a；
当a=1 时，
=a；
当a＞时，
＜a；
综上可知，若
=a，则a 的值为0 或1．
故选C．
6. 【答案】C；
【解析】x ＋1＝0，y －1＝0，解得x ＝－1；y ＝1．
2013
x
y
＝－1.
二.填空题
7. 【答案】1.02；
【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.
8. 【答案】34 cm ；
【解析】这个正方形的边长为
2
2
3
5
34
.
9. 【答案】±9；± 4
5 ；±1.2；± 3
2 ；±3；9；4
5 ；1.2；3
2 ；3.
10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；(3）± x ，| x |；（4）±（x ＋2）,| x ＋
2|；
【解析】
2
|
|
a
a
.
11.【答案】－8；
【解析】解：根据题意得，a+3=0，b﹣5=0，
解得a=﹣3，b=5，
所以，a﹣b=﹣3﹣5=﹣8．
故答案为：﹣8．
12.【答案】
；
【解析】
1
2
x
，x ＝
.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）2 x ≥0，解得x ≥0；
（2）－x ≥0，解得x ≤0；
（3）
2
0,
x
解得x 为一切实数；
（4）x －1≥0，解得x ≥1.
14.【解析】
解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+
=0，
∴
，
解得x=1，y=2，z=3，
∴x+y+z=1+2+3=6，
∴x+y+z 的平方根为
．
15.【解析】根据
2
|
|
a
a
∵
0
a
b
a
b
且
∴原式＝－a ＋b －(b －a )－(a ＋b ) ＝－a ＋b －b ＋a －a －b ＝－a －b .
