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第五章 相交线与平行线
5.2 同位角、内错角、同旁内角
【要点梳理】
要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念
1. “三线八角”模型
如图，直线AB、CD 与直线EF 相交(或者说两条直线AB、CD 被第三条直线EF 所截)，
构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.
要点诠释：
⑴两条直线AB,CD 与同一条直线EF 相交．
⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
2. 同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1 与∠5，这两个角分别在直线AB、CD 的同一方，并且都在直线EF
的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3 与∠5，这两个角都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的两侧，
像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3 和∠6 都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的同一旁，像这
样的一对角叫做同旁内角.
要点诠释：
(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，
显然是没有公共顶点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角．
要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
图1
要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：
(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.
(2)借助方位来识别
根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图
2．
【典型例题】
类型一、“三线八角”模型
例1.
(1)图3 中，∠1、∠2 由直线
被直线 所截而成．
(2)图4 中，AB 为截线，∠D 是否属于以AB 为截线的三线八角图形中的角？
【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ．
【解析】（1）∠1、∠2 两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被
截线．（2）因为∠D 的两边都不在直线AB 上，所以∠D 不属于以AB 为截线的三线八角图
形中的角．
【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.
类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别
例2.如图，(1)DE 为截线,∠E 与哪个角是同位角?
(2)∠B 与∠4 是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？
(3)∠B 和∠E 是同位角吗?为什么?
【答案与解析】
解：（1）DE 为截线,∠E 与∠3 是同位角；
（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；
（3）不是,因为∠B 与∠E 的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B 和∠E 不是同
位角.
【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角
有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截
线，再抽取与该截线相关的角来分析.
举一反三：
【变式】如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1 和∠3 是同位角
B．∠1 和∠5 是同位角
C．∠1 和∠2 是同旁内角
D．∠5 和∠6 是内错角
【答案】B
解：从图上可以看出∠1 和∠5 不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，
正确．
例3. 如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它
们一一写出来．
【答案与解析】
解：内错角：∠1 与∠4，∠3 与∠5，∠2 与∠6，∠4 与∠8；
同旁内角：∠3 与∠6，∠2 与∠5，∠2 与∠4，∠4 与∠5；
同位角：∠3 与∠7，∠2 与∠8，∠4 与∠6．
【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按
题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.
举一反三：
【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 中，哪些是同位角？
哪些是内错角？哪些是同旁内角？
【答案】
解：同位角：∠5 与∠1，∠4 与∠3；
内错角：∠2 与∠3，∠4 与∠1；
同旁内角：∠4 与∠2，∠5 与∠3，∠5 与∠4.
例4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
【答案与解析】
解： 同位角：∠B 与∠ACD，∠B 与∠ECD；
内错角：∠A 与∠ACD，∠A 与∠ACE；
同旁内角：∠B 与∠ACB，∠A 与∠B，∠A 与∠ACB，∠B 与∠BCE．
【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个
“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．
举一反三：
【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．
【答案】
解：∠1 与∠5，∠2 与∠6，∠3 与∠7，∠4 与∠8 是同位角；
∠2 与∠8，∠3 与∠5 是内错角；
∠2 与∠5，∠3 与∠8 是同旁内角.
类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系
例5. 如图直线DE、BC 被直线AB 所截，
(1)∠1 和∠2、∠1 和∠3、∠1 和∠4 各是什么角？每组中两角的大小关系如何？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1 和∠2 相等吗？∠1 和∠3 互补吗？为什么？
【答案与解析】
解：(1)∠1 和∠2 是内错角；∠1 和∠3 是同旁内角；∠1 和∠4 是同位角． 每组中两
角的大小均不确定．
(2) ∠1 与∠2 相等，∠1 和∠3 互补. 理由如下：
① ∵∠1=∠4（已知）
∠4＝∠2（对顶角相等）
∴∠1＝∠2.
② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)
∠1＝∠4(已知)
∴∠1＋∠3＝180°
即∠1 和∠3 互补.
综上，如果∠1=∠4，那么∠1 与∠2 相等，∠1 和∠3 互补．
【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相
等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．
举一反三：
【变式1】若∠1 与∠2 是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2 或∠1＞∠2 或∠1＜∠2
【答案】D
【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；
②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角
平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（
）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C （提示：②④正确）．
【巩固练习】
一、选择题
1．如图，直线AD、BC 被直线AC 所截，则∠1 和∠2 是( ).
A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角
2．如图，能与
构成同位角的有( ).
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
3．下列命题中，真命题有（ ）
（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
（4）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．
A．1 个 B．2 个 C．3 个
D．4 个
4．若∠1 与∠2 是同位角，则它们之间的关系是( ).
A．∠1＝∠2 ； B．∠1＞∠2 ；
C．∠1＜∠2； D．∠1＝∠2 或∠1＞∠2 或∠1＜∠
2.
5．如图所示，直线a，b 被直线c 所截，∠1 与∠2 是（ ）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角D．邻补角
6. 已知图（1）—（4）：
在上述四个图中，∠1 与∠2 是同位角的有（ ）.
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1）
7.如图，下列结论正确的是（ ）.
A．∠5 与∠2 是对顶角；
B．∠1 与∠3 是同位角；
C．∠2 与∠3 是同旁内角；
D．∠1 与∠2 是同旁内角.
8.在图中，∠1 与∠2 不是同旁内角的是 （ ）.
二、填空题
9．如图，当直线BC、DC 被直线AB 所截时，∠1 的同位角是_______，同旁内角是
_______；当直线AB、AC 被直线BC 所截时，∠1 的同位角是________；当直线AB、BC 被直
线CD 所截时，∠2 的内错角是________．
10．如图，
(1)∠1 和∠ABC 是直线AB、CE 被直线________所截得的________角；
(2)∠2 和∠BAC 是直线CE、AB 被直线________所截得的________角；
(3)∠3 和∠ABC 是直线________、________被直线________所截得的________角；
(4)∠ABC 和∠ACD 是直线________、________被直线 所截得的________角；
(5)∠ABC 和∠BCE 是直线________、________被直线 所截得的________角．
11．如图，若∠1＝95°，∠2＝60°，则∠3 的同位角等于________，∠3 的内错角等
于________，∠3 的同旁内角等于________．
12．如图，标有角号的7 个角中共有
对内错角，
对同位角，
对同旁内
角．
13．如图，直线a、b、c 分别与直线d、e 相交，与∠1 构成同位角的角共有________
个，和∠l 构成内错角的角共有________个，与∠1 构成同旁内角的角共有________个．
14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有 对，同位角共有 对，
内错角共有 对.
三、解答题
15．如图，∠1 和哪些角是内错角? ∠1 和哪些角是同旁内角? ∠2 和哪些角是内错角?
∠2 和哪些角是同旁内角?它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的?
16．指出图中的同位角、内错角、同旁内角．
17.指出图中各对角的位置关系：
（1）∠C 和∠D 是
角；
（2）∠B 和∠GEF 是
角；
（3）∠A 和∠D 是
角；
（4）∠AGE 和∠BGE 是
角；
（5）∠CFD 和∠AFB 是
角．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】∠1 与∠2 是直线AD、BC 被直线AC 所截而成，且这两角都在被截线AD、BC
之间，在截线AC 两侧，所以为内错角．
2．【答案】B
【解析】如图，与
能构成同位角的有：∠1，∠2，∠3．
3. 【答案】B
【解析】（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；
（2）应为两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项错误；
（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确；
（4）应为如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，
故本选项错误．
所以（1）（3）两项是真命题．
4. 【答案】D
【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系．
5. 【答案】A．
6. 【答案】C
【解析】图（2）或图（4）中的∠1 与∠2 没有公共边，不属于“三线八角”中的角．
7. 【答案】D
8. 【答案】D
【解析】选项D 中∠1 与∠2 没有公共边，不属于“三线八角”中的角．
二、填空题
9.【答案】∠2, ∠5, ∠3, ∠4
【解析】先看哪两条线被哪一条线所截，再判断它们的关系．
10.【答案】(1)BD(或BC), 同位； (2)AC, 内错； (3)AB, AC, BC, 同旁内;
(4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁内．
【解析】可以从复杂图形中抽出简单图形进行分析．
11．【答案】85°， 85°， 95°
【解析】∠3 的同位角和内错角均与∠1 互补，故它们的度数均为：180°－
95°=85°，
而∠3 的同旁内角是∠1 的对顶角，所以∠3 的同旁内角的度数等于∠1 的度数．
12．【答案】4 对内错角：分别是∠1 和∠4，∠2 和∠5，∠6 和∠1，∠5 和∠7；
2 对同位角：分别是∠7 和∠1，∠5 和∠6；
4 对同旁内角：分别是∠1 和∠5、∠3 和∠4、∠3 和∠2、∠4 和∠2．
13．【答案】3，2，2
【解析】如图，与∠1 是同位角的是：∠2, ∠3,∠4；与∠1 是内错角的是：∠5,
∠6；与∠1 是同旁内角的是：∠7，∠8．
14．【答案】6, 12, 6
【解析】每个“三线八角”中共有4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角，而两两相
交，且不交于同一点的三条直线共有三个“三线八角”，所以同旁内角共有：
（对），同位角共有：
（对），同旁内角共有：
（对）．
三、解答题
15. 【解析】
解：∠1 和∠DAB 是内错角，由直线DE 和BC 被直线AB 所截而成；
∠1 和∠BAC 是同旁内角，由直线BC 和AC 被直线AB 所截而成；
∠1 和∠2 也是同旁内角，是直线AB 和AC 被直线BC 所截而成；
∠1 和∠BAE 也是同旁内角，是直线DE 和BC 被直线AB 所截而成；
∠2 和∠EAC 是内错角，是直线DE 和BC 被直线AC 所截而成；
∠2 和∠BAC 是同旁内角，是直线AB 和BC 被直线AC 所截而成；
∠2 和∠1 也是同旁内角，是直线AB 和AC 被直线BC 所截而成；
∠2 和∠DAC 也是同旁内角，是直线DE 和BC 被直线AC 所截而成．
16．【解析】
解：如图，可分解成三个基本图形，由图(1)得内错角：∠BAD 和∠B；
由图(2)得同位角：∠DAE 和∠C，同旁内角：∠CAD 和∠C；
由图(3)得同位角：∠BAE 和∠C，内错角：∠B 和∠BAE，同旁内角：∠B 和∠C，∠B
和∠BAC，∠C 和∠BAC．
即原图形中共有两组同位角，两组内错角，四组同旁内角．
17.【解析】
解：（1）∠C 和∠D 是同旁内角；
（2）∠B 和∠GEF 是同位角；
（3）∠A 和∠D 是内错角；
（4）∠AGE 和∠BGE 是邻补角；
（5）∠CFD 和∠AFB 是对顶角；
故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角
